[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식 일계미분방정식

C H A P T E R

12 



편미분 방정식

Partial Differential Equations


선입니다.

  



■ 목차

12.1 편미분 방정식이란?

12.2 수송 방정식 (Transport Equation)

12.3 파동 방정식 (Wave Equation)

12.4 확산 방정식 (Diffusion Equation)

12.5 라플라스 방정식 (Laplace Equation)

12.6 연습문제


 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-12.html












사각형입니다.사각형입니다.




편미분 방정식의 분류


사각형입니다.사각형입니다.



상수 계수를 갖는 1계 선형 방정식

변수 계수를 갖는 1계 선형 방정식


사각형입니다.사각형입니다.



파동 방정식의 유도

파동 방정식의 풀이: 무경계 문제

파동 방정식의 풀이: 경계값 문제

빔의 진동


이 장에서는 앞서 다룬 파동 방정식의 해법을 이용하여 다음과 같은 빔 방정식의 해를 구할 것이다. 이 식은 4계 편미분 방정식으로 진동하는 빔의 거동을 나타낸다.

                                                                  (12.3.30)

여기서 이며 강성도 상수, 단위 길이당 빔의 밀도를 나타낸다. 우리는 그림 12.3.11과 같이 빔의 양 끝단이 단순 지지 (simply supported)되어 있는 경우를 고려할 것이다.

 This is Picture.
Original Picture Name: wave_beam.jpg
Original Picture Size: 2521 (W) by 1942 (H) pixels

<Figure 12.3.11>


이와 같은 경우 경계 조건은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

첫 번째 조건은 빔의 양 끝이 변위가 없음을 의미하며 두 번째 조건은 양 끝에서 회전이 자유로움을 의미한다. 또한 다음과 같은 초기 조건을 고려한다.

이 문제 또한 변수 분리를 이용하여 해를 구할 수 있다. 을 (12.3.30)에 대입하면 다음 식을 얻는다.

양 변을 로 나누고 이를 상수 로 놓는다.

위 식으로부터 다음과 같이 분리된 미분 방정식을 얻는다.

,

여기서 이다. 첫째 식은 우리에게 익숙한 2계 미분 방정식으로 그 해는 다음과 같다.

둘째 식은 4계 미분 방정식으로 을 대입하여 해를 구한다. (공학수학 1, 5장 참조) 특성 방정식은 다음과 같으므로

, 를 얻는다. 따라서 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 경계 조건을 이용하여 상수값 를 구한다. 경계 조건 를 의미하므로 각각 다음과 같은 식을 얻는다.

                                                      (12.3.31)

마찬가지로 을 의미하며 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

                         

                        (12.3.32)

위 네 개의 방정식은 다음과 같이 행렬을 이용하여 표현할 수 있다.

이 식의 해는 행렬식이 일 경우 존재하므로 다음과 같은 조건을 구할 수 있다. 

이를 만족하기 위해서는 이어야 하므로

 를 얻는다.


[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080





이차원 파동 방정식


사각형입니다.사각형입니다.



확산 방정식의 유도

확산 방정식의 풀이: 무경계 문제

확산 방정식의 풀이: 경계값 문제

고유 함수 전개 (eigenfunction expansion)


사각형입니다.사각형입니다.





직사각형 영역에서의 라플라스 방정식

원형 영역에서의 라플라스 방정식