[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage
[한빛] 응용 공학수학 (실습실)
C H A P T E R
12
편미분 방정식
Partial Differential Equations
■ 목차
12.1 편미분 방정식이란?
12.2 수송 방정식 (Transport Equation)
12.3 파동 방정식 (Wave Equation)
12.4 확산 방정식 (Diffusion Equation)
12.5 라플라스 방정식 (Laplace Equation)
12.6 연습문제
http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-12.html
편미분 방정식의 분류
상수 계수를 갖는 1계 선형 방정식
변수 계수를 갖는 1계 선형 방정식
파동 방정식의 유도
파동 방정식의 풀이: 무경계 문제
파동 방정식의 풀이: 경계값 문제
빔의 진동
이 장에서는 앞서 다룬 파동 방정식의 해법을 이용하여 다음과 같은 빔 방정식의 해를 구할 것이다. 이 식은 4계 편미분 방정식으로 진동하는 빔의 거동을 나타낸다.
(12.3.30)
여기서 
이며 
강성도 상수, 
단위 길이당 빔의 밀도를 나타낸다. 우리는 그림 12.3.11과 같이 빔의 양 끝단이 단순 지지 (simply supported)되어 있는 경우를 고려할 것이다.
<Figure 12.3.11>
이와 같은 경우 경계 조건은 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
첫 번째 조건은 빔의 양 끝이 변위가 없음을 의미하며 두 번째 조건은 양 끝에서 회전이 자유로움을 의미한다. 또한 다음과 같은 초기 조건을 고려한다.
이 문제 또한 변수 분리를 이용하여 해를 구할 수 있다. 
을 (12.3.30)에 대입하면 다음 식을 얻는다.
양 변을 
로 나누고 이를 상수 
로 놓는다.
위 식으로부터 다음과 같이 분리된 미분 방정식을 얻는다.
, 
여기서 
이다. 첫째 식은 우리에게 익숙한 2계 미분 방정식으로 그 해는 다음과 같다.
둘째 식은 4계 미분 방정식으로 
을 대입하여 해를 구한다. (공학수학 1, 5장 참조) 특성 방정식은 다음과 같으므로
, 
를 얻는다. 따라서 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이제 경계 조건을 이용하여 상수값 
와 
를 구한다. 경계 조건 
은 
를 의미하므로 각각 다음과 같은 식을 얻는다.
, 
(12.3.31)
마찬가지로 
은 
을 의미하며 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
(12.3.32)
위 네 개의 방정식은 다음과 같이 행렬을 이용하여 표현할 수 있다.
이 식의 해는 행렬식이 
일 경우 존재하므로 다음과 같은 조건을 구할 수 있다.
이를 만족하기 위해서는 
이어야 하므로
를 얻는다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
이차원 파동 방정식
확산 방정식의 유도
확산 방정식의 풀이: 무경계 문제
확산 방정식의 풀이: 경계값 문제
고유 함수 전개 (eigenfunction expansion)
직사각형 영역에서의 라플라스 방정식
원형 영역에서의 라플라스 방정식