• 만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

C H A P T E R

13

복소함수

Complex Functions

■ 목차

13.1 복소수          

13.2 복소함수

13.3 코시-리만(Cauchy-Riemann)방정식

13.4 지수함수와 로그함수

13.5 삼각함수와 쌍곡함수

13.5 연습문제

 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-13.html

복소수(Complex Numbers)

[예제 1]

복소수 와 에 대하여

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) 를 구하여라.

[풀이]

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) $|z_1|=|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 3]

를 극형식으로 나타내어라.

[풀이]

, 이므로

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 5]

을 만족하는 복소수를 모두 구하여라.

[풀이]

이므로 

, 을

얻는다. 따라서

가 구하는 복소수들이다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 6]

복소수 의 세제곱근 세 개를 구하여라.

[풀이]

이므로 , 을 얻는다.

일 때 , 일 때, , 일 때 를 얻는다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

영역

두 복소수 와 에 대하여 은 와 사이의 거리이다. 그러므로 를 만족하는 점 는 를 중심으로 하고, 을 반지름으로 하는 원(circle) 위에 있다.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

부등식 을 만족하는 점 는 를 중심으로 하고, 을 반지름으로 하는 원 안에 있으며 원 위에 있지는 않다. 이런 집합을 의 근방 또는 열린 원판(open circular disk)이라 한다.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 1]

 를 만족하는 곡선의 그래프를 구하여라.

[풀이]

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 2]

를 만족하는 영역을 구하여라.

[풀이]

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

복소함수

[예제 3]

에 대하여 를 구하고 의 값을 구하여라.

[풀이]

이므로 , 이고

.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 4]

에 대하여 를 구하고 의 값을 구하여라.

[풀이]

이므로 이고 .

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

복소함수의 극한과 연속

편미분 (partial differentiation)

복소 미분 (complex differentiation)

해석 함수 (analytic function)

Cauchy-Riemann 방정식의 표현

Cauchy-Riemann 방정식의 표현 Ⅱ

Cauchy-Riemann 방정식의 표현 Ⅲ

Cauchy-Riemann 방정식의 표현 Ⅳ

조화함수 (harmonic function)

지수함수

[예제 1]

다음 지수함수들의 값을 구하여라.

(a)          (b)         (c)       (d)

[풀이]

(a)

(b)

(c)

(d)

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 2]

의 해를 모두 구하여라.

[풀이]

라 하면 이고, 이다.

가 원하는 해이다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

로그함수

[예제 3]

(a) ,  (b) , (c) 의 값을 구하여라.

[풀이]

(a) 이고 이므로 로그값은

(b) 이고 이므로 로그값은

(c) n이고 이므로 로그값은

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 5]

를 만족하는 모든 를 구하여라.

[풀이]

라고 하면

이므로, 이다. 그러므로 구하는

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 1]

의 값을 구하여라.

[풀이]

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 2]

을 만족하는 를 구하여라.

[풀이]

으로부터 을 얻는다. 에 관한 이차식을 풀면

이므로 즉,

또는, 을 얻는다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

삼각함수

[예제 2]

를 만족하는 모든 를 구하여라.

[풀이]

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.