• 만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

C H A P T E R

15

급수와 유수

Series and Residues

■ 목차

15.1 수열과 급수          

15.2 Tayler 급수와 Laurent 급수

15.3 특이점과 유수정리

15.4 실적분의 계산

15.5 연습문제

 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-15.html

수열(Sequence) 

무한급수(Infinite Series)

기하급수(Geometric Series)

기하급수(Geometric Series)

거듭제곱급수(Power Series)

CAS[예제 7]

거듭제곱급수 의 수렴반경과 수렴원을 구하여라.

[풀이]

이므로 수렴반경은 이고 0을 중심으로 한 거듭제곱급수는 모든 에 대하여 절대수렴한다. 이와 같은 계산은 SAGE 명령어를 이용하여 쉽게 할 수 있다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

Tayler 급수

[예제 2]

을 을 중심으로 하는 Tayler 급수를 구하여라.

[풀이]

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Laurent 급수

[예제 3]

을 을 중심으로 Laurent 급수를 구하고, 수렴구간을 정하여라.

[풀이]

이므로, 

이다. 가 해석적이지 되지 않는 점은 이므로 급수의 수렴구간은 이다.

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[예제 4]

을 을 중심으로 Laurent 급수를 구하여라.

[풀이]

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[예제 5]

 을 을 중심으로 Laurent 급수를 구하여라.

[풀이]

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[예제 5]

의 에서 유수를 구하여라.

[풀이]

예제 2에 따르면 는 를 본질적 특이점으로 가지고 Laurent 급수 전개를 하면

이므로 유수는 이다.

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[예제 6]

의 에서 유수를 구하여라.

[풀이]

이므로 Laurent 급수 전개를 사용하여 구할 수 있다.

이므로 의 계수는 이다.

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다른 방법으로 함수 는 5차 극을 가짐을 알 수 있고, 식 (15.3.3)을 사용하면

를 계산할 수 있다.

이와 같은 계산은 SAGE 명령어를 이용하여 쉽게 할 수 있다.

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[예제 8]

의 값을 구하여라.

[풀이]

 내부에서 특이점은 밖에 없으므로 에서의 유수를 구하면 된다. 는 에서 단순극을 가지므로

이다. 그러므로

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[예제 9]

의 값을 구하여라.

[풀이]

 내부에서 특이점은 이고, 각각 단순극이므로 각 점에서 유수를 구하면 된다.

이다. 그러므로

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[예제 1]

의 값을 구하여라.

[풀이]

위에서 설명한대로 치환을 하고 단순화하면

그런데 

이고 이다. 만이 단위원 안에 있으므로

이다. 이 2차극이므로

따라서

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또한 유수를 이용하여 다른 방식으로 계산할 수 있다.

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 형태의 적분

[예제 2]

의 값을 구하여라.

[풀이]

 분모는 2차식, 분자는 상수이므로 분모의 차수가 분자보다 2차 이상 높다는 가정을 만족하고, 분모는 실근을 가지지 않으므로 정리 15.4.1의 조건을 만족하므로 적분값을 구할 수 있다. 분모를 0으로 하는 값은 인데 만 의 내부에 있고, 단순극이므로

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 형태의 적분

[예제 4]

의 값을 구하여라.

[풀이]

이 실수 축 상의 유일한 근이 되며 상반평면에는 다른 근이 없으므로

가 된다. 따라서 이 적분값의 허수부분을 구하면

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[예제 5]

의 값을 구하여라.

[풀이]

상반면 상에서 은 에서 단순극을 가진다.

이므로 

양변의 실수부와 허수부를 비교하면, 구하는 적분값은 다음과 같다.

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