[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식

C H A P T E R

16



등각사상

Conformal map





■ 목차

16.1 등각사상          

16.2 1차 분수변환

16.3 등각사상과 경계값문제

16.4 등각사상에 의한 경계값문제의 해법

16.5 연습문제



 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-16.html



[예제 2]

이라 할 때 평면 위에서 를 하나의 꼭지점으로 하는 미소삼각형은 에 의해 평면상에서 어떻게 변하는지 말하여라..


[풀이]

이므로 를 제외한 모든 점에서 등각이다.


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이므로 미소삼각형은 에 의해 만큼 회전되고 또 대략 배 만큼 확대된다. 등각사상은 직선을 항상 직선으로 보내지는 않으므로 평면상의 도형은 실제로는 삼각형이 아닐 수도 있다.







[예제 1]

조화함수 는 해석함수 에 의해 에 관한 조화함수가 됨을 보여라.


[풀이]

는 평면의 임의의 영역 에서 조화함수이다. 변환 에서

이므로

    

이 된다. 여기서

    

가 됨을 알 수 있다. 즉, 에 관해서도 조화함수이다.


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TIP: x=u^2-v^2, y=2*u*v 임을 알 수 있다.


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[예제 2]

축, 일 때 정리 16.3.4가 성립하는 것을 보여라.


[풀이]

아래와 같이 SAGE 명령어를 이용하면 는 조화함수임을 쉽게 보일 수 있다.


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축 위에서 이고, 에 의한 상 는 양의 축과 양의 축으로 이루어진다.

에서 

이고 이와 같은 사실은 다음 SAGE 명령어를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.


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TIP: x=u^2-v^2, y=2*u*v 임을 알 수 있다.      


                                

                                

                                


이므로 양의 축 위에서는 이므로 이고, 양의 축 위에서는 이므로 이다. 따라서 위에서 이 되는 것은 위에서도 역시 성립한다.


이와 같은 사실은 다음 SAGE 명령어를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.


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정상상태의 온도분포



[예제 2]

그림 16.4.1(a)와 같은 경계를 갖는 얇은 판에서 그림과 같이 경계조건을 주었을 때 정상상태에서의 온도분포를 구하여라.


[풀이]

정상상태에서 온도함수 는 라플라스 방정식

 내에서

을 만족한다. 또, 그림 16.4.1(a)에서 경계조건은

                                

                                

                                원호 상에서)

이다. 지금 라고 놓으면


     (a)                                            (b)        

그림 16.4.1               


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정전위


유체의 흐름