[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage
[한빛] 응용 공학수학 (실습실)
C H A P T E R
02
미분방정식의 기본 개념
Basic concepts of Differential Equation
■ 목차
2.1 미분방정식의 기초 개념
2.2 미분방정식의 해
2.3 미분방정식과 곡선족
2.4 초기값 문제
2.5 연습문제
http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-2.html
미분방정식(Differential Equation)
해의 개념
[예제 1]
주어진 함수가 다음 구간에서 주어진 미분방정식의 해가 됨을 보여라.
(1) 
, 
, 구간 
(2) 
, 구간 
[풀이]
(1) 
를 음함수 미분을 하면
을 
에 대해 풀면 
을 얻는데 이 두 함수 
와 
은 각각 
을 만족하고 구간 
에서 정의되는 양함수해이다.
(2) 
에 대해서 
이고 
이므로 구간 
에서 미분방정식의 해가 된다.
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[예제 2]
미분방정식 
은 모든 
에 관해서 
이 성립한다는 것을 의미한다. 즉, 방정식의 해 
에다가 도함수 
를 더하면 항상 상수 
이 된다는 것이다. 다음 함수들 
이 미분방정식을 만족하는 함수인지 아닌지 알아보아라.
[풀이]
에 대해서는 
이 되므로 
은 성립하지 않음을 알 수 있다. 
에 대해서는 
이 되므로 
은 항상 성립한다.
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# x_t 박스에 1을 넣고 박스 바깥 부분을 클릭하면 TRUE 가 나온다.
위의 예제를 통해서 우리는 미분방정식 
에 대한 하나의 해 
을 얻었고 또 다른 해 
도 얻을 수 있다.
해의 분류
[예제 4]
미분방정식 
을 SAGE 프로그램을 이용하여 풀어 보아라.
[풀이]
이 미분방정식에 대한 하나의 해는 
이 추측할 수 있다. SAGE 프로그램을 이용하여 해를 구하는 방법은 아래와 같다.
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[예제 5]
1계 미분방정식 
의 일반해와 특이해를 구하여라. 또한 미분방정식 
의 일반해를 구하고, 특이해는 존재하지 않음을 SAGE를 이용하여 보여라.
[풀이]
1계 미분방정식 
의 일반해는
이고, 특이해는 
으로 주어진다. 한편 미분방정식 
의 일반해는
로 주어지고, 특이해는 존재하지 않는다. 이것을 SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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[Sage 코딩]
곡선족
미분방정식 
의 일반해는 
(단, 
는 임의 상수)이고, 이것은 원점을 지나는 곡선족을 나타낸다. SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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[예제 1]
평면 위에서 원점을 중심으로 하고 반지름 
인 원의 방정식은
이다. 상수 
의 값에 따라 원점을 중심으로 하는 원들을 얻을 수 있다. 주어진 원의 방정식을 해곡선으로 가지는 미분방정식을 구하여라.
[풀이]
우선 주어진 원의 방정식에서 상수 
을 포함하지 않는 관계식을 구해보자. 주어진 원의 방정식을 
에 관하여 미분하면
이 된다. 이 미분방정식은 원점을 중심으로 하고 반지름이 
인 원들을 해곡선으로 가지는 미분방정식이다. 이것을 SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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[예제 2]
평면 위에서 두 초점 
에서의 거리의 합이 
인 타원의 방정식은
이다. 상수 
의 값에 따라 두 초점 
에서의 거리의 합이 
인 타원들을 얻을 수 있다. 주어진 타원의 방정식을 해곡선으로 가지는 미분방정식을 구하여라.
[풀이]
우선 주어진 타원의 방정식에서 상수 
을 포함하지 않는 관계식을 구해보자. 주어진 타원의 방정식을 
에 관하여 미분하면
이 된다. 이 미분방정식은 원점을 중심으로 하고 두 초점 
에서의 거리의 합이 
인 타원들을 해곡선으로 가지는 미분방정식이다. 이것을 SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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[예제 3]
평면 위에서 두 초점 
에서의 거리의 차가 
인 쌍곡선의 방정식은
이다. 상수 
의 값에 따라 두 초점 
에서의 거리의 차가 
인 쌍곡선들을 얻을 수 있다. 주어진 쌍곡선의 방정식을 해곡선으로 가지는 미분방정식을 구하여라.
[풀이]
우선 주어진 쌍곡선의 방정식에서 상수 
을 포함하지 않는 관계식을 구해보자. 주어진 타원의 방정식을 
에 관하여 미분하면
이 된다. 이 미분방정식은 원점을 중심으로 하고 두 초점 
에서의 거리의 차가 
인 쌍곡선들을 해곡선으로 가지는 미분방정식이다. 이것을 SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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곡선족에 속하는 모든 곡선이 공통적으로 만족하는 미분방정식을 구하려면 
에 관하여 미분해서 상수를 소거하면 된다. 이렇게 구해진 미분방정식을 곡선족에서 유도된 미분방정식 또는 곡선족의 미분방정식이라 한다. 일반적으로 임의의 상수를 
개 포함하는 곡선족으로부터는 
계 미분방정식이 유도된다.
방향장
[예제 4]
1계 미분방정식 
의 방향장 그래프를 그리고, 점 
를 지나는 해곡선을 그려라.
[풀이]
직각 쌍곡선 
(
는 상수)를 
를 변화시켜가며 그리고 이 등경사선들을 따라 기울기가 
인 많은 선요소를 그린다. 이것이 방향장을 나타낸다. 이것을 SAGE를 이용하면 다음과 같이 확인할 수 있다.
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[예제 5]
1계 미분방정식 
의 방향장 그래프를 그리고, 점 
를 지나는 해곡선을 그려라.
[풀이]
등경사선은 
이고, SAGE 프로그램을 사용하면 다음과 같이 해결할 수 있다.
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초기값 문제(Initial value problem)
CAS[예제 2]
미분방정식 
의 해를 SAGE를 이용하여 구하여라.
[풀이]
초기값 문제 
의 해는 
으로 주어진다. SAGE를 이용한 풀이는 아래와 같다.
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CAS[예제 3]
초기값 문제 
의 해를 구하여라.
[풀이]
초기값 문제 
의 해는 
으로 주어진다. SAGE를 이용한 풀이는 아래와 같다.
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CAS[예제 4]
2계 미분방정식 
의 일반해를 구하여라. 또 이 미분방정식에다 다음과 같이
초기조건들이 있을 때 특수해를 구하여라.
[풀이]
2계 미분방정식 
의 일반해는
임을 쉽게 확인할 수 있다. 이 미분방정식에다 다음과 같이
초기조건들이 있으면 특수해가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
이러한 특수해를 SAGE를 이용하면 쉽게 구할 수 있다.
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