• 만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

03

일계미분방정식

First-order Ordinary Differential Equation

■ 목차 (아래 절별 실습실로 연결되도록 링크 설정)

3.1 기본개념          

3.2 변수분리형미분방정식

3.3 완전미분방정식

3.4 적분인자

3.5 선형미분방정식

3.6 매개변수변화법

3.7 일계미분방정식의 응용

3.8 연습문제

 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-3.html

일계 미분방정식(first-order ODE)

초깃값문제

[예제 1]

다음 미분방정식의 일반해를 구하여라.

(1)                               (2)

[풀이]

(1) 에서 이므로 일반해는 이다.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

(2) 에서 이므로 일반해는 이다.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

[예제 2]

다음 초깃값문제의 특수해를 구하여라.

(1) ,              

(2) ,                                    

[풀이]

(1) 에서 이므로 일반해는

   이다.

   에서 이므로 이다.

  특수해는 이다.

(2) 에서 이므로 일반해는 이다.

   에서 이므로 이다.

   특수해는 이다.

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    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

변수분리형

[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

      일 때 의 양변을 적분하면

     에서 이므로 이다.

     단, 는 임의의 상수이다.

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[예제 2]

다음 초깃값 문제를 구하여라.

,  

[풀이]

      일 때 의 양변을 적분하면

     에서 이고 는 임의의 상수이다.

     에서 이므로 이다.

     구하고자 하는 해는 이다.

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동차형 미분방정식 (I)

[예제 3]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

      이므로 주어진 미분방정식은 동차형이다.

     라면 또는 을 주어진 미분방정식에

     대입하여 정리하면 에서

     이다. 위 식의 양변을 적분하면

에서 라면 일반해는 (단, 는 임의의 상수) 이다.

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[예제 4]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

      로 치환하여 에 대하여 미분하면

에서

     을 주어진 식에 대입하면

     에서 일 때

     의 양변을 적분하면

     이므로 에서

     단,

     이다. 일 때 이므로 일반해는 다음과 같다.

                          (단, 는 임의의 상수)

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동차형 미분방정식 (II)

[예제 5]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

       라면

       ②을 ①에 대입하면

     에서

     의 양변을 적분하면

     에서 라면

     에서 이므로

     일반해는 (단, 는 임의의 상수) 이다.

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[예제 6]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     의 해를 구하면 이므로

     와

     ②을 ①에 대입하면

     라면 의 양변을 관하여 미분하면

     ⑤을 ④에 대입하면

     에서

     이다.

     의 양변을 적분하면 다음과 같다.

      이고

     이다.

     에서 이므로 일반해는 다음과 같다.

      (단, 는 임의의 상수)

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CAS[예제 7]

Sage를 이용하여 미분방정식

 단, , , 는 임의 상수

을 구하여라.

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CAS[예제 8]

Sage를 이용하여 미분방정식 을 구하여라. 

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CAS[예제 9]

Sage를 이용하여 다음의 초깃값 문제를 구하여라.

,    

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완전미분방정식

[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

      라 하면

     에서

     이므로 는 완전 미분방정식이다.

     를 구하기 위하여 위 식을 에 대하여 미분하면

     를 얻는다.

     그러므로 이고 적분하면 이다.

     이 미분방정식의 일반해는

     이다. 의 미분을 통하여 음함수 해를 검증할 수 있다.

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② 미분방정식 풀이

x = var('x')

y = function('y', x)

de = lambda y : (x^2 - y)*diff(x) - x*diff(y) == 0

desolve(de(y), [y, x])

[예제 2]

다음 초깃값 문제를 구하여라.

,  

[풀이]

      라 하면

     에서

     이므로 는

     완전 미분방정식이다. 따라서

     를 구하기 위하여 위 식을 에 대하여 미분하면

     를 얻는다. 그러므로 이고 적분하면 이다.

     이 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

     이다. 와 에서 이므로 이 미분방정식의 특수해는 다음과 같다.

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② 미분방정식 풀이

var('x')

y=function('y', x)

desolve((3*x-2*y)*diff(x) - (2*x-3*y)*diff(y)==0, y, ics=[2, 2])

CAS[예제 9]

Sage를 이용하여 미분방정식

을 구하여라. 

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적분인자(Integrating Factor)

[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     에서이므로

     은 완전 미분방정식이 아니다.

     에서

     적분인자는 이다.

     의 양변 을 곱하면

     이므로 일반해는 다음과 같다.

      (단, 는 임의상수)

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동차 선형 미분방정식(Homogeneous Linear ODES)

비동차 선형 미분방정식(Nonhomogeneous Linear ODES)

[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

      에서 이다.

     이라 하면

     에서

     이므로

     이 방정식은 완전미분방정식이 아니다.

     는 만의 함수이고,

     적분인자 는 다음과 같다.

     양변에 를 곱한 결과는

     이므로 의 양변을 에 대하여 적분하면 다음과 같다.

        즉, (단, 는 임의상수)

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[예제 2]

초깃값문제 을 구하여라.

[풀이]

      에서 이다.

     라 하면

     에서

     이므로 이 방정식은 완전미분방정식이 아니다.

     는 만의 함수이고,

     적분인자 는 다음과 같다.

     양변에 를 곱한 결과는

     이므로 의 양변을 에 대하여 적분하면 다음과 같다.

 (단, 는 임의상수)

     따라서 일반해는

  (단, 는 임의상수)

     이고, 초기조건 에서 이므로 이다.

     특수해는 다음과 같다.

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[예제 3]

Sage를 이용하여 미분방정식

을 구하여라.

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Bernoulli 미분방정식

[예제 4]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     의 양변을 으로 나누면 다음을 얻는다.

     라 하고 양변을 에 대하여 미분하면

에서

     이다. 에서 가 선형방정식이므로

     이 되고 라 하면

     에서

     적분인자 는 이다.

     에 적분인자를 곱하면 이다.

     의 양변을 에 대하여 적분하면

     이다.

에서

      이므로 주어진 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

      (단, 는 임의상수)

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[예제 5]

미분방정식 을 구하여라. Logistic Equation (Verhulst equation)

[풀이]

     에서 의 양변을 으로 나누면

     라 하고 양변을 에 대하여 미분하면 이므로

     에서 가 선형방정식이다. 따라서

     에서

     이라 하면

     이므로

     이 방정식은 완전미분방정식이 아니다.

     는 만의 함수이고,

     적분인자 는 다음과 같다.

     양변에 를 곱한 결과는 이므로

     의 양변을 에 대하여 적분하면

    (단, 는 임의상수)

     이다. 에서 이다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

                              (단, 는 임의상수) 

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Riccati 미분방정식

[예제 6]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     라면 에서

     이다. 의 양변을 으로 나누면

     이므로 라 하고 양변을 에 대하여 미분하면

     에서 이므로

     에서 가 선형방정식이다.

     에서 이라 하면

     이고,

     에서

     적분인자 는 이다.

     따라서 이고, 의 양변을 에 대하여 적분하면

     에서 을 대입하면

     에서 이고 따라서 미분방정식의 해는 다음과 같다.

       (단, 는 임의상수)

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Clairaut 미분방정식

[예제 7]

미분방정식 의 일반해와 특이해를 구하여라. 단, 이다.

[풀이]

     ①의 양변을 에 관하여 미분하면 다음과 같다.

     에서

     ②에서 이므로

     일 때 (단, 는 임의상수)

     ③을 ①에 대입하면

     일반해는 (단, 는 임의상수)이다.

     일 때

     ④을 ①에 대입하면 특이해는 다음과 같다.

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매개변수변화법

[예제 1]

미분방정식 를 매개변수변화법을 이용하여 구하여라.

[풀이]

     동차미분방정식 의 한 해는 이다.

      에서 의 양변을 적분하면

     에서 이므로 이다.

     라면 를 주어진 방정식에 대입하면

     에서 이므로

     이다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

                       (단, 는 임의상수)

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모집단의 증가와 감소

[예제 1]

어느 암 환자의 암 세포를 떼어 내어 배양기에서 10일 동안 배양한 결과 배로 암 세포가 증가 하였다. 초기 암 세포의 수를 배로 증가하기 위하여 몇 일 동안 배양해야 하는지 구하여라.

[풀이]

     초기의 암 세포의 수를 라면 모집단의 크기는 이다.

       초기 조건 에서 이므로

       모집단의 변화율 은 이다. 따라서

     이므로

     이다. 즉, 일 후에 암 세포의 수는 배가 된다.

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뉴턴의 냉각 법칙

[예제 2]

어느 음식점 주방에서 의 오븐에서 바베큐를 꺼내어 의 주방에서 분후에 바베큐의 온도는 가 되었다. 이때 바베큐가 먹기에 적당한 온도인 로 내려가는 시간을 구하여라.

[풀이]

     는 바베큐의 온도, 는 외부 온도라 하면 뉴턴의 냉각 법칙에 의하여

      이 성립하고, 초기온도는 이고 이다. 주어진 미분방정식

     의 일반해는 (단, 는 임의상수)이다. 초기 조건 에서

    이고, 이다. 따라서 특수해는

    이다.

    분후에 바베큐의 온도가 이므로 이다.

     에서 이다.

     이 값을 온도식에 대입하면 이다.

     바베큐의 온도가 이므로 에서 이다.

     그러므로 분에 바베큐의 온도가 가 된다.

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방사능 반감기

[예제 4]

세계 보건 기구가 정한 식수의 세슘-의 허용한도는 이다. 오염된 실수를 조사하여 보니 세슘-이 가 존재한다. 식수의 기준이 되려면 몇 년 걸리는가? 세슘-의 반감기는 년이고 =Becquerel은 방사능 활동의 양을 나타내는 단위로서, 국제 표준 단위이다. 초에 방사성 감쇠가 번 일어날 때 베크렐이다.

[풀이]

     방사능 감쇠의 미분방정식은

      이고 일반해는 이다.

      반감기가 년이므로 일 때 세슘-이 반으로 줄어든다.

       에서 이므로 이다.

        에서 이다.

        식수의 기준이 되려면 년이 걸린다.

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혼합 문제

[예제 5]

수조에 의 물에 설탕이 이 들어 있다. 당 의 설탕이 용해된 설탕물이 분당 씩 수조 안으로 흘러들어오고 설탕물은 혼합하여 일정하게 유지된다. 그리고 분당 의 설탕물이 흘러나간다. 임의의 시간 에서 수조 안에 있는 전체 설탕의 양을 구하여라.

[풀이]

     를 임의의 시간 에 대하여 수조 안의 설탕의 총량이라 하자.

     균형법칙(Balance law)에 의하여 시간에 따른 설탕양의 변화율은

     이다. 설탕의 유입량은 곱하기 에 의해여 이고

     유출량은 의 설탕물, 즉 수조 안의 총 설탕물 양의 이므로 유출되는

     설탕의 양은 의 의 곱이므로 이다. 따라서 미분방정식

, 

     의 일반해는 (단, 는 임의상수)이다.

    초기조건이 이므로 에서 이다.

     따라서 시간 에서 수조 안에 있는 설탕의 총량은 다음과 같다.

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RL 직렬회로

[예제 6]

그림 7.1에서 회로에 흐르지 않을 때 전류 을 구하여라.

[풀이]

     스위치가 열린 상태에서 전압 방정식은 이다.

    위 미분방정식의 일반해를 구하여보자.

    위 식을 정리하면 이다. 위 식을 양변을 적분하면

                                       단,

     이므로 일반해는 이다.

     특수해는 조건 일 때 전류 을 대입하면 이다.

      그러므로 구하는 미분방정식의 특수해는 다음과 같다.