[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage
[한빛] 응용 공학수학 (실습실)
4장 이계미분방정식
C H A P T E R
04
이계미분방정식
Second-order Ordinary Differential Equation
■ 목차 (아래 절별 실습실로 연결되도록 링크 설정)
4.1 이계선형미분방정식의 개념
4.2 상수계수 동차 선형미분방정식
4.3 Euler-Cauchy Equation
4.4 비동차선형미분방정식
4.5 매개변수변환법
4.6 진동
4.7 전기회로
4.8 연습문제
http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-4.html
이계 선형미분방정식의 해
[예제 1]
과 
는 모든 
에 대하여 동차 선형미분방정식
의 해임을 보이고, [정리 4-1]이 성립함을 보여라.
[풀이]
, 
이므로 두 함수 
는 동차 선형미분방정식 
의 해이다.
일차 결합을 
라 하면
이므로 역시 
의 해이다. 따라서 [정리 4-1]을 만족한다.
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초깃값문제
[예제 4]
초깃값문제 
, 
, 
을 구하여라.
[풀이]
예제 1에서 선형 미분방정식 
의 일반해는
임을 구하였다. 따라서 미분하면 
이다. 초기조건
에서 
, 
이다. 따라서 특수해는 
이다.
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[예제 5]
함수 
와 
는 일차독립임을 보여라.
[풀이]
에서 [정리 4-3]에 의해 
과 
는 일차독립이다.
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미분연산자
[예제 1]
미분방정식 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
또는 
이다. 따라서
일반해는 
이다.
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[예제 2]
초깃값문제 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
또는 
이다. 따라서
일반해는 
이다.
에서 
이므로 초기조건에서
, 
이므로 
이다. 따라서 특수해는 
이다.
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[예제 3]
미분방정식 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
이다.
따라서 일반해는 
이다.
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[예제 4]
초깃값문제 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
이다. 따라서 일반해는 
이다.
에서 
이다.
초기조건 
, 
에서 
이고 
이다.
따라서 특수해는 
이다.
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[예제 5]
미분방정식 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
이다.
따라서 일반해는 
이다.
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[예제 6]
초깃값문제 
을 구하여라.
[풀이]
주어진 미분방정식의 특성방정식은
이므로 특성근은 
이다.
따라서 일반해는 
이다.
이므로
초기조건 
, 
에서 
, 
이다.
따라서 특수해는 
이다.
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미분연산자법
[예제 7]
을 인수분해하고 
을 구하여라.
[풀이]
에서 
이다.
일반해 
이다.
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Euler-Cauchy 방정식
[예제 1]
미분방정식 
의 일반해를 구하여라.
[풀이]
이라 하면 
에서
이다.
따라서 보조방정식은 
이므로
특성근은 
, 
이다.
는 일차독립이므로 일반해는 
이다.
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# 위의 결과를 정리하면 풀이와 같은 결과가 나온다.
# Sage는 풀이와 같은 형식으로 답을 제공해주지 않을 때도 있다.
[예제 5]
미분방정식 
의 일반해를 구하여라.
[풀이]
이라 하면 
에서
아다.
보조방정식은 
이므로 특성근은 
와 
이다.
일반해는 
이다. (
, 
는 임의의 실수)이다.
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비동차 선형미분방정식
미정계수법(Method of undetermined coefficient)
[예제 1]
미분방정식 
을 구하여라.
[풀이]
의 특성방정식 
의 특성근은 
이므로
일반해 
는 
이다. 
이므로
라 하면 
에서 미분방정식에 대입하여
다음을 얻는다.
양변의 계수를 비교하면
에서 
이므로 특수해는 
이다.
따라서, 일반해는 
이다.
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[예제 3]
미분방정식 
을 구하여라.
[풀이]
의 특성방정식 
에서 특성근은
이므로 일반해 
는 
이다.
이므로 특수해 
라 하면
을 대입하여 다음을 얻는다.
양변의 계수를 비교하면 
에서 
이다.
특수해는 
이다.
따라서 일반해는 
이다.
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매개 변수 변환법(Method of Variation of Parameters)
[예제 2]
비동차 미분방정식 
를 매개변수변화법을 이용하여 구하여라.
[풀이]
동차 상미분방정식 
의 일반해는 
이다.
Wronskian는
식 (4.5.1)로부터 적분상수들을 
으로 선택하면, 주어진 방정식의 특수해는
, 
= 
,
= 
주어진 미분방정식의 일반해는
= 
+ 
이다.
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단진동
감쇠 진동
[예제 2]
물체의 질량 
이 
이고 스프링 상수 
가 
이며 
과 
을 가지는 감쇠 상수 
가 다음과 같을 때 이 감쇠진동계의 운동은 어떻게 변하는가?
(a) 
(b) 
(c) 
[풀이]
(a) 
에서 
일 때 모델의 초깃값문제
, 
, 
의 특성방정식은 
이므로
특성근은 
이다.
일반해는
이고, 또한
이다. 초기조건에서 
이므로 
이다.
과도감쇠 진동의 경우 특수해는
이다. 이 해는 
일 때 
으로 매우 빠르게 접근하고 물체는 정지한다.
(b) 
에서 
일 때 모델은 초깃값문제
, 
, 
의 특성방정식은 
이므로
특성근은 
(중근)이다.
일반해는
이고, 또한
이다. 초기조건에서 
이므로 
이다.
임계감쇠 진동의 경우 특수해는
이고 이 해는 항상 양이며 단조로운 형태 
으로 감소한다.
(c) 
에서 
일 때 모델은 초깃값문제
, 
, 
의 특성방정식은 
이므로
특성근은 
이다.
일반해는
이고, 또한
이다. 초기조건에서 
이므로
이다.
저감쇠 진동의 경우 특수해는
이고 진폭은 
으로 간다.
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강제공진
실제진동
[예제 1]
그림 4.7.3의 전기 회로는 저항기, 인덕터, 커패시터로 구성된 회로에서 초기전류와 초기 전하가 
일 때 시간에 대한 전류 
를 구하여라.
그림 4.7.3 
직렬회로
[풀이]
Kirchhoff의 전압 법칙에 의하여 다음과 같은 미분방정식을 얻는다.
위 미분방정식에서 
를 대입하여 정리하면 2계 선형 미분 방정식
을 얻는다. 이 때 초기 전류와 초기 전하가 
이므로 
, 
이다.
의 일반해 
는
이다.
의 특수해 
는 
이다.
의 일반해는
이다.
따라서 
이다.
에서 
이다.
에서 
이다.
그러므로 
, 
이다.
, 
을 
에 대입하면 
이다.
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