[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화

4장 이계미분방정식


C H A P T E R

04



이계미분방정식

Second-order Ordinary Differential Equation


선입니다.



■ 목차 (아래 절별 실습실로 연결되도록 링크 설정)

4.1 이계선형미분방정식의 개념           

4.2 상수계수 동차 선형미분방정식     

4.3 Euler-Cauchy Equation         

4.4 비동차선형미분방정식                 

4.5 매개변수변환법                    

4.6 진동                              

4.7 전기회로

4.8 연습문제 


http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-4.html 


이계 선형미분방정식의 해



[예제 1]

는 모든 에 대하여 동차 선형미분방정식

의 해임을 보이고, [정리 4-1]이 성립함을 보여라.

[풀이]


,

     이므로 두 함수 는 동차 선형미분방정식 의 해이다.

     일차 결합을 라 하면

     

     이므로 역시 의 해이다. 따라서 [정리 4-1]을 만족한다.


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초깃값문제


[예제 4]

초깃값문제 , 을 구하여라.

[풀이]

      예제 1에서 선형 미분방정식 의 일반해는

     

     임을 구하였다. 따라서 미분하면 이다. 초기조건

     

     에서 , 이다. 따라서 특수해는 이다.


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[예제 5]

함수 는 일차독립임을 보여라.

[풀이]

     

     에서 [정리 4-3]에 의해 는 일차독립이다.


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미분연산자


[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

     이므로 특성근은 또는 이다. 따라서

     일반해는 이다.


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[예제 2]

초깃값문제 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

     이므로 특성근은 또는 이다. 따라서

     일반해는 이다.

     에서

     이므로 초기조건에서

     ,

     이므로 이다. 따라서 특수해는 이다.


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[예제 3]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

     이므로 특성근은 이다.

     따라서 일반해는 이다.


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[예제 4]

초깃값문제 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

    이므로 특성근은 이다. 따라서 일반해는 이다.

    에서 이다.

     초기조건 , 에서 이고 이다.

     따라서 특수해는 이다.


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[예제 5]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

    이므로 특성근은 이다.

    따라서 일반해는 이다.

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[예제 6]

초깃값문제 을 구하여라.

[풀이]

     주어진 미분방정식의 특성방정식은

     

     이므로 특성근은 이다.

     따라서 일반해는 이다.

     이므로

     초기조건 , 에서 , 이다.

     따라서 특수해는 이다.


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미분연산자법


[예제 7]

을 인수분해하고 을 구하여라.

[풀이]

     에서 이다.

     

     일반해 이다.

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Euler-Cauchy 방정식


[예제 1]

미분방정식 의 일반해를 구하여라.

[풀이]

     이라 하면 에서

     

    이다.

    따라서 보조방정식은 이므로

    특성근은 , 이다.

    는 일차독립이므로 일반해는 이다.

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    # 위의 결과를 정리하면 풀이와 같은 결과가 나온다.

    # Sage는 풀이와 같은 형식으로 답을 제공해주지 않을 때도 있다.



[예제 5]

미분방정식 의 일반해를 구하여라.

[풀이]

     이라 하면 에서

     

     아다.

    보조방정식은 이므로 특성근은 이다.

    일반해는 이다. (, 는 임의의 실수)이다.

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비동차 선형미분방정식


미정계수법(Method of undetermined coefficient)



[예제 1]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     의 특성방정식 의 특성근은 이므로

     일반해 이다. 이므로

     

     라 하면 에서 미분방정식에 대입하여

    다음을 얻는다.

           

                          

     양변의 계수를 비교하면

     에서

     이므로 특수해는 이다.

     따라서, 일반해는 이다.

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[예제 3]

미분방정식 을 구하여라.

[풀이]

     의 특성방정식 에서 특성근은

     이므로 일반해 이다.

     이므로 특수해 라 하면

     을 대입하여 다음을 얻는다.

     

     양변의 계수를 비교하면 에서 이다.

    특수해는 이다.

     따라서 일반해는 이다.


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매개 변수 변환법(Method of Variation of Parameters)


[예제 2]

비동차 미분방정식 를 매개변수변화법을 이용하여 구하여라.

[풀이]

     동차 상미분방정식 의 일반해는 이다.

     Wronskian는

     

     식 (4.5.1)로부터 적분상수들을 으로 선택하면, 주어진 방정식의 특수해는

            ,

      = ,

     =

     주어진 미분방정식의 일반해는

 = +

      이다. 

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단진동


감쇠 진동


[예제 2]

물체의 질량 이고 스프링 상수 이며 을 가지는 감쇠 상수 가 다음과 같을 때 이 감쇠진동계의 운동은 어떻게 변하는가?

(a)        (b)     (c)

[풀이]

     (a) 에서 일 때 모델의 초깃값문제

,    ,   

     의 특성방정식은 이므로

     특성근은 이다.

     일반해는

     이고, 또한

     이다. 초기조건에서 이므로 이다.

     과도감쇠 진동의 경우 특수해는

     이다. 이 해는 일 때 으로 매우 빠르게 접근하고 물체는 정지한다.

     (b) 에서 일 때 모델은 초깃값문제

,    ,   

     의 특성방정식은 이므로

     특성근은 (중근)이다.

     일반해는

     이고, 또한

     이다. 초기조건에서 이므로 이다.

     임계감쇠 진동의 경우 특수해는

     이고 이 해는 항상 양이며 단조로운 형태 으로 감소한다.


     (c) 에서 일 때 모델은 초깃값문제

,    ,   

     의 특성방정식은 이므로

     특성근은  이다.

     일반해는

     이고, 또한

      

 

     이다. 초기조건에서 이므로

     이다.

     저감쇠 진동의 경우 특수해는

     이고 진폭은 으로 간다.


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강제공진


실제진동




[예제 1]

그림 4.7.3의 전기 회로는 저항기, 인덕터, 커패시터로 구성된 회로에서 초기전류와 초기 전하가 일 때 시간에 대한 전류 를 구하여라.

그림입니다.

그림 4.7.3 직렬회로

[풀이]

     Kirchhoff의 전압 법칙에 의하여 다음과 같은 미분방정식을 얻는다.

     위 미분방정식에서 를 대입하여 정리하면 2계 선형 미분 방정식

     을 얻는다. 이 때 초기 전류와 초기 전하가 이므로 , 이다.

      의 일반해

      이다.

      의 특수해 이다.


      의 일반해는

      이다.

      따라서 이다.

      에서 이다.

      에서 이다.

      그러므로 , 이다.

      , 에 대입하면 이다.


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