[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식

C H A P T E R

05



고계 미분 방정식

Higher-order ODEs


선입니다.




■ 목차

5.1  고계 미분 방정식의 기본 이론

5.2  상수 계수를 갖는 고계 미분 방정식

5.3  비동차 미분 방정식의 풀이

5.4 연습 문제



 http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-5.html




사각형입니다.사각형입니다.



계 선형미분방정식


함수의 일차독립과 론스키안





상수계수 동차 고계 선형미분방정식



(1) 서로 다른 실근


[예제 1]

다음 미분 방정식의 일반해를 구하고 주어진 초기 조건을 만족하는 해 또한 구하여라.

[풀이] 

우선 를 대입하여 특성 방정식을 구하면 다음과 같다.

이로부터 다음과 같이 일반해를 구할 수 있다.

이제 초기 조건을 이용하여 상수들의 값을 구한다. 각각의 조건을 위 식에 적용하면

,  ,

이므로 이들로부터 구한 상수값은 다음과 같다.

따라서 주어진 초기 조건을 만족하는 미분 방정식의 해는 다음과 같다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.








(2) 서로 다른 복소근



[예제 2]

다음 미분 방정식의 일반해를 구하고 주어진 초기 조건을 만족하는 해 또한 구하여라.

[풀이] 

우선 를 대입하여 특성 방정식을 구하면 다음과 같다.

위 특성 방정식의 근은 다음과 같이 두 개의 켤레쌍 (conjugate pair)으로 나오므로

다음과 같이 네개의 해를 얻을 수 있다.

이들은 오일러 공식으로부터 각각 다음과 같이 나타낼 수 있으므로

                   

                   

[정리 5.2.2]를 이용하여 네 개의 서로 다른 실근을 얻는다. 이들을 조합하면 미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.

이제 초기 조건을 이용하여 상수들의 값을 구한다. 각각의 조건을 위 식에 적용하면

, , ,

와 같으며 이로부터 를 얻는다.

[Sage 코딩]









비동차 미분방정식



미정계수법


매개변수 변화법