[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage


[한빛] 응용 공학수학 (실습실)



이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화

7장 급수해법


C H A P T E R

07


급수해법

 

Series Solutions of ODEs

             

선입니다.




■ 목차 (아래 절별 실습실로 연결되도록 링크 설정)


7.1 거듭제곱 급수

7.2 급수해법

7.3 프로베니우스(Frobenius) 해법

7.4 르장드르(Legendre) 방정식

7.5 베셀(Bessel) 방정식

7.6 연습문제


http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-7.html 

사각형입니다.사각형입니다.



거듭제곱 급수(Power Series)



[예제 1]

급수 의 수렴성을 판단하여라.


[풀이] 라 하고 다음 극한을 계산하면

이므로 급수 는 (절대)수렴한다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

    위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.





[예제 2]

거듭제곱 급수 의 수렴반경을 구하여라.


[풀이] Sage를 이용하여 계산해보자.


[Sage 코딩]



따라서 이므로, 이다.





테일러 급수와 매클로린 급수(Maclaurin series)



대표적인 매클로린 급수는 다음과 같다.

 (1)     (, geometric series)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)     ()   


Sage를 활용하면 아래와 같이 에서 의 차 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있다.


[Sage 코딩]




사각형입니다.  같은 방법으로 위의 모든 함수의 테일러(매클로린) 급수를 확인할 수 있다.

사각형입니다.사각형입니다.




급수해법의 원리



[예제 1]

미분방정식 을 거듭제곱급수를 이용하여 풀어라.


[풀이] 라 놓고, 항별 미분을 이용하면 이므로 이들을 미분방정식에 대입하면 다음을 얻는다.

     

           

[정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 다음과 같은 미정계수법에 대한 순환 공식(recursion formula)을 얻는다.

 또는

이로부터 직접 계산하면 계수에 대한 다음의 관계식을 얻는다.

     ,   , ,

     ,

또는 다음과 같이 Sage를 이용하여 급수의 초기 몇 개 항에 대한 계수를 비교하여 동일한 관계식을 얻을 수도 있다.


[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

    위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.




위에서 얻은 계수를 에 대입하면 다음과 같다.

     

      

      

아래와 같이 Sage의 desolve 명령어를 이용하여 계산한 미분방정식의 해를 다시 급수로 전개하여도 동일한 결과를 얻는다.


[Sage 코딩]





[예제 2]

미분방정식 을 풀어라.


[풀이] 에서 , 이므로

   

          

          

 이다. [정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 미정계수법에 대한 순환 공식

 또는

                 

 을 얻는다. 따라서 다음과 같은 관계식이 성립한다.

     ,               

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

                           

 단, 와 는 임의의 상수이다. 이들 계수들을 급수 에 대입하면

 

  

  

을 얻는다.

    

[Sage 코딩]



       


[예제 3]

미분방정식 을 풀어라.


[풀이] 에서 , 이므로

     

             

             

             

             

 이다. [정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 미정계수법에 대한 순환 공식

            또는 

           

 을 얻는다. 따라서 다음과 같은 관계식이 성립한다.

     ,     

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     

 단, 와 는 임의의 상수이다. 이들 계수들을 급수 에 대입하면

   

            

      

      

    

      

    

         

    

      

이 문제의 경우 Sage를 이용하여 계산하면 아래와 같이 복잡한 식으로 나온다.


[Sage 코딩]





해석적 함수, 정칙점, 특이점








사각형입니다.사각형입니다.



특이점에서의 급수해

 

사각형입니다.사각형입니다.




르장드르 방정식



르장드르 다항식


[Sage 코딩]





르장드르 함수


[Sage 코딩]





[예제 1]

을 풀어라.

        

[풀이] 인 르장드르 미분방정식이므로

     , 

     이다. 따라서 구하는 일반해는 다음과 같다.

        

[Sage 코딩]  http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

    위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.





[예제 2]

을 풀어라.

        

[풀이] 인 르장드르 미분방정식이므로

     

     

     이다. 따라서 구하는 일반해는 다음과 같다.

         

[Sage 코딩]





르장드르 다항식의 성질


[예제 3]

로드리게스 공식을 이용하여 르장드르 다항식 와 를 구하여라.

        

[풀이]

               

      

                


[Sage 코딩]



사각형입니다.

  P(x)= 3/2*x^2 - 1/2


Sage를 이용하여 르장드르 다항식의 직교성을 확인해보자.


[Sage 코딩]



 

*생성함수

사각형입니다.사각형입니다.



베셀 방정식



제 1종의베셀 함수 (, 인 정수) 

일부 제1종의 베셀 함수의 예와 그 그래프이다. 는 감쇠진동하는 함수이다.


[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080





베셀 방정식의 일반해: 제 2종의 베셀함수


[예제 3]

미분방정식 의 일반해를 구하여라.

[풀이] 위 미분방정식은 인 베셀 방정식이므로 이 미분방정식의 일반해는

      

            

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

    위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.





[예제 4]

미분방정식 의 일반해를 구하여라.

[풀이] 라 하면

   ,

이므로 이를 대입하면 다음 미분방정식을 얻는다.

이는 인 베셀 방정식이므로 이 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

         

[Sage 코딩]





아래는 일부 제2종의 베셀 함수의 예와 그 그래프이다.


[Sage 코딩]






[예제 5]

다음 미분방정식은 으로 치환을 하면 베셀 미분방정식이 됨을 밝히고 그 일반해를 구하여라.

        .

[풀이] 이므로 ,

       

을 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

        

이 방정식은 인 베셀 미분방정식이다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

     (는 임의 상수)


[Sage 코딩]