[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage
[한빛] 응용 공학수학 (실습실)
7장 급수해법
C H A P T E R
07
급수해법
Series Solutions of ODEs
■ 목차 (아래 절별 실습실로 연결되도록 링크 설정)
7.1 거듭제곱 급수
7.2 급수해법
7.3 프로베니우스(Frobenius) 해법
7.4 르장드르(Legendre) 방정식
7.5 베셀(Bessel) 방정식
7.6 연습문제
http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-7.html
거듭제곱 급수(Power Series)
[예제 1]
급수 의 수렴성을 판단하여라.
[풀이] 라 하고 다음 극한을 계산하면
이므로 급수 는 (절대)수렴한다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.
[예제 2]
거듭제곱 급수 의 수렴반경을 구하여라.
[풀이] Sage를 이용하여 계산해보자.
[Sage 코딩]
따라서 이므로,
이다.
테일러 급수와 매클로린 급수(Maclaurin series)
대표적인 매클로린 급수는 다음과 같다.
(1) (
, geometric series)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (
)
Sage를 활용하면 아래와 같이 에서
의
차 테일러 다항식을 쉽게 구할 수 있다.
[Sage 코딩]
같은 방법으로 위의 모든 함수의 테일러(매클로린) 급수를 확인할 수 있다.
급수해법의 원리
[예제 1]
미분방정식 을 거듭제곱급수를 이용하여 풀어라.
[풀이] 라 놓고, 항별 미분을 이용하면
이므로 이들을 미분방정식에 대입하면 다음을 얻는다.
[정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 다음과 같은 미정계수법에 대한 순환 공식(recursion formula)을 얻는다.
또는
이로부터 직접 계산하면 계수에 대한 다음의 관계식을 얻는다.
,
,
,
,
또는 다음과 같이 Sage를 이용하여 급수의 초기 몇 개 항에 대한 계수를 비교하여 동일한 관계식을 얻을 수도 있다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.
위에서 얻은 계수를 에 대입하면 다음과 같다.
아래와 같이 Sage의 desolve 명령어를 이용하여 계산한 미분방정식의 해를 다시 급수로 전개하여도 동일한 결과를 얻는다.
[Sage 코딩]
[예제 2]
미분방정식 을 풀어라.
[풀이] 에서
,
이므로
이다. [정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 미정계수법에 대한 순환 공식
또는
을 얻는다. 따라서 다음과 같은 관계식이 성립한다.
,
,
,
,
,
,
단, 와
는 임의의 상수이다. 이들 계수들을 급수
에 대입하면
을 얻는다.
[Sage 코딩]
[예제 3]
미분방정식 을 풀어라.
[풀이] 에서
,
이므로
이다. [정리 7.1.5]의 1(상등)으로부터 미정계수법에 대한 순환 공식
또는
을 얻는다. 따라서 다음과 같은 관계식이 성립한다.
,
,
,
,
,
,
,
,
단, 와
는 임의의 상수이다. 이들 계수들을 급수
에 대입하면
이 문제의 경우 Sage를 이용하여 계산하면 아래와 같이 복잡한 식으로 나온다.
[Sage 코딩]
해석적 함수, 정칙점, 특이점
특이점에서의 급수해
르장드르 방정식
르장드르 다항식
[Sage 코딩]
르장드르 함수
[Sage 코딩]
[예제 1]
을 풀어라.
[풀이] 인 르장드르 미분방정식이므로
,
이다. 따라서 구하는 일반해는 다음과 같다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.
[예제 2]
을 풀어라.
[풀이] 인 르장드르 미분방정식이므로
이다. 따라서 구하는 일반해는 다음과 같다.
[Sage 코딩]
르장드르 다항식의 성질
[예제 3]
로드리게스 공식을 이용하여 르장드르 다항식 와
를 구하여라.
[풀이]
[Sage 코딩]
P(x)= 3/2*x^2 - 1/2
Sage를 이용하여 르장드르 다항식의 직교성을 확인해보자.
[Sage 코딩]
*생성함수
베셀 방정식
제 1종의베셀 함수 (
,
인 정수)
일부 제1종의 베셀 함수의 예와 그 그래프이다. 는 감쇠진동하는 함수이다.
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
베셀 방정식의 일반해: 제 2종의 베셀함수
[예제 3]
미분방정식 의 일반해를 구하여라.
[풀이] 위 미분방정식은 인 베셀 방정식이므로 이 미분방정식의 일반해는
[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080
위의 주소에 가서 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.
[예제 4]
미분방정식 의 일반해를 구하여라.
[풀이] 라 하면
,
이므로 이를 대입하면 다음 미분방정식을 얻는다.
이는 인 베셀 방정식이므로 이 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.
[Sage 코딩]
아래는 일부 제2종의 베셀 함수의 예와 그 그래프이다.
[Sage 코딩]
[예제 5]
다음 미분방정식은 으로 치환을 하면 베셀 미분방정식이 됨을 밝히고 그 일반해를 구하여라.
.
[풀이] 이므로
,
을 주어진 미분방정식에 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.
이 방정식은 인 베셀 미분방정식이다. 따라서 일반해는 다음과 같다.
(
는 임의 상수)
[Sage 코딩]