[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

이상구, 김영록, 박준현, 김응기, 이재화
일계미분방정식

C H A P T E R

라플라스 변환

Laplace Transform

$선입니다.$

■ 목차

8.1 도입: 몇 가지 미분 방정식

8.2 라플라스 변환의 정의와 특성들

8.3 라플라스 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이

8.4 복잡한 입력 함수를 갖는 미분 방정식의 풀이

8.5 전달 함수

8.6 연습 문제

http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-8.html

$사각형입니다.$ $사각형입니다.$

우선 다음 그림과 같이 임의의 함수를 이 블랙박스에 넣었을 때 나오는 것이 그 함수의 라플라스 변환이라고 하자.

$사각형입니다.$

이를 또한 로 표현한다. Sage를 이용하면 간단히 임의의 함수의 라플라스 변환을 다음과 같은 형식으로 구할 수 있다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

이를 실행하면 f(t)의 라플라스 변환 F(s)를 구할 수 있다.

laplace(f(t), t, s) # f에 따라 라플라스 변환을 보여준다.

라플라스 변환은 또한 그 역변환을 가지는데 이는 변환된 함수를 다시 원래 함수로 바꾸는 역할을 하며 로 표현한다.

$사각형입니다.$

라플라스 역변환의 Sage 코드는 다음과 같으며 원래 함수 를 얻는다.

[Sage 코딩]

우선 다음의 1차 미분 방정식을 풀어보자

(8.1.1)

이는 3장에서 배운 대로 적분 인자, 를 이용해서 다음과 같이 풀 수 있다.

그리고 초기 조건을 이용하면 상수 을 얻는다. 이제 라플라스 변환을 이용하여 같은 문제를 풀어보자. Sage를 이용하면 (8.1.1) 각 항의 라플라스 변환을 다음과 같이 얻을 수 있다.

laplace(y(t), t, s)

s*laplace(y(t), t, s) - y(0)

1/(s + 2)

[Sage 코딩]

따라서 (8.1.1)의 변환식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

s*laplace(y(t), t, s) - y(0) - laplace(y(t), t, s) = 1/(s + 2)

표기상의 편의를 위해 laplace(y(t), t, s)를 로 치환하고 초기값 을 대입하면 다음과 같다.

s*Y - 1 - Y = 1/(s + 2)

앞서 언급했던 대로 이 식은 에 대한 대수 방정식이다. 마지막으로 에 대해 정리하면 다음과 같은 변환된 식의 해를 얻을 수 있다.

Y = (s + 3)/(s^2 + s - 2)

여기서 (8.1.1)의 해인 를 구하기 위해서는 Y = (s + 3)/(s^2 + s - 2)를 역변환 해야 한다. 이를 구하면 앞서 구한 해와 동일한

을 얻는다.

[Sage 코딩]

우리가 고려할 두 번째 예는 다음의 이계 미분 방정식이다.

(8.1.2)

이는 비동차 미분 방정식으로 동차 미분 방정식의 일반해를 구한 후 미정 계수법이나 매개 변수 변환법을 이용하여 특수해를 구하여 두 해를 더함으로 일반해를 구할 수 있다. 동차 미분 방정식의 일반해는

이며 특수해 (particular solution)는

이다. 이들을 합한 후 초기 조건을 이용하여 상수, 과 를 구하면 다음과 같은 (8.1.2)의 일반해를 얻는다.

이제 라플라스 변환을 이용하여 동일한 문제를 풀어보자. 우선 미분 방정식 (8.1.2)의 라플라스 변환은 다음과 같이 구할 수 있다.

[Sage 코딩]

여기서 D[0](y)(0)는 의 Sage 코드이다. 이제 초기 조건을 위 식에 대입한다. 그리고 편의를 위해 laplace(y(t), t, s)를 로 표기하면 (8.1.2)의 변환식은 다음과 같다.

(s^2 + s - 2)*Y == 3*s/(s^2 + 4) + s + 2

마찬가지로 이 식도 에 대한 대수 방정식임을 알 수 있다. 이를 Y에 대해 정리하고 라플라스 역변환을 이용하면 (8.1.2)의 해를 구할 수 있다.

[Sage 코딩]

위의 미분 방정식 (8.1.2)의 라플라스 변환에서는 이계도함수 의 변환이 사용되었다. Sage를 이용하면 의 라플라스 변환을 다음과 같이 구할 수 있다.

[Sage 코딩]

위에서 언급했듯이 D[0](y)(0)은 를 나타낸다.

마지막으로 다음의 연립 미분 방정식을 고려한다.

라플라스 변환을 통한 연립 미분 방정식의 풀이는 두 가지 방법으로 접근이 가능하다. 첫째는 각각의 식을 변환한 후 연립하여 해를 구하는 방법이고 둘째는 연립 미분 방정식을 행렬과 벡터로 표현하여 해를 구하는 방법이다. 여기서는 전자의 경우를 8.3절에서는 후자의 경우를 다루도록 한다. 위 식들을 라플라스 변환하면 다음과 같은 변환식을 얻는다.

s*X - x(0) == -2*X + 2*Y

s*Y - y(0) == 2*X - 5*Y (8.1.3)

Sage 코드는 다음과 같다.

[Sage 코딩]

(8.1.3)에서 알 수 있는 것처럼 변환된 식은 미분 방정식이 아닌 대수 방정식이며 따라서 연립 방정식의 풀이 방법을 통해 다음과 같이 해를 구할 수 있다.

X == 10*(8*s + 57)/(s^2 + 7*s + 6)

Y == 5*(17*s + 66)/(s^2 + 7*s + 6)

[Sage 코딩]

이제 라플라스 역변환을 이용하면 주어진 미분 방정식 (초기값 문제)의 해를 다음과 같이 구할 수 있다. (6.1절의 결과와 비교하라.)

solx = 98*e^(-t) - 18*e^(-6*t)

soly = 49*e^(-t) + 36*e^(-6*t)

[Sage 코딩]

라플라스 변환의 정의

라플라스 변환의 선형성

기본적인 함수들의 라플라스 변환

s-이동 (s-shifting)과 스케일 변환 (change of scale)

라플라스 변환의 미분과 적분

라플라스 역변환

도함수와 적분의 라플라스 변환

1계, 2계 미분 방정식의 풀이

[예제 3]

다음 초기값 문제 (8.1.2)의 해를 구하여라.

[풀이]

위의 미분 방정식에 라플라스 변환을 적용하면 다음과 같다.

초기 조건을 대입하고 에 대해 정리한 후 부분 분수법을 이용하면

를 얻는다. 이 과정 또한 Sage를 이용하여 편리하게 구할 수 있다. (아래 Sage 코드 참조.) 따라서 라플라스 변환표로부터 를 다음과 같이 구할 수 있다.

■

위 식에서 알 수 있듯이 라플라스 변환을 이용한 미분 방정식의 풀이는 3~6장과 달리 일반해와 특수해를 따로 구분하여 구할 필요가 없다. 풀이 과정 속에서 자동적으로 일반해와 특수해가 구하여지는 까닭에 동차와 비동차 방정식의 풀이에 구분없이 동일한 풀이법이 적용된다. 이는 라플라스 변환이 미분 방정식의 풀이에 빈번하게 사용되는 이유 중 하나이다.

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

연립 미분 방정식