• 만든사람

[한빛 아카데미] Engeneering Math with Sage

[한빛] 응용 공학수학 (실습실)

C H A P T E R

09

벡터미분

Vector Differential Calculus

■ 목차

9.1 벡터와 내적

9.2 벡터의 외적

9.3 벡터함수와 도함수

9.4 호의 길이, 곡률

9.5 편도함수, 방향도함수, 기울기

9.6 회전(Curl)과 발산(Divergence)

9.7 연습문제

                          http://matrix.skku.ac.kr/EM-sage/E-Math-Chapter-9.html

벡터

벡터의 성분표시

내적의 기하학적 의미

[예제 6]

, 에 대하여 위로의 의 정사영 와 에 수직인 의 벡터성분 를 구하여라.

[풀이]

이므로 ,

[Sage 코딩] http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

    위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

외적(cross product)

[예제 1]

두 벡터 와 에 대하여 을 구하여라.

[풀이] .

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

스칼라 삼중적(triple scalar product)

[예제 2]

벡터 ,  , 에 의하여 형성하는 사면체의 부피를 구하여라.

[풀이] 세 벡터에 의하여 만들어지는 평행육면체의 부피는 스칼라 삼중적의 절대값이다.

평행육면체의 부피는 이다. 따라서 사면체의 부피는 평행육면체의 부피의 이므로 이다.

[Sage 코딩]

점에서 직선까지의 거리

외적의 응용(토크)

벡터함수

 , 의 그래프는

다음과 같은 평면 곡선을 그린다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

마찬가지로 스칼라를 공간상의 벡터로 대응시키는 함수 는 다음과 같은 식으로 표현되며 공간곡선을 나타낸다.

,

여기서 , , 는 에서 로 정의된 함수로써 의 성분 함수라 한다.

[예제 1]

벡터함수 , , 의 성분함수와 정의역을 말하고, 그래프를 그려라.

[풀이] 의 성분함수는 , , 이고, 정의역은 구간 이다. 

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

벡터함수의 극한, 연속, 곡선

[예제 2]

를 구하여라.

[풀이] , , 이므로

[Sage 코딩]

벡터함수의 도함수

[예제 4]

벡터함수 의 이계도함수를 구하여라.

[풀이] 이므로 의 이계도함수는 다음과 같다.    

[Sage 코딩]

벡터함수의 적분

[예제 6]

의 부정적분을 구하여라.

[풀이]

              ,

여기서 는 적분상수 벡터이다.

[Sage 코딩]

호의 길이

[예제 1]

곡선 의 호의 길이함수에 의한 매개변수표현을 구하여라. 단, 호의 길이는 에서 가 증가하는 방향으로 측정한다.

[풀이] 시작점 은 매개변수 에 대응한다.

이므로 

        .

따라서 를 곡선에 대입하면 다음을 얻는다.

        . 

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

접선벡터(Tangent Vector)와 곡률(Curvature)

[예제 4]

반지름이 인 원의 곡률을 구하여라.

[풀이] 중심이 원점이고 반지름이 인 원을 매개변수화하면 로 표현된다. 따라서 이고 이다. 단위접선벡터는

 에서 이므로  곡률은

[Sage 코딩]

  위의 답은 위에서 손으로 해결한 것과 같은 결과임

[예제 5]

의 곡률을 구하여라.

[풀이] , 이므로

 .

따라서 이고, 이므로

[정리 9.4.3]에 의해 곡률은 .

[Sage 코딩]

  위의 답은 위에서 손으로 해결한 것과 같은 결과임

법선 벡터와 종법선(Binormal) 벡터

[예제 6]

다음과 같이 매개변수로 주어진 곡선에 대하여 주 단위법선벡터와 종법선벡터를 구하여라. , , .

[풀이] 곡선의 벡터함수는   이므로 위의 정의에 따라 계산하면 다음을 얻을 수 있다.

     ,

     ,

     ,  ,

     .

         .

[Sage 코딩]

스칼라 함수와 편도함수

[예제 1]

함수 의 편도함수를 구하여라.

[풀이] 직접 계산하면 다음과 같다.

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

연쇄법칙

[예제 2]

다음과 같이 주어지는 함수의 와 에 관한 편도함수를 연쇄법칙을 이용하여 구하여라.

, , ,

[풀이] 연쇄법칙을 이용하면 구하고자 하는 편도함수는 다음과 같다.

     , ,

     , , , , ,

이므로

[Sage 코딩]

[예제 3]

함수 의 이계 편도함수를 모두 구하여라.

[풀이] , 이므로

, , 이다.

[Sage 코딩]

그래디언트(gradient)

[예제 4]

함수 의 그래디언트를 구하라.

[풀이] , , 이므로 이다.

[Sage 코딩]

방향도함수(directional derivative)

[예제 5]

 방향으로 에서 의 방향도함수를 구하여라.

[풀이] , , 이므로 는 연속적으로 미분가능하고 그래디언트는 다음과 같다.

또한이므로 단위벡터는 이다. 따라서, 방향도함수는

            .

[Sage 코딩]

벡터장(vector field)

회전(curl)

[예제 1]

벡터장 의 curl을 구하여라.

[풀이] 회전의 정의에 따라 계산하면 다음과 같다.

        curl                 

                 .

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위의 주소에 가서 아래 명령어를 타이핑하고 실행하면 원하는 답을 얻게 된다.

발산(Divergence)

함수 가 미분 가능한 벡터장이라 하자. 의 발산은 다음과 같이 정의된다.

div

벡터장의 회전은 벡터장이지만 발산은 실수함수가 된다. 미분연산자 를 사용하면 로 나타낼 수 있다.

[예제 2]

다음과 같이 주어진 두 벡터장 와 에 대하여 의 발산을 구하여라.

[풀이] 각각의 필요한 편도함수를 구하여 모두 더하면 된다.

  div , div 이므로

  div 이다.

[Sage 코딩]