MT 김신휘 Characteristic Polynomial and Minimal Polynomial of a Jordan form


Characteristic Polynomial

(Citation : 이상구, Week6: Chapter 4 행렬식 Part 2, http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-6.html, 2013.11.25)


Finding a Characteristic Polynomial using Jordan form

임의의 행렬의 characteristic polynomial은 그 행렬의 Jordan form으로부터 얻을 수 있다. (Ref. MT 김신휘 Jordan Canonical Form - Definition, Link, 2013.11.25 )

(Citation : 이상구, 10.1 점도표를 이용한 jordan 표준형 구하기 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1.html, 2013.11.25)


위의 예제를 sage를 이용해 확인해보자.




 The characteristic polynomial of  = The characteristic polynomial of  : .


Sage:




(Citation : 이상구, 10.1 연습문제 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1-ex.html, 2013.11.25)


Minimal Polynomial


Proof)


(Citation : Fuzhen Zhang, 1999, Springer-Verlag, Matrix Theory, 70-71p)
 
 - 가장 큰 degree를 가진 항의 계수가 1인 polynomial을 monic polynomial이라고 한다.
(Citation : Wikipedia - Monic_polynomial, http://en.wikipedia.org/wiki/Monic_polynomial,, 2013.11.25)
 
 ---------  (*)
(Citation : Fuzhen Zhang, 1999, Springer-Verlag, Matrix Theory, 71p)


Finding a Minimal Polynomial using a Jordan Form
다음과 같은 Jordan form을 생각하자.
의 minimal polynomial을 구하라.
 
Sol)
임의의  에 대하여 Jordan block  행렬이라고 하자.
의 서로 다른 모든 eigenvalue들을 라 하자.
 
Let  and .
 
의 대각선 성분이 가 아니면 임을 보여라 ]  ------- (1)
Let   and  and .
(Ref. MT 김신휘 Computing J^k where J is a Jordan block, Link, 2013.11.25 )
.
.
 
의 대각선 성분이 일 때  and  임을 보여라 ]  ------- (2)
Let .
.
  and .
 
( Ref. MT 김신휘 Computing J^k where J is a Jordan block, Link, 2013.11.25 )
 
 
Let  be a minimal poylnomial of  and  where  : 대각선 성분이 인 가장 큰 Jordan block의 크기.
.      (  by (2) )
.   (   by (*) )
  for some .
Suppose that  such that .
 when  and     (  by (1) and (2) )
.
It is a contradiction.
.
.    

 

Example

다음을 Jordan 표준형으로 갖는 행렬의 minimal polynomial을 구하여라.

(Citation : 이상구, 10.1 연습문제 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1-ex.html, 2013.11.25)

Sol)

 and .

 The minimal polynomial of  : .

                                                                                                                   ■

 

Sage를 이용해서 검산할 수 있다.




(Citation : 이상구, 10.1 연습문제 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1-ex.html, 2013.11.25)

 

References

이상구, 10.1 연습문제 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1-ex.html, 2013.11.25

이상구, Week6: Chapter 4 행렬식 Part 2, http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-6.html, 2013.11.25

이상구, 10.1 점도표를 이용한 jordan 표준형 구하기 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1.html, 2013.11.25

Fuzhen Zhang, 1999, Springer-Verlag, Matrix Theory, 70-71p

Wikipedia - Monic_polynomial, http://en.wikipedia.org/wiki/Monic_polynomial, 2013.11.25

MT 김신휘 Jordan Canonical Form - Definition, Link, 2013.11.25

MT 김신휘 Computing J^k where J is a Jordan block, Link, 2013.11.25

SKKU Matrix Theory Contents


Back to the Index Page