MT 김신휘 Computing A^k using Jordan Canonical Form -- Sage

MT 김신휘 Computing A^k using Jordan Canonical Form

MT Page 334 Problem 9.4.(1)

Compute $A^{k}$ , for $k=1,2,...$

$(1)\: A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 2 &0 \\ 0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}$

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra 334p)

Sol)

( Ref. MT 김신휘 Computing J^k where J is a Jordan block : Link )

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra 333-334p)

MT Page 334 Problem 9.4.(2)

Compute $B^{k}$ for $k=1,2,...$

$(2)B=\begin{bmatrix} 0 & -3 &1 & 2\\ -2 &1 &-1 &2 \\ -2 &1 &-1 &2 \\ -2 &-3 &1 &4 \end{bmatrix}$

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra 334p)

Sol)

(1)과 유사하게 풀 수 있다.

$Q$ 가 orthogonal matrix가 아니므로 $Q^{-1}$ 을 구하자.

$\Rightarrow B^{k}=Q\begin{bmatrix} 2^{k} &0 &0 & 0\\ 0 &2^{k} & 0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 \end{bmatrix}Q^{-1}\: \: \forall k\geq 2$

Program

power_jordan : 임의의 행렬 A와 자연수 k에 대해 A의 jordan form을 이용해 A^k를 구하는 함수.

Note

$A^{k},B^{k}$ 는 sage를 이용해서 직접 구할 수 없다.

Reference

이상구, 10.1 점도표를 이용한 jordan 표준형 구하기 : http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1.html, 2013.11.25

Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 333-334p

MT 김신휘 Computing J^k where J is a Jordan block : Link

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