MT 김신휘 Solving a Linear Ordinal Differential Equation

MT Page 336 Problem 9.5 (선형 미분방정식 풀기)

Solve the system of linear differential equations $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$ with the initial condition $\mathbf{y}\left ( 0 \right )=\mathbf{y}_{0}$, where

$A=\begin{bmatrix} 2 &1 &-1 \\ -3 &-1 &1 \\ 9 &3 &-4 \end{bmatrix}$, $\mathbf{y}_{0}=\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}$.

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 336p)

Sol)

The unique solution of a system of linear differential equations $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$ with initial condition $\mathbf{y}\left ( 0 \right )=\mathbf{y}_{0}$ is $\mathbf{y}\left ( t \right )=e^{tA}\mathbf{y}_{0}$. ( Ref. Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 230-238p )

Let$Q=\begin{bmatrix} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \cdots & \mathbf{u}_{n} \end{bmatrix}$.

$\mathbf{y}\left ( t \right )=e^{tA}\mathbf{y}_{0}=Qe^{tJ}\left ( Q^{-1}\mathbf{y}_{0} \right )=Q\begin{bmatrix} e^{tJ_{1}} & & &0 \\ &e^{tJ_{2}} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & &e^{tJ_{s}} \end{bmatrix}\left ( Q^{-1} \mathbf{y}_{0}\right )$ where $s$ : the number of jordan blocks.

Let $m_{1},m_{2},...,m_{s}$ be natural numbers such that $J_{i}$ is a $m_{i} \times m_{i}$ matrix.

=>$e^{tJ_{i}}=e^{\lambda _{i}t}\begin{bmatrix} 1 &t &t^{2}/2! &\cdots &t^{m_{i}-1}/(m_{i}-1)! \\ 0 &1 &t & \ddots & t^{m_{i}-2}/(m_{i}-2)!\\ & &1 &\ddots & \\ & & &\ddots &t \\ 0 & & & &1 \end{bmatrix}$ ( Ref. MT 김신휘 Computation of e^A using Jordan Canonical Form : Link )

=> $\mathbf{y}\left ( t \right )=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{0}+1} & \mathbf{u}_{n_{0}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{1}} \end{bmatrix}e^{tJ_{1}} & \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{1}+1} & \mathbf{u}_{n_{1}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{2}} \end{bmatrix}e^{tJ_{2}} & \cdots & \begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{s-1}+1} & \mathbf{u}_{n_{s-1}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{s}} \end{bmatrix}e^{tJ_{s}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}$ where $Q^{-1}\mathbf{y}_{0}=\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}$ and $\forall i\in \left \{ 1,2,...,s \right \}, n_{i}:=\sum_{l=1}^{i}m_{l}, \; \; n_{0}:=0$

=> $\mathbf{y}\left ( t \right )=\begin{bmatrix} e^{\lambda_{1} t}\begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{0}+1} & \mathbf{u}_{n_{0}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{1}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \cdots & t^{m_{1}-1}/(m_{1}-1)!\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} & \cdots & e^{\lambda_{s} t}\begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{s-1}+1} & \mathbf{u}_{n_{s-1}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{s}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \cdots & t^{m_{s}-1}/(m_{s}-1)!\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}$

=> $\mathbf{y}\left ( t \right )=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{s} (e^{\lambda_{j} t}\begin{bmatrix} \mathbf{u}_{n_{j-1}+1} & \mathbf{u}_{n_{j-1}+2} & \cdots & \mathbf{u}_{n_{j}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \cdots & t^{m_{j}-1}/(m_{j}-1)!\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{n_{j-1}+1}\\ c_{n_{j-1}+2}\\ \vdots \\ c_{n_{j}} \end{bmatrix}) \end{bmatrix}$

=> $\mathbf{y}\left ( t \right )=\begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{s} (e^{\lambda_{j} t}(\left ( \sum_{k=0}^{m_{j}-1} c_{k+n_{j-1}+1}\frac{t^{k}}{k!} \right )\mathbf{u}_{n_{j-1}+1}+\left ( \sum_{k=0}^{m_{j}-2} c_{k+n_{j-1}+2}\frac{t^{k}}{k!} \right )\mathbf{u}_{n_{j-1}+2}+\cdots +c_{n_{j}}\mathbf{u}_{n_{j}})) \end{bmatrix}$.

Sage를 이용해서 $A=QJQ^{-1}$$A$의 Jordan form $J$와 transition matrix $Q$를 구하자.

이어서 $Q^{-1}\mathbf{y}_{0}=\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{bmatrix}$를 구한다.

그러면 주어진 linear differential equation의 유일한 solution은

$\mathbf{y}\left ( t \right )=e^{-t}\left ( \left ( c_{1}+c_{2}t+\frac{c_3}{2}t^{2} \right )\mathbf{u}_{1}+\left ( c_{2}+c_{3}t \right )\mathbf{u}_{2}+c_{3}\mathbf{u}_{3} \right )$이다.

(Citation : Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 335p)

jordan form을 이용한 미분방정식의 풀이는 임의의 행렬 $A$에 대해서 가능하다.

그와 다르게 임의의 대각화 가능한 행렬 $A$에 대해서는 보다 간단한 다른 풀이를 할 수 있다.

*  행렬의 대각화를 이용한 미분방정식의 해

자연과학과 공학의 많은 문제들은 다음과 같은 일계 미분방정식들의 연립방정식을 푸는 수학적 문제로 바꿀 수 있다.

(1)

여기서,   이다.

방정식 (1)의 해는 축의 임의의 구간에서 정의된 모든 에 대하여  방정식 (1)을 만족하는 모든 미분가능한 함수들의 개의 순서조 () 이다.

이 절에서는 식 (1)의 계수행렬 가 대각화가능한 경우에 행렬의 대각화를 이용하여 연립방정식을 푸는 방법에 대하여 알아본다. 가 대각화가능하지 않은 경우는 Jordan표준형을 이용하여 해를 구할 수 있다.  Jordan표준형은 8.4절에서 다룬다.

이라 하면이므로

(2)

로 쓸 수 있다. 식 (2)의 가장 단순한 형태는  가 대각행렬

인 경우이다.  이 경우  는 독립적인 개의 연립방정식들로, 다음과 같이 나타내어진다.

(3)

여기서  번째의 방정식인 의 일반해는 ( 는 임의 상수)이므로 방정식 (3)의 일반해는 다음과 같음을 알 수 있다.

(4)

이제, 계수행렬  가 대각화가능할 때, 이러한 과정이 어떻게 이루어지는지 살펴보자. 정리 6.1에서 보았드시 가 대각화가능할 필요충분조건은 가 자신의 고유값 에 대응하는 개의 일차독립인 고유벡터 을 갖는것이다.  이 때

,

이라 하면  이므로  이고,로 치환하면 의 원소들은 상수이므로 이다. 따라서 식 (5)로부터

이고, 다음과 같이 계수행렬이 대각행렬인  새로운 연립미분방정식을 얻는다.

(6)

따라서 식 (6)의 일반해는 식(4)와 같이

이다. 그런데 이므로 원래의 미분방정식 의 일반해는

이다. 즉,

(7)

이상으로부터 다음 정리를 얻는다.

정리 6.8  대각화가능한 차의 정사각행렬 의 고유값  에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 각각 이라고 하자. 그러면 의 해는 다음과 같다.

【예제 2】 초기조건 을 갖는 다음 연립미분방정식의 해를 구하라.

(8)

풀 이   계수행렬

의 고유값은  이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각

를 얻을 수 있다. 따라서 정리 6.8에 의하여 이 미분방정식의 일반해는

즉,

여기에 을 대입하여 를 구하면  이다.  따라서,  식 (8)의 해는 다음과 같다.

¶

【예제 3】    다음 연립미분방정식을 풀어라

(9)

풀 이        계수행렬

의 고유값은 이고, 이에 대응하는 의 일차독립인 고     유벡터로 각각

를 얻을 수 있다. 따라서 일반해는 다음과 같다.

일반적으로, 상수계수를 갖는 계 선형미분방정식

(10)

에서

로 치환하면, 선형미분방정식 (10)을 연립미분방정식 로 변환할 수 있다. 여기서, 계수행렬 와 벡터 는 다음과 같다.

【참  고】위의 행렬 를 다항식  의 동반행렬 (Companion matrix) 이라 한다. 행렬 의 특성 방정식은 바로

이다. 또, 위의 다항식 같이 최고차항의 계수가 1인 다항식을 모닉(monic)다항식이라고 한다.

【예제 4】     다음 미분방정식을 풀어라

(11)

풀 이     계수행렬

의  고유값은  이므로  는 대각화가능하고, 이러한 고유값에 대응하는 의 일차독립인 고유벡터로 각각

를 얻을 수 있다. 따라서 에 대하여 의 일반해는 정리 6.8에 의하여

이고, 식 (11)의 일반해는  이므로 다음과 같다.

¶

(Citation : 이상구, http://matrix.skku.ac.kr/nla/ODE2/ODE2.htm, 2013.11.25)

선형 미분방정식 y가 실수일 때 ay''+by'+cy=0를 푸는 프로그램도 있다.

선형 미분 방정식 풀이 : http://matrix.skku.ac.kr/sglee/skku-java-out/single_diff.html (이상구, 2013.11.25에 인용)

연립 선형 미분 방정식 x'=ax+by, y'=cx+dy를 푸는 프로그램도 존재한다. 즉, $A=\begin{bmatrix} a &b \\ c &d \end{bmatrix}$인 경우다.

연립 선형 미분 방정식 풀이 : http://matrix.skku.ac.kr/sglee/skku-java-out/second_diff.html (이상구, 2013.11.25에 인용)

References

Jin Ho Kwak and Sungpyo Hong, 1997, Linear Algebra, 335-336p

이상구, 행렬의 대각화를 이용한 미분방정식의 해 : http://matrix.skku.ac.kr/nla/ODE2/ODE2.htm, 2013.11.25

MT 김신휘 Computation of e^A using Jordan Canonical Form : Link

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