Week 11 : Chapter 8 행렬의 대각화 part 1

※ 공개된 자료(Published Data) :

 

행렬의 대각화는 주어진 행렬을 고유값과 고유벡터를 이용하여 대각선행렬로 변형한 후 복잡한
선형연립방정식을 단순화시켜, 다양한 분야의 문제를 해결하는데 사용하는 방법이다.
이 장에서는 행렬의 대각화와 SVD를 다룬다. 그리고 대칭행렬에 대한 대각화를 통하여 이차형식의
성질을 분석한다. 또 행렬의 성분들이 복소수인 행렬로 학습 범위를 확장한다. 이때 실수를 성분으로
가지는 행렬에서의 대칭행렬, 직교행렬은 각각 허미시안(Hermitian) 행렬, 유니타리(Unitary) 행렬로
일반화된다.

 

Section 8.1 선형변환의 행렬표현

우리는 6장에서 $R^n$에서 $R^m$으로의 모든 선형변환은 표준행렬을 이용하여 행렬변환으로 나타낼 수
있음을 보았다. 이 표준행렬은 $R^n$의 모든 벡터는 항상 표준기저의 일차결합으로 표시된다는 것으로부터
얻어졌다.
이 절에서는, 일반적으로 임의의 순서기저(ordered basis)를 갖는 $R^n$에서 $R^m$으로의 선형변환에 대한
행렬표현을 좌표벡터를 이용하여 찾는 방법을 알아본다.

*8.1절 동영상 강의: http://youtu.be/jfMcPoso6g4

 


Olga Taussky-Todd (1906~1995, Czech-American)

 

표준기저에 대한 선형변환의 표준행렬과 전이행렬의 관계도

임의의 순서기저(ordered basis)을 갖는 $R^n$에서 $R^m$으로의 선형변환에 대한 행렬표현

 

임의의 순서기저를 갖는 선형변환

    임의의 순서기저를 갖는 선형변환 1

    임의의 순서기저를 갖는 선형변환 2

    임의의 순서기저를 갖는 선형변환 3

 

 

Section 8.2 닮음과 행렬의 대각화

이 절에서는 $R^n$사이의 선형변환 $T$의 다양한 기저에 대한 행렬표현 사이의 관계를 전이행렬(transition matrix)을
이용하여 알아보고, 행렬표현이 간단한 형태인 대각선행렬로 표현되는 경우인 대각화에 대하여 알아본다.

*8.2절 동영상 강의: http://youtu.be/MnfLcBZsV-I

 

선형변환의 행렬표현 $[T]=[T]_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2}$와 $[T]_{\alpha}^{\beta}$ 사이의 관계

선형연산자의 다양한 기저에 대한 행렬표현

    선형연산자의 다양한 기저에 대한 행렬표현

 

닮음(similar)

    닮음

닮음 1

닮음 2

 

대각화 가능한 행렬

    대각화 가능 1

    대각화 가능 2

    대각화 가능 3

 

대각화 가능할 동치조건

 

$A$를 대각화하는 행렬 $P$를 구하는 과정

    대각화 가능 4

    대각화 가능 5

    대각화 가능 6

고유벡터의 일차독립성

대각화 가능

    대각화 가능 7

 

대수적 중복도와 기하적 중복도

대수적 중복도와 기하적 중복도 1

대수적 중복도와 기하적 중복도 2

대수적 중복도와 기하적 중복도 3

    대각화 가능 8

 

 

Section 8.3 직교대각화, 행렬 함수*

직교행렬은 자신의 전치행렬이 역행렬이므로 정말 편리하다. 그리고 대칭행렬은 어떤 다른 종류의 행렬보다 응용에
많이 이용된다. 이 절에서는 대칭행렬의 효용성과 모든 대칭행렬은 직교대각화가능함을 확인한다. 특히 마지막으로
행렬대각화의 응용으로 행렬함수를 다룬다.

*8.3절 동영상 강의: http://youtu.be/B--ABwoKAN4

 

직교행렬(orthogonal matrix)

직교행렬

    직교행렬

 

직교닮음(orthogonally similar)

 

직교대각화가능(orthogonally diagonalizable)

대칭행렬의 고유값

    대칭행렬의 고유값

대칭행렬의 고유벡터 1

직교대각화가능

대칭행렬의 고유벡터 2

대칭행렬의 동치조건

    직교대각화 1

    직교대각화 2

 

 

[심화학습] 행렬 함수(Function of Matrices)

 

 

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