Week 14 : Chapter 9 일반벡터공간

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벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 이론에 그치지 않고 수학 체계의 일반적인 이론으로써 사회의 모든 분야에
적용된다. 주위의 대상들을 벡터들로 생각하여 벡터들의 집합을 만든 후, 구성원 사이의 관계로부터 적당한 2개 연산을
대응시킬 때, 이 2개의 연산이 만일 2개의 기본법칙과 8개의 연산법칙을 만족하면 벡터들의 집합이 앞에서 배운 수학적
체계인 벡터공간(또는 선형공간)이 되는 것이므로, 벡터공간의 모든 성질을 이용하여 그 조직체에 대한 이론적 분석이
가능하다. 따라서 응용 범위가 방대하다.

이 장에서는 (일반) 벡터공간에 대한 정의를 주고 벡터공간의 일반이론을 설명한다.

 

Section 9.1 벡터공간의 공리

벡터의 개념은 2차원 또는 3차원 공간에서의 화살표에서 $n$차원 공간 $R^n$안의 $n$-순서조(tuple)로 확장되어 왔다.
1장에서는 $n$차원 공간 $R^n$을 정의하였다. $R^n$에서 덧셈과 스칼라 배라는 2개의 연산을 정의하고, 그것이 갖는
여러 가지 성질을 확인하였다. 이 절에서는 $n$차원 공간의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한다.

*9.1절 동영상 강의: http://youtu.be/beXWYXYtAaI

 


Giuseppe Peano (1858~1932, Italian)

 

벡터공간(vector space)

    벡터공간 1

    벡터공간 2

벡터공간

 

영벡터공간(zero vector space)

    벡터공간 3

    벡터공간 4

    벡터공간 5

 

부분공간(subspace)

    부분공간 1

 

2-Step 부분공간 판정법

    부분공간 2

    부분공간 3

    부분공간 4

 

일차독립(linearly independent), 일차종속(linearly dependent)

    일차독립과 일차종속 1

    일차독립과 일차종속 2

    일차독립과 일차종속 3

    일차독립과 일차종속 4

 

기저(basis), 차원(dimension)

    기저와 차원 1

    기저와 차원 2

 

Wronskian

    Wronskian 1

    Wronskian 2

    Wronskian 3

 

 

Section 9.2 내적공간; 푸리에 급수*

이 절에서는 $R^n$상의 유클리드 내적(dot product)을 일반화하여 일반적인 벡터공간에서 길이, 거리, 직교성에 대한 개념을 소개할 것이다.

*9.2절 동영상 강의: http://youtu.be/nIkYF-uvFdA

 

(실수범위에서의) 내적(inner product), 내적공간(inner product space)

    (실수범위에서의) 내적과 내적공간 1

    (실수범위에서의) 내적과 내적공간 2

 

벡터의 노름(norm), 두 벡터사이의 각(angle)

(복소벡터공간 상의) 내적(inner product), 복소내적공간(complex inner product space)

(복소벡터공간 상의) 내적

    (복소벡터공간 상의) 내적 1

    (복소벡터공간 상의) 내적 2

 

복소내적공간의 노름(norm), 거리(distance)

    복소내적공간의 노름과 거리 1

    복소내적공간의 노름과 거리 2

 

코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식

    복소내적공간의 노름과 거리 3

    코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식 1

    코시-슈바르츠 부등식

    삼각부등식

 

 

Section 9.3 동형사상(Isomorphism)

$R^n$상의 선형변환의 정의를 일반적인 벡터공간 $V$로 확장하여 다음과 같이 일반적인 선형변환을 정의하자. 이 선형변환 중 전단사인
선형변환들은 특별한 의미를 갖는다.

*9.3절 동영상 강의: http://youtu.be/Y2lhCID0XS8

 

선형변환(linear transformation)

선형변환

    선형변환 1

    선형변환 2

    선형변환 3

    선형변환 4

 

핵(kernel), 치역(range)

    핵과 치역 1

    핵과 치역 2

    핵과 치역 3

핵과 치역

 

동형사상(isomorphism), 동형(isomorphic)

동형

    동형

 

 

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