2016-LA-CH-1-SGLee(kor)


그림입니다.

 

 

 

Chapter 1

 

벡터(Vectors)

선형대수학은 수학, 공학, 경제학, 사회학 등 거의 모든 학문 분야에서 이용되며, 가장 중요한 수학과목의 하나로, 현재 실제 응용뿐만 아니라 이론적인 연구도 매우 활발한 수학 분야 중의 하나랍니다.

우리는 그 첫 걸음으로 벡터와 그 성질을 공부하고 이를 바탕으로 선형대수학의 기본 원리들을 하나하나 공부해 갈 것입니다.

크기와 방향 모두를 가지는 것(object, 양)을 벡터(vector)라 합니다. -차원벡터는 유전학이나 경제학, 생태학 등 다양한 분야에서도 볼 수 있답니다. 우리는 우선 3차원 공간에서 이러한 벡터들이 갖는 기본 성질을 알아보고, 그 내용을 -차원공간으로 확장할 것입니다. 또한 내적(dot product, inner product)을 정의하고 직선과 평면의 방정식을 공부할 것입니다.

1.1 *공학과 수학에서의 벡터: -공간

 참고 동영상: http://youtu.be/aeLVQoPQMpE  http://youtu.be/85kGK6bJLns

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-1-Sec-1-1.html

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0001.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

 

 

우리들이 일상적으로 사용하는 물리적인 양 중에는 길이, 넓이, 질량, 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라(scalar)와 힘, 속도, 위치 이동과 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 벡터(vector)가 있다.

 

 스칼라(scalar): 길이, 넓이, 질량, 온도 - 크기만 주어지만 완전히 표시되는 양

 벡터(vector): 속도, 위치이동, 힘 - 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하지 않으면 완전히 표현할 수 없는 양

 벡터는 크기와 방향을 갖는 유향선분 - 2차원, 3차원 공간의 벡터는 화살표로 표현 가능

사각형입니다.         묶음 개체입니다.

 

 시작점과 끝점이 같아서 크기가 인 벡터를 영벡터라 한다(영벡터는 크기가 이므로 방향은 임의의 방향으로 한다).

 물리학에서 벡터는 운동법칙은 물론이고 속도와 가속도, 힘 등을 나타내는 데 유용하게 쓰이고 있다. 물리학에서 벡터들의 모임은 바로 힘의 구성을 나타내고, 물리학적 힘의 구성은 전자기장 등 다양한 벡터들로 이루어진 공간을 나타내는 데 효과적으로 쓰인다. 사회과학에서도 널리 쓰인다.

묶음 개체입니다.     

 

 앞으로 7장까지는 특별한 언급이 없는 한 스칼라는 실수로 제한한다. 가 스칼라이면 을 의미한다. 

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [벡터의 덧셈과 스칼라배]

 

 

 

 

두 벡터 , 와 스칼라 에 대하여 두 벡터의 합 에 의한 의 스칼라배 를 다음과 같이 정의한다.

 

(1) , 에 의하여 결정되는 평행사변형의 대각선으로 표시되는 벡터이다.

 

(2) 이면 와 방향이 같으면서 길이는 배하여 얻어지는 벡터이고, 이면 와 방향이 반대이면서 길이는 배하여 얻어지는 벡터이다. 또 이면 는 길이가 인 벡터이다.

 

 

 

 

 

 

묶음 개체입니다.묶음 개체입니다.

 좌표평면 에 서 원점을 시작점으로 하는 모든 벡터는 끝점에 의해 크기와 방향이 결정된다. 그런데 벡터는 크기와 방향이 같으면 시작점에 관계없이 항상 동일한 벡터로 간주하므로 (앞으로 원점을 항상 시작점으로 생각하기로 약속하면) 모든 벡터는 점의 좌표를 이용하여 나타낼 수 있다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

두 실수들의 순서조 (평면)벡터(vector in plane)라 하고

    또는 로 나타낸다.

이때 실수 , (평면)벡터 의 성분(component)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [상등]

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 , 이면 라 한다.

 

 

 

 

 

 

 시작점이 원점이 아닌 벡터를 다룰 경우

  를 시작점, 를 끝점으로 갖는 유향선분은 다음과 같은 성분을 갖는 벡터이다.

 

묶음 개체입니다.

의 점 , , , , , 에 대하여 , , 를 성분으로 표시하라.

 

 , ,

       이므로

       는 동일한 벡터이다.                  

 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/




vector OQ= (2, 3)

vector P1Q1= (2, 3)

vector P2Q2= (2, 3)

vector vector OQ = P1Q1= vector P2Q2                          ■

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

의 벡터 , 와 스칼라 에 대하여 두 벡터의 합 에 의한 의 스칼라배 를 각각 다음과 같이 정의한다.

 

(i)           (ii)

 

또한 에서 모든 성분이 인 벡터를 영벡터 또는 원점이라 하고 으로 나타낸다. 그러면 임의의 벡터 에 대하여

 

,

 

가 성립함을 쉽게 알 수 있다. 여기서 로 정의하며 음벡터라 한다.

 

 

 

 

 

 

컴퓨터 시뮬레이션

 

 

 

 

  [스칼라배] http://matrix.skku.ac.kr/2012-album/2.html

  [벡터의합] http://matrix.skku.ac.kr/2012-album/3.html

    그림입니다.   그림입니다.

 

 

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 , , 를 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-VT-sum-multi.html 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000033540001.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/  




x+y= (-1, 6)

x-y= (3, -2)

-2*x= (-2, -4)                                         ■

 

 좌표공간 상의 벡터

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

세 실수들의 순서조 (공간)벡터(vector in space)라 하고

 

 또는

 

로 나타낸다. 이때 실수 , , 를 (공간)벡터 성분(component)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [상등]

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 , , 이면 라 한다.

 

 

 

 

 

 

시작점이 원점이 아닌 벡터를 다룰 경우

 

 

 

 

  를 시작점, 를 끝점으로 갖는 유향선분은 다음과 같은 성분을 갖는 벡터이다.

 

 

 

 

 

 

 그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000049ac0003.bmp
원본 그림의 크기: 가로 433pixel, 세로 387pixel

 

의 점 , , , , , 에 대하여 , , 를 성분으로 표시하라.

 

, ,

이므로 

는 동일한 벡터이다. 

 




vector OQ= (2, 3, 4)

vector P1Q1= (2, 3, 4)

vector P2Q2= (2, 3, 4)

vector OQ = vector P1Q1= vector P2Q2                          ■    

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

의 벡터

,

 

와 스칼라 에 대하여 두 벡터의 합 에 의한 의 스칼라배 를 각각 다음과 같이 정의한다.

 

(i)           (ii)

 

또한 에서 모든 성분이 인 벡터를 영벡터 또는 원점이라 하고 으로 나타낸다. 그러면 임의의 벡터 에 대하여

 

,

 

이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 여기서 로 정의하며 음벡터라 한다.

 

 

 

 

 

 

 모든 차원 벡터 전체의 집합을 -공간(차원 공간) 으로 나타낸다. 즉

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

개의 실수의 순서조차원 벡터(-dimensional vector)라 하고

  

 

로 나타낸다. 이때 실수 , , , 성분이라 한다.

 

 

 

 

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [상등]

 

 

 

 

의 벡터

,

 

에 대하여 ()이면 라고 한다.

 

 

 

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

의 벡터

,

와 스칼라 에 대하여 두 벡터의 합 에 의한 의 스칼라배 를 각각 다음과 같이 정의한다.

 

(i)           (ii)

 

또한 에서 모든 성분이 인 벡터를 영벡터 또는 원점이라 하고 으로 나타낸다. 그러면 임의의 벡터 에 대하여

 

,

 

이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 여기서 로 정의하며 음벡터라 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 , , 를 구하여라.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000033540002.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixelhttp://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-VT-sum-multi-3.html 

,
   ,

                              




x+y= (-1, 6, -2, 4)

x-y= (3, -2, -4, 4)

-2*x= (-2, -4, 6, -8)                      ■

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.1.1

의 벡터 , , 와 스칼라 , 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)  

(2)   

(3)  

(4)  

(5)  

(6)  

(7)    

(8)

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.1.2

의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)                 (2)              (3)

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

 의 벡터이고, 계수 가 실수일 때,

 

 

인 형태를 일차결합(linear combination)이라 한다.

 

 

 

 

 

의 벡터 , , 에 대하여 를 구하여라.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000033540002.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-VT-sum-multi-3.html 

             




2*x-3*y+z= (13, -10, -6, 1)                                          ■

 

위의 는 Sage를 이용하여 아래와 같이 계산할 수도 있다. 우선 벡터들과 일차결합을 위한 명령어를 만든 후 아래와 같이 한 문장으로 묶어서 계산한다. 




2*x-3*y+z = (13, -10, -6, 1) 

a*x+b*y+c*z = (13, -10, -6, 1)                                   ■

 

Rob Beezer's Linear Combination Lab :

http://linear.ups.edu/html/section-LC.html

 

1.2 *내적과 직교

 참고 동영상: http://youtu.be/g55dfkmlTHE

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-1-Sec-1-2.html

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac1d12.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

 

 

이 절에서는 상의 벡터의 크기, 거리, 사잇각 및 평행성과 직교(orthogonality)에 대해 학습한다.

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

의 벡터 에 대하여

 

 

노름(norm, length, magnitude)이라 한다.

 

위의 정의에서 는 원점에서 점 에 이르는 거리로 정의됨을 의미한다. 따라서 의 두 벡터 , 에 대하여 는 두 점 사이의 거리로 정의한다. 즉,

 

 

 

 

 

묶음 개체입니다.    

의 벡터 , 에 대하여 다음이 성립한다.

 

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-B1-norm-distance.html 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0004.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

    

                                                                

 




3*sqrt(2)                         # sqrt(2) 는 를 의미한다.

sqrt(30)

5*sqrt(2)                          ■

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 실수

 

 

내적(Euclidean inner product, dot product)이라 하고 로 나타낸다. 즉

 

 

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여 를 구하여라.

 

   




-1                               ■

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.2.1

의 벡터 , , 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) ,    

(2)

(3)

(4)

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.2.2 [코시-슈바르츠 부등식]

의 임의의 벡터 , 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

 

 

단, 등호는 , 중 하나가 다른 것의 실수배일 때만 성립한다.

  [코시-슈바르츠 부등식] 은 , 즉 을 의미한다. 따라서 벡터 , 가 있으면 언제나 을 만족하는 가 존재한다. 이는 사잇각 의 개념을 일반화 한다. [코시-슈바르츠 부등식] 의 자세한 증명은 9.2절에서 줄 것이다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

의 벡터 , 에 대하여

 

,

 

가 이루는 각(angle, 사잇각)이라 한다.

 

 

 

 

 

직교와 평행

 

 

 

 

  일 때 는 서로 직교한다.

  적당한 실수 에 대하여 인 경우에 와 평행하다.

 

 

 

 

 

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

의 벡터 에 대하여 그 노름이 인 벡터, 즉

 

 

인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 한다. 또한 의 벡터 , 가 서로 직교한다면, 이 벡터들은 직교(orthogonal)벡터들이라고 하고, , 가 서로 직교벡터이면서 각각 단위벡터이면 정규직교(orthonormal)벡터들이라고 한다.

 

 

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000049ac0007.bmp
원본 그림의 크기: 가로 441pixel, 세로 428pixel

의 두 벡터 , 는 서로 직교함을 보여라.

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-TF-inner-product.html 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0005.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

              

  




0        # 직교한다.   

 

  

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.2.3 [벡터에 대한 삼각부등식]

의 벡터 , 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

 

 

단, 등호는 , 중 하나가 다른 것의 배일 때만 성립한다.

 

묶음 개체입니다.   

에 있는 벡터 , 에 대하여 삼각부등식이 성립함을 확인하라.

, 이므로   

,

이고,

에서

이다.

따라서           

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

임의의 벡터 에 대하여

는 단위벡터이다. 의 단위벡터 중에서 다음 개의 벡터

, , ,

기본단위벡터(standard unit vector, 표준단위벡터)라 한다.

 

 

 

 

 

 의 임의의 벡터라 할 때 기본단위벡터를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.


 에서는 관습적으로 , , 대신에 , , 를 사용하기도 한다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: K-3.jpg
원본 그림의 크기: 가로 413pixel, 세로 420pixel           그림입니다.
원본 그림의 이름: K-2.jpg
원본 그림의 크기: 가로 413pixel, 세로 420pixel

 

1.3 직선과 평면의 벡터방정식

 참고 동영상: http://youtu.be/4UGACWyWOgA http://youtu.be/YB976T1w0kE

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-1-Sec-1-3.html

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0003.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

 

 

이 절에서는 벡터를 이용하여 에서의 직선의 방정식과 평면의 방정식을 구하고 이와 관련된 거리문제를 알아본다.

 

직선의 방정식: 기울기(방향벡터)와 한 점


에서 한 점 를 지나고 아닌 벡터 에 평행한 직선은 벡터 가 평행, 즉, , ()를 만족하는 점 전체의 집합과 같다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: K-4.jpg
원본 그림의 크기: 가로 832pixel, 세로 467pixel

벡터방정식: , (, )

 

매개방정식: , , , ()

 

대칭방정식: , ()


을 지나고 벡터 에 평행한 직선의 방정식은 다음 세 가지로 나타낼 수 있다.

(1)   ()

 

(2)

 

(3)       


두 점 , 을 지나는 직선의 매개변수방정식을 구하여라.

직선의 방정식을 구하기 위해서는 구하고자 하는 직선에 평행한 벡터와 그 직선을 지나는 한 점만 있으면 된다. 따라서 구하고자 하는 직선은 벡터

 

와 평행하고 점 를 지나므로 직선의 매개변수방정식은 다음과 같다.

, ,   ()   

  

평면의 방정식: 법선벡터와 한 점


 에서 한 점 를 지나고 아닌 벡터 (법선벡터, normal vector)에 수직인 벡터들이 이루는 평면

을 만족하는 점 전체의 집합과 같다.  

         (point-normal 방정식)

 그림입니다.
원본 그림의 이름: K-7.jpg
원본 그림의 크기: 가로 730pixel, 세로 398pixel

 

일반적인 평면의 방정식

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: K-6.jpg
원본 그림의 크기: 가로 501pixel, 세로 333pixel

벡터방정식: 평면 위의 한 점 위에 있는 서로 상수배가 아닌 두 벡터 가 있다면, 이 평면 를 벡터방정식 또는 매개방정식으로 유일하게 표현할 수 있다.

, ()

매개방정식: , ,

   , ,

세 점 , , 을 지나는 평면의 벡터방정식과 매개방정식을 구하여라.


http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-BN-11.html 

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0006.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

, , , 라 놓으면,

, .

그러면 는 위의 두 벡터의 일차결합으로 표시되므로

이다.

  ∴     # 벡터방정식

              # 매개방정식

평면의 매개방정식 , , 이다.

 

컴퓨터 시뮬레이션(세 점을 지나는 평면의 방정식)

 

 

 

 

●  http://matrix.skku.ac.kr/2012-LAwithSage/interact/1/vec8.html

   그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000049ac1ca2.bmp
원본 그림의 크기: 가로 502pixel, 세로 652pixel

 

 

 

 

 

 

정사영


 벡터 에 있고, 라 하자. 그러면 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 할 때, 벡터 위로의 정사영(projection)이라 하고 로 나타낸다. 이때 벡터 에 수직인 의 벡터성분(vector component)이라 한다. 따라서 는 두 벡터의 합 로 나타내진다.

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 260pixel, 세로 118pixel 

 

컴퓨터 시뮬레이션(정사영)

 

 

 

 

http://matrix.skku.ac.kr/2012-LAwithSage/interact/1/vec3.html 

   그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000049ac0002.bmp
원본 그림의 크기: 가로 798pixel, 세로 417pixel

 

 

 

 

 

 

위 그림에서 에 평행하므로 적당한 실수 에 대하여 이 성립한다. 그리고 에 수직이므로 이 성립한다. 따라서 를 얻는다.

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.3.1 [정사영]

의 벡터 , 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)

(2)

 

, 에 대하여 위로의 의 정사영 에 수직인 의 벡터성분 를 구하여라.

이므로 

    





p= (15/7, -15/14, 45/14)

w= (13/7, 1/14, -17/14)           ■

 

   

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp
원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 1.3.2 [점과 평면 사이의 거리]

와 평면 사이의 거리 는 다음과 같다.

 

 

그림입니다.
원본 그림의 이름: CLP000011f82649.bmp
원본 그림의 크기: 가로 403pixel, 세로 291pixel

오른쪽 그림과 같이 , , 이므로

  

  에서 다음을 얻는다.

       

                

                 

 

에서 평면 에 이르는 거리 를 구하여라.

그림입니다.
원본 그림의 이름: mem000049ac0007.png
원본 그림의 크기: 가로 153pixel, 세로 153pixel

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/1-B1-point-plane-distance.html 

이고, 여기서 ,, 이므로,

        □

 




5/7*sqrt(14)         #   

 

 http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/4pneV9Wm_u8

 http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm

 

 다음의 주어진 두 점 에 의해 정의되는 벡터 를 구하여라.

 

 

 

끝점이 인 벡터 의 시작점은?

 

 

 벡터 를 다음과 같이 정의했을 때 다음의 벡터를 구하여라.

            , ,

 

            

 

위에서와 같이 가 주어졌을 때 다음 식을 만족하는 벡터 를 구하여라.

            

 

두 벡터 사이의 각을 라 할 때, 를 구하여라.

 

 두 점 사이의 거리를 구하여라.

 

 

, 일 때, 을 만족하는 실수 를 모두 구하여라.

 

 두 점 를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

 

 주어진 평면 에 수직인 법선벡터를 찾아라.

 

[정사영] 일 때, 상의 정사영 에 수직인 벡터성분 를 구하여라.

풀이 :

          

               ■

 

Sage를 활용한 풀이 




p= (15/7, -15/14, 45/14)

w= (13/7, 1/14, -17/14)

 

[토론] 크기와 방향이 각각 같은 벡터는 벡터로서는 같은 벡터이다. 그러나 공간에서 기울기가 같은 두 개의 다른 직선은 방정식으로서는 어떤 관계인지 토론해보아라.

 

[토론] 가 정규직교벡터임을 보이고 가 정규직교벡터가 되는 세 번째 벡터 를 구하여라.

풀이 :

        ,

      세 번째 정규직교벡터 라고 한다면,

   , ,

  를 만족하는  , , 를 구할 수 있다. 따라서 세 번째 정규직교벡터는

    이다.    ■