2016-LA-CH-10-SGLee(kor)


그림입니다.

Chapter 10

Jordan 표준형(with Sage)

행렬의 대각화는 복잡한 행렬 계산 과정을 단순화하여 편리한 이론의 전개와 빠른 계산 방법을 제시해줍니다. 예를 들어, 미분방정식을 풀거나 인구 또는 날씨 변화를 예측하는 문제와 같이 다양한 문제에 적용됩니다. 따라서 행렬의 대각화는 수학적 모델로 구성된 현실세계의 문제를 해결하는 데 매우 중요합니다. 그러나 모든 행렬이 대각화가능하지는 않습니다.

 

이 장에서는 주어진 행렬에 대하여 닮음인 Jordan 표준형(표준형 블록대각선행렬)을 찾는 방법과 일반화된 고유벡터에 대하여 응용과 함께 학습하겠습니다.


 

10.1 점도표를 이용한 Jordan 표준형 구하기

 참고 동영상: http://youtu.be/NBLZPcWRHYIhttp://youtu.be/NBLZPcWRHYI 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-15-sec-10-1.html

http://matrix.skku.ac.kr/JCF/ 

 

 

 

 

주어진 행렬이 대각화가능하다면 이 행렬과 관계된 대부분의 문제는 쉽게 다루어져 원하는 결론을 얻을 수 있다. 그러나 모든 행렬이 대각화가능한 것은 아니다. 이 절에서는 주어진 행렬과 닮음인, 대각선행렬과 거의 유사한 행렬인 Jordan 표준형을 구하는 방법을 소개한다.


 

정사각행렬의 대각화(복습)

 

 

 

 

1. 차 정사각행렬 가 대각화가능할 필요충분조건은 개의 일차독립인 고유벡터를    갖는다는 것이다.

2. 가 정규행렬일 필요충분조건은 가 유니타리 대각화가능이다.

3. 그러나 정규행렬이 아니면서도 대각화가능한 행렬은 존재한다.

4. 행렬 가 대각화가능이면, 각각의 고유값에 대한 고유공간 의 차원(기하적    중복도)이 그 고유값의 (대수적) 중복도와 같아야 한다.

 

 

 

 

 

 

 대각화가능하지 않은 행렬도 대각선행렬과 유사한 행렬(block diagonal matrix)인 Jordan 표준형과 닮음(similar)이 되도록 만들 수 있다(정리 10.1.1).

 

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 10.1.1

차의 정사각행렬 ()개의 일차독립인 고유벡터를 가지면 는 다음과 같은 행렬 와 (유니타리) 닮음이다.

       

 

인 유니타리 행렬 가 존재한다. 여기서

      ,  (, )

 

이다. 이때 의 고유값 에 대응하는 하나의 Jordan block이라 하고, Jordan 표준형(JCF, Jordan canonical form)이라 한다.


 의 Jordan 표준형(JCF)은 고유값 및 1과 0으로 이루어진 Jordan block들을 대각선성분으로 갖는 block 대각행렬이라고 볼 수 있다. 즉 임의의 행렬 는 언제나 자신의 JCF라는 block 대각행렬과 유니타리 닮음이라는 의미이다.

 

 

Jordan block의 성질

 

 

 

 

1. 하나의 고유값에 대응하는 Jordan block의 개수는 기하적 중복도, 즉 일차독립인 고유벡터들의 개수와 일치한다.

 

 2. Jordan block의 크기는 해당하는 고유값에 대한 고유벡터들의 성질에 의하여 크기가 결정된다. 단 그 크기들의 합은 그 고유값에 대한 대수적 중복도가 된다.

 

 3. 만일 행렬 의 모든 고유값의 기하적 중복도와 대수적 중복도가 같게 되면, 모든     Jordan block은 크기가 이 되고, 그 개수는

 

기하적 중복도의 합대수적 중복도의 합행렬의 크기

 

    만큼이 된다. 즉 대각선행렬이 되며, 이 경우가 대각화가능한 행렬이 될 필요충분조건    이다(이런 행렬을 Simple 행렬이라고 한다).

 

 

 

 

 

             


은 특성다항식으로 을 갖는 어떤 8차 정사각행렬 의 Jordan 표준형이다.


각 고유값의 중복도가 의 주대각선에 나타나는 고유값의 개수를 결정한다는 것을 주목하자. 대각선에 고유값 2는 4개, 3은 2개, 0은 2개가 있다. 즉 각 고유값의 대수적 중복도는 그 고유값에 대응하는 모든 Jordan block들의 크기의 합과 일치함을 확인할 수 있다.


각 고유값에 대응하는 Jordan block의 개수는 각 고유값의 기하적 중복도이다.       



5차의 정사각행렬 가 중복도 5인 고유값 하나만을 갖고 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 단 하나만 갖는다면 의 Jordan 표준형은 다음과 같다.



왜냐하면 의 일차독립인 고유벡터는 하나밖에 없으므로 Jordan block이 단 하나이기 때문이다.                                                                         

 


Jordan 표준형 구하는 방법

 

 행렬 개의 서로 다른 고유값 를 갖는다고 할 때, 의 Jordan 표준형 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 여기서 각 는 고유값 에 대응하는 적당한 크기의 Jordan block들의 block 대각선행렬이다. 이것을 block 부분행렬이라 한다. 이제 우리는 각각의 고유값 에 대한



  의 구조만 알면 를 쉽게 구할 수 있게 된다. 를 구할 때 를 감소(또는 증가)하는 값의 순서로 정하고 그 안의 Jordan block들에 block의 크기순으로 순서를 주면 는 유일하게 결정된다.


 우선 각 에 대하여 안의 Jordan block의 개수 와 각각의 의 크기 ()를 구하자. 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 라 하고, 부호를 단순히 하기 위하여 우선 하나의 고유값에 대하여만 생각하자. 따라서 이 , 이라 하자.


 그런데 의 각 Jordan block의 개수 과 각각의 block의 크기 들은 의 어떤 거듭제곱의 계수를 계산하여 결정한다. 일반성을 잃지 않고 이라 할 수 있다. 이제 고유값 와 그에 대한 고유공간의 차원(기하학적 중복도)인 를 이용하여 를 쉽게 구할 수 있는 점들의 배열을 소개하도록 하겠다. 이를 점도표(dot diagram)라 부른다. 점도표는 아래와 같은 규칙으로 정해진다.

 

 

점도표 규칙

 

 

 

 

 1. 점도표는 개의 열에 의하여 이루어진다(즉, 개의 Jordan block).

 

 2. 개의 숫자 을 크기순으로 하여 왼쪽에서 오른쪽으로 배열하여 아래와 같이 도표를 만들자. 그러면 이 도표의 번째 열의 점들은 개로 이루어진다(여기서 되는 첫 번째 이다). 만일 번째 열의 맨 아래의 점이면, 그 맨 위는 에 대응하는 점이 된다. 그 열의 위에서 두 번째의 점은 에 대응한다.

 

 

 

 

 

 따라서 에 대응하는 점도표는 아래와 같다.


         

                                                           

           

         


 여기서 에 대응하는 일차독립인 고유벡터들이다. 만일 를 점도표에서 번째 행의 점의 개수라 하면, 이상의 크기의 Jordan block의 개수이고, 이상의 크기의 Jordan block의 개수이며, 이상의 크기의 Jordan block의 개수이다. 따라서 임을 알 수 있다. 정리 10.1.2와 10.1.3을 참고하고, 아래 예를 통하여 살펴보자.

 

 

 행렬 는 그 안의 Jordan block의 개수인 수 과 각 Jordan block의 크기인 에 의하여 완전하게 결정된다는 것을 보이기 위하여 라 하고 이라 하자. 그러면 block의 크기 순서에 따라



로 유일하게 결정된다. 이것의 점도표를 구하면 이고 이므로 에 대한 점도표는 아래와 같다.


                               ∙ ∙ ∙ ∙   (Jordan block의 개수: 4)

                             ∙ ∙ ∙

                             ∙ ∙                                             

 

 

   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 10.1.2

에 대한 점도표의 처음 개 행 안의 점의 수는 의 해공간의 차원(즉, 의 nullity)과 같다.

 

 

 nullity=nullity이다.


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 10.1.3

행렬 에 대하여 에 대한 점도표의 번째 행에 있는 점의 개수라 하면

 

(1)

(2) 만일 이면,

 

정리 10.1.2에 의하여,
(단, )

그리고 이고

          

            

            

       (각 행의 점의 개수 이상의 block의 개수를 의미함)               

 

 

정리 10.1.3에 대한 점도표는 행렬 에 의하여 완전히 결정됨을 보여준다.

다음 행렬 의 Jordan 표준형을 구하여라.


  






 (x - 3) * (x - 2)^3

  [3, 2, 2, 2]


에서 행렬 의 특성방정식은 이므로 는 두 개의 서로 다른 고유값 , 를 갖는다.

여기서 은 중복도가 1이고 는 (대수적) 중복도가 3이다. 따라서 에 대응하는 점도표는 1개의 점을 갖고 그에 대한 점도표는



이므로, Jordan block 1개, 즉 이다. 또, 에 대응하는 점도표는 3개의 점을 갖는다. 그리고




2

1

이므로 이고,
이다.


따라서 에 대한 점도표는 다음과 같다.


                         :    ∙   ∙  (Jordan block의 개수: 2)

                         :    


따라서 Jordan block이 1개이고, Jordan block이 1개이다. 즉,



이므로 행렬 의 Jordan 표준형은 다음과 같다.


                  



http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/




[3|0 0|0]

[-+--+-]

[0|2 1|0]

[0|0 2|0]

[-+--+-]

[0|0 0|2]                                                                                        ■


다음 행렬 의 Jordan 표준형을 구하여라.


   


의 특성방정식은 이고, 따라서 의 두 개의 서로 다른 고유값은 각각 중복도가 2인 이다. 에 대하여

  


이므로(즉, 1개의 Jordan block) 이다(점의 수 ).

따라서 에 대한 점도표는 다음과 같다.


                             :  •    (Jordan block의 개수: )

                             :  •


따라서, .


에 대하여 이므로(즉, 2개의 Jordan block), 는 0이다(∵점의 개수 ). 즉 에 대한 점도표는 다음과 같다.


 :  • •  (Jordan block의 개수: )


즉,

그러므로 의 Jordan 표준형은                              


http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/




[4 1|0|0]

[0 4|0|0]

[--+-+-]

[0 0|2|0]

[--+-+-]

[0 0|0|2]                        ■

 

 

Jordan 표준형 학습자료

 

 

 

 

http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1.html 

http://matrix.skku.ac.kr/2012-mobile/E-CLA/10-1-ex.html 

 

 

 

 

 

 

 

10.2 Jordan 표준형과 일반화된 고유벡터

 참고 동영상: https://youtu.be/lK4_Kp6P_N4 https://youtu.be/yJ7n0icjtNA

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/JCF/

               http://matrix.skku.ac.kr/sglee/03-Note/GeneralizedEV-f.pdf

               http://matrix.skku.ac.kr/MT-04/chp8/3p.html 


 

 

 

10.1절에서 가 되는 를 구하는 이론과 방법을 배웠다. 이 절에서는 를 만드는 를 구하는 방법을 살펴보자. 이 과정에서 일반화된 고유벡터를 이용한다.



  

https://en.wikipedia.org/wiki/Modal_matrix#Generalized_modal_matrix 



10.3 Jordan 표준형과 컴퓨터 활용

 참고 동영상: http://youtu.be/LxY6RcNTEE0,  

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/JCF/



 

 

 

실제로 크기가 10차인 행렬의 Jordan 표준형을 구하기 위해서는 10차인 특성방정식의 근을 구해야 하는데, 이를 인수분해 또는 근의 공식으로 찾는 것은 불가능하다. 더구나 우리는 1010 행렬의 수많은 거듭제곱과 계수를 구하여야 한다. 계수를 구하기 위해서 수행해야 하는 Gauss 소거법 등의 이런 계산과정은 손으로 해결하는 것보다 HLINPRAC이나 MATHEMATICA 또는 MATLAB, 특히 최근에 웹상에서 자유롭게 사용할 수 있는 Sage 등의 기존의 수학 소프트웨어를 이용하는 것이 불가피하다.



http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/7ZtxicpdMkw

http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm

5차 정사각행렬 가 중복도가 5인 고유값 만을 갖고, 에 대응하는 일차독립인 고유벡터가 2개인 경우 의 Jordan 표준형의 종류를 구하여라.



다음 Jordan 표준형 에 대하여 다음을 구하여라.



(1)

(2)

(3)  

(4)



[문제 3 – 문제 8] 다음 행렬의 Jordan 표준형을 구하여라.


  

[풀이] 특정 방정식을 통해 의 고유값을 구하면

      

     이므로 는 중복도 4인 고유값 0과 중복도 1인 고유값 25를 갖는다.

 고유값 25일 때, 

   여기서 이 행렬의 RREF를 구해보면 이므로 rank은 4가 된다

   따라서 

   점도표는      이므로 1x1 Jordan block이 1개임을 의미한다.


 고유값 0일 때,

   점도표는    이므로 Jordan block이 4개임을 의미한다.

     따라서 Jordan 표준형은           




[25| 0| 0| 0| 0]

[ 0| 0| 0| 0| 0]

[ 0| 0| 0| 0| 0]

[ 0| 0| 0| 0| 0]

[ 0| 0| 0| 0| 0]  으로 일치한다.       

 

 







 

 

[풀이] http://math1.skku.ac.kr/home/pub/2366




[4, 4, 2, 2]


의 고유값을 구한 결과 가 대수적 중복도 2를 갖고, 가 대수적 중복도 2를 갖는 것을 알 수 있다.




2

3

2


다음과 같이 의 rank는 3이기 때문에, =,따라서 이다. 또한 대수적 중복도에 의해 는 1인 것을 알 수 있다.

                        (Jordan block의 개수 : 1)

                        

또한 이기 때문에, , 즉 이다.

                        (Jordan block의 개수 : 2)

   

이 값은 Sage 로 푼 값과 일치한다.




[4 1|0|0]

[0 4|0|0]

[0 0|2|0]

[0 0|0|2]