2016-LA-CH-2-SGLee(kor) -- Sage

그림입니다.

Chapter 2

선형연립방정식

선형연립방정식과 그의 해를 구하는 문제는 선형대수학의 가장 중요한 문제 중 하나입니다. 수천, 수만 개의 미지수를 갖는 연립방정식은 자연과학, 공학, 경제-사회-인문학은 물론 교통문제, 일기예보, 의사결정 등 수많은 분야에서 만나게 됩니다. 더구나 속도, 가속도와 같이 도함수를 포함하는 미분방정식도 선형연립방정식 문제로 바꾸어 해결합니다.

선형대수학에서 선형연립방정식의 해는 첨가행렬을 이용한 Gauss(가우스)소거법이나 행렬식을 이용한 방법으로 구합니다. 2장에서는 선형연립방정식의 해법과 구한 해의 기하학적 의미를 고찰하고 다양한 선형연립방정식의 응용에 대하여 알아봅시다.

2.1 선형연립방정식

참고 동영상: http://youtu.be/CiLn1F2pmvY, http://youtu.be/AAUQvdjQ-qk

실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-2-Sec-2-1.html

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많은 미지수를 갖는 선형연립방정식은 날씨의 분석, 공학, 경제학, 교통흐름분석, 다양한 의사결정에서 나타난다. 선형연립방정식의 연구와 해법은 선형대수학에서 가장 중요한 주제이다. 이 절에서는 어떤 문제에서 선형연립방정식 모델이 만들어지며, 그 해를 구하는 과정과 해의 기하학적 의미가 무엇인지에 대해 알아본다.

		[선형방정식]

	미지수 에 관한 선형방정식(linear equation)은 와 계수 이 실수일 때, 다음과 같은 모양의 방정식이다. 즉, 선형방정식은 미지수의 차수가 1인 일차식과 상수항으로 이루어진 방정식이다.

방정식 , 은 정리하면 , 와 같은 꼴로 나타낼 수 있으므로 모두 선형방정식이다. 그러나 , 는 모두 선형방정식이 아니다. ■

		[선형연립방정식]

	일반적으로, 미지수 에 관한 유한 개의 선형방정식의 모임 을 선형연립방정식(system of linear equations)이라고 한다. 만일 상수항 이 모두 0일 경우를 동차선형연립방정식(homogeneous system of linear equations, 동차선형방정식시스템)이라 한다.

[선형연립방정식의 해]

선형연립방정식의 미지수 에 어떤 수 을 각각 대입하였을 때, 각 방정식이 모두 성립하면 ()을 이 선형연립방정식의 해(solution)라고 한다. 예를 들어, 선형연립방정식

(1)

의 에 각각 을 대입하면 두 방정식이 모두 성립하므로 은 선형연립방정식 (1)의 해이다. 일반적으로 선형연립방정식의 해가 존재하는 경우를 consistent라 하고 반면에 해가 존재하지 않는 경우를 inconsistent라 한다.

선형연립방정식의 해 전체의 집합을 선형연립방정식의 해집합(solution set)이라 하며, 동일한 해집합을 가지는 두 선형연립방정식을 동치(equivalent)라고 한다.

		해집합(미지수가 2개인 선형연립방정식)

	일반적으로, 주어진 선형연립방정식은 다음 중 하나만(one and only)을 만족한다. (1) 유일한 해를 갖는다. (2) 무수히 많은 해를 갖는다. (3) 해를 갖지 않는다.

		컴퓨터 시뮬레이션

	[선형연립방정식] http://www.geogebratube.org/student/m9704

선형대수학 관련 저자의 지오지브라 도구 모음 주소:

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http://www.geogebratube.org/student/b121550

미지수와 식의 수가 모두 3인 선형연립방정식의 안의 해집합의 모든 가능성을 서술하여라.

위의 연립방정식의 해집합은 다음의 3가지 경우 중 하나임을 기하학적으로 생각해보면 쉽게 알 수 있다. 이들 방정식이 나타내는 평면을 각각 라 하자.

① 하나의 해(unique solution)를 갖는다.

아래 그림과 같이 3개의 평면이 한 점에서 만나는 경우이다(유일한 해).

[예]

②해를 갖지 않는다(no solution). 이 경우 주어진 연립방정식은 “inconsistent”라 한다.

[예] (1) (2)

(3) (4)

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③ 무수히 많은 해(infinitely many solutions)를 갖는다.

[예] (1) (2) (3)

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다음 연립방정식을 풀어라.

연립방정식의 미지수의 개수 5가 방정식의 개수 3보다 많으므로 이런 경우에는 2개의 남는 미지수에 임의의 실수를 부여하는 방법으로 푼다. 각 방정식을 정리하면

우변의 2개의 미지수 에 대하여 , (는 임의의 실수)라 놓으면

따라서 주어진 연립방정식의 해는

(는 임의의 실수).

해집합은 이다. ■

		[행렬]

	실수(또는 복소수)를 다음과 같이 직사각형 모양의 행과 열로 배열한 것을 행렬(matrix)이라 하며, 그 각각의 수를 행렬의 성분(entry)이라고 한다. (2) 행렬 에서 을 의 행(-th row of )이라 하고, 을 의 열(-th column of )이라고 한다. 또 개의 행과 개의 열을 갖는 행렬 를 크기(size)가 인 행렬이라 하며, 특히 이면 차의 정사각행렬(square matrix)이라고 한다.

는 의 번째 행, 는 의 번째 열로 표기하며, 따라서

로 쓸 수 있다. 행렬 의 행, 열의 성분 를 의 성분이라 하며, 차의 정사각행렬 의 성분 을 주대각선성분(main diagonal entries)이라고 한다. 행렬 (2)는 성분을 써서 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

또는

다음 행렬

에서 는 행렬이고, 이다. 또 는 행렬이고, 이며 는 각각 행렬이다. 의 주대각선성분은 각각 이며, 와 같은 행렬은 흔히 로 쓴다. ■

다음 선형연립방정식의 첨가행렬을 구하여라.

선형연립방정식의 계수행렬을 , 미지수를 , 상수항을 라 하고,

행렬의 곱을 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

그리고 선형연립방정식의 첨가행렬은

이다. □

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080 에서 실습.

[ 1 1 2 9]

[ 2 4 –3 1]

[ 3 6 –5 0] ■

		[선형연립방정식의 계수행렬과 첨가행렬]

	개의 미지수를 갖는 개의 일차방정식으로 이루어진 선형연립방정식 (3) 에 대하여 이라 하면 선형연립방정식 (3)은 행렬의 곱을 이용하여 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다. 이때 행렬 를 선형연립방정식 (3)의 계수행렬(coefficient matrix)이라 하며, 에 를 붙여서 만든 행렬 을 선형연립방정식 (3)의 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

2.2 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법

참고 동영상: http://youtu.be/jnC66zvqHJI, http://youtu.be/HSm69YigRr4

실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-2-Sec-2-2.html

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이 절에서는 선형연립방정식을 풀 때 자주 쓰던 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록 한다. 이 방법은 주어진 선형연립방정식의 첨가행렬로부터 시작하여 사다리꼴 모양의 행렬을 만들어내는 것이다. 주어진 선형연립방정식에 소거법을 사용하여 얻어진 사다리꼴 행렬에 대응하는 선형연립방정식은 모두 동치이며, 같은 해를 갖는다는 사실을 이용한다.

선형연립방정식의 풀이: 소거법

위의 소거법에서 행한 연산: 선형연립방정식의 해집합을 바꾸지 않는다.

(1) 두 식을 교환한다.

(2) 한 식에 0 아닌 실수를 곱한다.

(3) 한 식에 0 아닌 실수배를 하여 다른 식에 더한다.

이를 기본행 연산(ERO, Elementary Row Operations)이라 한다.

아래의 왼쪽은 연립방정식을 푸는 과정이고, 오른쪽은 이에 따른 이 연립방정식의 첨가행렬의 변화를 나타낸 것이다.

첫 번째 방정식에 를 곱하여 두 번째 방정식에 더한다.

첫 번째 방정식에 을 곱하여 세 번째 방정식에서 더한다.

두 번째 방정식에 을 곱하면

두 번째 방정식에 을 곱하여 세 번째 방정식에 더하면

세 번째 방정식에 를 곱하면

따라서

즉, 구하는 연립방정식의 해는 ■

		[행 사다리꼴(REF)과 기약 행 사다리꼴(RREF)]

	행렬 가 다음 3가지 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴(row echelon form, REF)이라고 한다. (1) 성분이 모두 0인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다. (2) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분은 1이다. 이때 이 1을 그 행의 선행성분(leading entry, leading 1)이라고 한다. (3) 행과 행 모두에 선행성분이 존재하면 ()행의 선행성분은 행의 선행성분보다 오른쪽에 위치한다. 또 행 사다리꼴 행렬 가 다음 4번째 성질을 추가로 만족하면 를 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)이라고 한다. (4) 선행성분(leading entry in row)을 포함하는 열의 선행선분 외의 성분은 모두 0이다.

다음 행렬은 모두 REF이다.

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행렬 는 위 정의의 성질 (1), (2), (3)을 각각 만족하지 않으므로 REF가 아니다.

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다음 행렬은 모두 RREF이다.

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	다음은 일반적인 형태의 REF와 그에 대응하는 RREF이다(여기서 *는 임의의 수를 표시).

		[기본행 연산(ERO)]

	행렬 에 관한 다음 연산을 기본행 연산(elementary row operation, ERO)이라고 한다. E1: 의 두 행 행과 행을 서로 바꾼다. E2: 의 행에 이 아닌 상수 를 곱한다. E3: 의 행을 배 하여 행에 더한다.

기본행 연산은 곧 주어진 행렬을 REF와 RREF로 바꾸는 연산이다.

		[행동치]

	행렬 에 기본행 연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 라 하면 와 는 행동치(row equivalent)라고 한다.

다음 행렬은 모두 행동치이다.

■

행렬의 REF와 RREF 구하기

에 대하여 기본행 연산을 적용하여 REF와 RREF를 만들자.

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따라서 다음과 같은 의 REF를 얻는다.

의 REF를 다음과 같이 변형시키면 RREF를 얻는다.

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따라서 의 RREF는 다음과 같다.

다음 행렬 의 RREF를 구하라.

행렬의 크기가 3차 이상인 경우 손으로 해결하기가 까다롭다. 여기에서는 Sage를 이용하여 풀자. http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/2-MA-RREF.html

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[ 1 0 0 2 –1]

[ 0 1 0 3 2]

[ 0 0 1 –1 3] ■

	2.2.1
첨가행렬이 행동치인 두 선형연립방정식은 동치이다(즉, 해집합이 같다).

Gauss 소거법: 선형연립방정식의 첨가행렬을 REF로 변형하여 푸는 방법이다.

Gauss-Jordan 소거법: 선형연립방정식의 첨가행렬을 RREF로 변형하여 푸는 방법이다.

다음 선형연립방정식을 Gauss 소거법으로 풀어라.

이 연립방정식의 첨가행렬은 이고 기본행연산을 시행하여 REF를 구하면 이다. 따라서 이 행렬을 첨가행렬로 갖는 선형연립방정식은

이므로

구하는 해는 다음과 같다. . ■

위의 에서 일반해를 다음과 같이 벡터 형식으로 표현할 수 있다.

다음 연립방정식을 Gauss-Jordan 소거법으로 풀어라.

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행렬의 크기가 3차 이상이므로 여기에서는 Sage를 이용하여 풀자.

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/2-VT-Gauss-Jordan.html

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http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080 에서 실습.

[ 1 3 0 4 2 0 0]

[ 0 0 1 2 0 0 0]

[ 0 0 0 0 0 1 1/3]

[ 0 0 0 0 0 0 0]

이므로 이 행렬을 첨가행렬로 갖는 선형연립방정식은 다음과 같다.

(는 임의의 실수)라 놓으면 구하는 해는

. ■

		Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법

		선형변수, 자유변수 RREF와의 관계

	자유변수: 첨가행렬의 RREF 중 선행성분 1을 포함하지 않는 열에 대응하는 변수 선행변수: 선행성분 1을 포함하는 열에 대응하는 변수

동차(homogeneous)연립방정식

위 동차연립방정식은 를 자명한 해(trivial solution)로 갖는다. 따라서 동차연립방정식은 (유일한) 자명한 해만을 갖는 경우와 무수히 많은 해를 갖는 두 가지 경우밖에 없다.

Gauss-Jordan 소거법으로 다음 동차연립방정식의 해를 열벡터로 표현하여라.

첨가행렬은 , RREF는 이다. 이때, 선행성분 1에 대응하는 선행변수 , , 를 나머지 변수 , , (자유변수)들을 이용하여 표현하면 다음을 얻는다.

, ,

이제 자유변수를 각각 , , 로 지정하면,

, , , , , .

■

	2.2.2 [동차연립방정식의 자유변수 개수정리]
개의 미지수를 갖는 동차연립방정식에 대하여 첨가행렬의 RREF가 개의 선행성분 1(leading 1)을 갖는다면 해집합은 개의 자유변수를 갖는다.