2016-LA-CH-3-SGLee(kor)


그림입니다.

Chapter 3

행렬과 행렬대수

행렬은 선형연립방정식을 풀 때뿐만 아니라 소리와 이미지를 디지털로 전송하는 도구로도 이용됩니다. 우리는 행렬 사이의 덧셈과 곱셈 같은 연산을 정의합니다. 이러한 행렬 연산은 다양한 선형연립방정식을 쉽게 푸는 도구도 됩니다. 또 행렬의 곱셈은 합성함수를 다룰 때 훌륭한 도구가 됩니다.

 

앞 장에서는 가우스소거법을 이용하여 연립방정식의 해를 구하였습니다. 이번에는 행렬 사이의 덧셈연산과 스칼라곱셈연산을 정의하고, 행렬연산의 대수적 성질을 소개합니다. 이어서 가우스소거법을 이용하여 역행렬을 구하는 방법을 배웁니다. 


또한 선형연립방정식의 구조를 살펴보는데 필수적인 개념인 부분공간과 일차독립에 대하여 살펴보고 그를 이용하여 선형연립방정식의 해집합과 행렬의 관계, 특수행렬에 관하여 살펴보겠습니다.

 

 

3.1 행렬연산

 참고 동영상: http://youtu.be/DmtMvQR7cwAhttp://youtu.be/JdNnHGdJBrQ 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-3-Sec-3-1.html

 

 

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이 절에서는 행렬 사이의 덧셈연산과 스칼라곱셈연산을 정의하고, 행렬연산의 대수적 성질을 소개한다. 이 중 많은 성질은 실수연산과 일치하지만, 일부 성질은 다른 것을 볼 수 있다. 행렬연산은 실수 연산의 일반화된 모습이다.

 


 

   

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 [행렬의 상등]

 

 

 

 

두 행렬 가 모든 에 대하여 를 만족하면 서로 같다(equal)고 하고 로 나타낸다.

 

 

 

 

 


 상등이 정의되려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다.

 

두 행렬


가 이기 위한 필요충분조건은 무엇인가?


 이기 위해서는 대응하는 성분이 모두 같아야 하므로 (즉, 이다.     

 

 

 

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 [행렬의 덧셈과 스칼라배]

 

 

 

 

두 행렬 와 실수 에 대하여 와 의 합(sum) 와  스칼라배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의한다.

 

,  

 

 

 

 

 

 

 행렬 덧셈이 정의되려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다.

 

  일 때, 는?


 ,

     

                                □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-MA-operation.html 

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-MA-operation-1.html 

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[ 1  3  0]            [ 2  4 –8]              [-1 -1]

[-3  4  4]            [-4  2  6]              [-2 –2]                 

 

 

   

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 [행렬의 곱셈]

 

 

 

 

두 행렬 에 대하여 와  곱(product) 를 다음과 같이 정의한다.

여기서,   

 

 

 

 

 

 

행렬의 곱이 성립하기 위한 조건

 

 

 

 

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행렬 곱의 의미

 

 

 

 

  라 하고, 의 번째 행을 의 번째 열을 로 표기하자. 그러면

즉, 

 앞 행렬 의 행벡터와 뒤 행렬 의 열벡터의 내적(inner product)이  행렬의 해당 위치에 대응하는 성분과 일치한다.

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두 행렬 에 대하여

    

      □


● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-MA-operation-1-multiply.html

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 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[-4 -6]

[-6  0]             ■

 

 행렬의 곱을 이용하면 선형연립방정식을 쉽게 표현할 수 있다. 아래 선형연립방정식

 

 

에서 계수와 미지수, 상수항을 각각 이라 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

 

선형연립방정식의 일반적 형식                    선형연립방정식의 벡터 형식

 

 

 

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 3.1.1

행렬 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, 가 스칼라일 때, 다음이 성립한다.

 (1)               (덧셈의 교환법칙)

 (2)    (덧셈의 결합법칙)

 (3)             (곱셈의 결합법칙)

 (4)  (분배법칙)

 (5)  (분배법칙)

 (6) 

 (7) 

 (8) 

 (9) 

 

 

다음 행렬에 대하여 곱에 관한 결합법칙을 확인하여라.

 이므로 

또, 이므로 

              

 

 행렬연산의 성질은 우리가 이미 알고 있는 실수의 연산성질과 유사한 점이 많다.

 예외: 행렬 에 대하여 가 일반적으로는 성립하지 않는다.

 

행렬 가 각각 다음과 같다고 하자.

이때 는 정의되지만 는 정의되지 않으며, 는  행렬이지만 는  행렬이므로 이다. 또 나 는 모두  행렬이지만 다음에서 알 수 있듯이 이다.

                                       

컴퓨터 시뮬레이션

 

 

 

 

  [행렬의 곱] (일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.)

  http://www.geogebratube.org/student/m12831

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 [영행렬]

 

 

 

 

영행렬(zero matrix)은 성분이 모두 0인 행렬로 (또는 )로 나타낸다.

 

 

 

 

 

 

 

 

   

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 3.1.2

임의의 행렬 와 영행렬 에 대하여 다음이 성립한다.

 (1) 

 (2) 

 (3) 

 (4) 

 

 

 주의: 이지만 일 수 있다.

        이지만 일 수 있다.


행렬   에서 

이고 이지만 이다. 또한 이지만 이다.    

 

 

   

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 [단위행렬]

 

 

 

 

주대각선성분이 모두 1이고 나머지 성분은 모두 0인 차의 정사각형 행렬을  단위행렬(identity matrix)이라 하고, 으로 나타낸다.

 

 

 

 

 


 가  행렬일 때, 단위행렬 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

 


행렬 일 때, 이고,

이다.

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[ 4 -2  3]

[ 5  0  2]


[ 4 -2  3]

[ 5  0  2]


[0 0]

[0 0]       ■

 

 

   

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 [행렬의 거듭제곱]

 

 

 

 

가 차의 정사각행렬일 때, 의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.

(개)

 

 

 

 

 

 

 

   

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 3.1.3

가 정사각행렬이고 가 음이 아닌 정수일 때, 다음이 성립한다.

 


행렬 에 대하여 을 구하고 임을 확인하라.

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[  6  -8]

[ 20 -10]


[-16 -12]

[ 30 -40]


[1 0]

[0 1]


True    ■

 

 실수에서는 이다. 그러나 행렬 연산에서는 행렬의 가환성이 언제나 성립하지는 않으므로 아래 결과가 최선이다.

 

 

단지 일 경우에만, 이 성립한다.

 

 

   

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 [전치행렬]

 

 

 

 

행렬 에 대하여  전치행렬(transpose)을 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

 

 

 

 전치행렬은 원 행렬의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬이다.

 

다음 행렬들의 전치행렬을 각각 구하여라.

  ,

 ,

       .                □

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[ 1  4]                [ 5 –3  2]              [3]

[-2  5]               [ 4  2  1]               [0]

[ 3  0]                                        [1]      ■

 

 

   

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 3.1.4

두 행렬 와 임의의 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

 (1) 

 (2) 

 (3) 

 (4) 

 

 

행렬 에 대하여, 위 정리 3.1.4의 (3)이 성립함을 보여라.

 이므로 .

또한, .                

 

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 [대각합]

 

 

 

 

행렬 의 대각합(trace)은 이다.

 

 

 

 

 

 

 

   

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 3.1.5

가 같은 크기의 정사각행렬이고, 이면

 (1) 

 (2) 

 (3) 

 (4) 

 (5) 

 

 

 (5)번만 증명하고 나머지는 연습문제로 남긴다.

                      

 

행렬 에 대하여, 위 정리 3.1.5의 (5)가 성립함을 보여라.

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




37


37       ■

 

 

3.2 역행렬

 참고 동영상: http://youtu.be/GCKM2VlU7bwhttp://youtu.be/yeCUPdRx7Bk  

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-3-Sec-3-2.html

 

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이 절에서는 정사각행렬의 연산 중 실수에서의 역수와 같은 역할을 하는 역행렬에 대해 소개한다. 그리고 역행렬의 성질을 살펴본다. 많은 성질이 실수연산과 일치하지만, 일치하지 않는 경우를 보게 될 것이다.

 


 

   

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 [가역행렬과 역행렬]

 

 

 

 

차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 만족하는 행렬 가 존재하면 는 가역(invertible, nonsingular)이라고 한다.

 

 

이때 를 의 역행렬(inverse matrix)이라고 하며, 이러한 가 존재하지 않으면 는 비가역(noninvertible, singular)이라고 한다.

 

 

 

 

 


행렬 에서 ,

이므로 는 의 역행렬이다.              


행렬 는 3행의 성분이 모두 0이므로 임의의  행렬

에 대하여 의 3행은 언제나 이다. 따라서 인 가 존재하지 않으므로 는 비가역이다.

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




False      ■

 

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 3.2.1

차의 정사각행렬 가 가역이면 의 역행렬은 유일하다.

 


 행렬 가 모두 의 역행렬이라고 하면


                        


이므로

                        


이다. 따라서 의 역행렬은 유일하다.          

 

행렬 가 가역일 필요충분조건은 이고, 이 경우

이다. 실제로 와 를 곱하면 단위행렬이 됨을 쉽게 확인할 수 있다.   

 

 

   

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 3.2.2

차의 정사각행렬 가 가역이고 가 이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한다.

 (1) 은 가역이고, 이다.

 (2) 는 가역이고, 이다.

 (3) 는 가역이고, 이다.

 (4) 도 가역이고, 

 

 (1)~(4) 모두 각각 곱하여 단위행렬이 됨을 쉽게 보일 수 있다.            

 

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 3.2.3

만일 가 가역행렬이면, 도 가역행렬이고 다음이 성립한다.

 

 

두 행렬 에 대하여 임을 확인하여라.

 ,

          

 이므로 이다. 또한

  이므로

 .                          

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-SO-MA-inverse.html 

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 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[ 17 -44]

[ -5  13]


[ 17 -44]

[ -5  13]             ■

3.3 기본행렬

 참고 동영상: http://youtu.be/GCKM2VlU7bw, http://youtu.be/oQ2m6SSSquc   

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-3-Sec-3-3.html


그림입니다.
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앞 절에서 정사각행렬의 역행렬을 정의하였다. 이 절에서는 기본행렬과 기본행연산을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 설명한다.

 

 

 

   

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 [기본행렬과 치환행렬]

 

 

 

 

에 기본행연산(elementary row operation, ERO)을 한 번 적용해서 얻은 행렬을 기본행렬(elementary matrices)이라 한다. 그리고 치환(permutation)행렬은 의 행들을 교환하여 얻어진 행렬이다.

 

 

 

 

 

 

세 가지 기본행연산에 대응하는 기본행렬들은 다음과 같다.

      : 두 행을 교환한다.      

      : 한 행에 영 아닌 상수배를 해서 다른 행에 더한다.    

      : 한 행에 영 아닌 상수배를 한다.      


 http://sage.skku.edu  (주의!! Sage의 index는 0부터 시작한다.)




[1 0 0 0]          [ 1  0  0  0]          [1 0 0 7]

[0 0 1 0]          [ 0  1  0  0]          [0 1 0 0]

[0 1 0 0]          [ 0  0 -3  0]         [0 0 1 0]

[0 0 0 1]          [ 0  0  0  1]          [0 0 0 1]       ■

 

[기본행렬의 성질] 임의의 행렬의 왼쪽에 기본행렬을 곱한 결과는 기본행렬에 대응하는 기본행 연산을 주어진 행렬에 시행한 결과와 같다.

 

            

           

              

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[1 2 3]          [1 2 3]          [1 2 3]

[0 1 3]          [3 5 7]          [3 3 3]

[1 1 1]          [0 1 3]          [0 1 3]           ■

 

 

기본행렬의 역행렬은 기본행렬이다

 

 

 

 

   이므로 

   이므로 

   이므로 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[1 0 0]          [ 1  0  0]          [  1   0   0]

 [0 0 1]          [ 0  1  0]          [  0 1/3   0]

 [0 1 0]          [ 0 -4  1]          [  0   0   1]

 

 

 

 

 

 


가역행렬의 역행렬 구하기

 

이제 기본행렬을 이용하여 가역행렬의 역행렬을 구하는 방법에 대하여 살펴보자. 먼저 가역행렬과 동치인 명제는 다음과 같다(증명은 7장에서 다룬다).


 

   

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 3.3.1 [가역행렬과 동치인 명제]

임의의 차 정사각행렬 에 대하여 다음은 동치이다.

 (1) 는 가역(invertible)행렬이다.

 (2) 는 과 행동치(row equivalent)이다. (즉, RREF)

 (3) 는 기본행렬(elementary matrix)들의 곱으로 쓸 수 있다.

 (4) 은 유일한 해(trivial solution) 을 가진다.

 


 만약 의 역행렬이 존재한다면 이라는 식에서 인 자명한 해를 갖게 된다. 그러므로 행렬 는 ERO를 유한히 반복함으로써 단위행렬로 만들 수 있다. 가 단위행렬과 행동치이므로 에 취하는 유한번의 ERO에 해당하는 유한개의 기본행렬이 존재하게 된다.


기본행렬과 기본행연산을 이용한 역행렬 구하기

 

 

 

 

   그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 355pixel, 세로 259pixel   

 

 

 

 

 

 

 

 

   

그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 3.3.2 [역행렬 계산]

 


Gauss-Jordan 소거법을 이용한 역행렬 연산법

 

 

 

 

     그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 355pixel, 세로 259pixel 

 

[단계 1] 주어진 행렬 에 단위행렬 을 첨가하여  행렬 을 만든다.

 [단계 2] 단계 1에서 만든 행렬 의 RREF를 구한다.

 [단계 3] 단계 2에서 얻어진 RREF를 라고 하면 다음이 성립한다.

         (1) 이면 이다.

         (2) 이면 는 비가역이고 은 존재하지 않는다.

 

 

 

 

 

 

 

다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

 를 만들면

이고, 이 행렬의 RREF를 구하면

      

 

 

이다. 이므로 이다.

 

                  

다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

 마찬가지로

    

 

이고, 이므로 는 존재하지 않는다.  

 

다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-MA-Inverse_by_RREF.html

  그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 357pixel, 세로 357pixel

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[     1      0      0  |  8/15 -19/15   2/15]

[     0      1      0  |  1/15 -23/15   4/15]

[     0      0      1  |  4/15 –2/15    1/15]

 

이므로 .        

 

 

3.4 부분공간과 일차독립

 참고 동영상: http://youtu.be/HFq_-8B47xMhttp://youtu.be/UTTUg6JUFQM    

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-4-Sec-3-4.html


그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 357pixel, 세로 357pixel

 

 

이 절에서는 의 부분집합 중 두 가지 조건을 만족하는 부분공간을 정의하고, 일차결합, span, 일차독립, 일차종속을 정의한다. 동차선형연립방정식의 해집합이 부분공간을 이루는 것을 이용하여 선형연립방정식의 일반 해법을 학습한다.

 

 

 

   

그림입니다.
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원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [부분공간]

 

 

 

 

집합 가 의 부분집합이라 하자. 이때 다음 두 조건을 만족하면 는 의 부분공간(subspace)이다.

 

   (1)   (덧셈에 닫혀 있다.)

   (2)  (스칼라배에 닫혀 있다.)

 

 

 

 

 

 

 의 모든 부분공간은 영벡터를 포함해야 한다.

  

 

과 는 의 부분공간이다. 여기서 은 원점이다.         

 

, 즉 직선  위의 점들의 집합은 위의 두 조건을 만족하므로 의 부분공간이지만, , 즉 직선  위의 점들의 집합은 아래와 같이 조건 (1)을 만족하지 못하므로 의 부분공간이 아니다.


       , 이지만                   

 

의 모든 부분공간은 아래 3종류 중 하나이다.

       1. 영공간: 

       2. 원점을 지나는 line

       3.  전체

의 모든 부분공간은 아래 4종류 중 하나이다.

       1. 영공간: 

       2. 원점을 지나는 line

       3. 원점을 지나는 평면

       4.  전체         

 

집합 은 의 부분공간임을 보여라.


 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.

      (1) ,

      (2) 

따라서 정의에 의하여 는 의 부분공간이다.       

행렬 에 대하여 집합 은 차원공간 의 부분공간임을 보여라(이러한 를 의 해공간(solution space) 또는 의 영공간(null space)이라 한다).


 우선 이므로 이다. 따라서 이다.

이제 와 에 대하여 이므로

    ,

    

     

따라서 는 의 부분공간이다.          

 

 

   

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 [일차결합](부분공간의 구조를 이해하는데 필요하다.)

 

 

 

 

의 부분집합 에 대하여, 벡터 

 

 

의 꼴로 표시되면, 를 벡터 의 일차결합(linear combination)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

의 벡터 에 대하여 을  의 일차결합으로 표시할 수 있는가?


 이 답은 방정식 를 만족하는 실수 가 존재하는가에 의해서 결정된다. 따라서 위의 식으로부터 다음을 얻는다.


(열벡터로 쓰면)

                         


 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]


이 연립방정식을 만족하는 실수 는 존재하지 않으므로 벡터 는  의 일차결합으로 표시할 수 없다.             

 

의 부분집합 에 대하여 에 있는 개 벡터들의 일차결합 전체의 집합, 즉 은 의 부분공간임을 보여라.


 이라 하자. 그러면 에 대하여

       

라고 쓸 수 있으므로

       ,

          .

          


따라서 는 의 부분공간이다.       

 

 위 의 를 에 의하여 생성된(spanned) 의 부분공간이라고 한다집합 는 를 생성(span)한다고 하고, 를 의 생성집합(spanning set)이라고 하며 기호로는 다음과 같이 나타낸다.

 

 또는 

 

특히, 에 있는 모든 벡터가 에 있는 개 벡터들의 일차결합이면 집합 는 을 생성한다. 즉 

 

 

   

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 [행공간과 열공간]

 

 

 

 

이면 의 열벡터들 의 생성(span)

 

 또는 Col()

 

은 의 부분공간이다. 이를 행렬 의 열공간(column space)이라 한다. 같은 방법으로 의 행벡터들의 생성(span)

 

 또는 Row()

 

은 의 부분공간이다. 이를 행렬 의 행공간(row space)이라 한다.

 

 

 

 

 

 

의 벡터 에 대하여

는 를 생성하는가?


 의 임의의 벡터 에 대하여

를 만족하는 가 있는지를 묻는 문제이다.


(열벡터로 쓰면)

                    


 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[1 0 1]

[0 1 1]

[0 0 0]


따라서  중에서 해를 결정하지 못하는 원소가 하나가 있다는 의미이다. 따라서 이 방정식은 해를 유일하게 결정할 수 없는 경우가 된다.                

 

 

   

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 [일차독립과 일차종속]

 

 

 

 

에 대하여

 

  

 

이면, 벡터 (또는 집합 )는 일차독립(linearly independent)이라고 하고, 벡터 (또는 집합 )가 일차독립이 아니면 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

 집합 가 일차종속이면 을 만족하는 모두는 영이 아닌 스칼라 가 존재한다.

 

 

 일반적으로, 의 기본 단위벡터 

 

 

에 대하여 은 일차독립이다. 왜냐하면

                   

                

                

                

   이기 때문이다.

 

의 벡터 에 대하여 는 일차독립임을 보여라.


 임의의 에 대하여

                     

                                       

따라서 이므로 는 일차독립이다.    

 

벡터공간 의 벡터 가 일차독립이면 가 일차독립임을 보여라.


 임의의 에 대하여

         

        

그런데 가 일차독립이므로

  

따라서 는 일차독립이다.       


의 벡터 에 대하여

  는 일차종속임을 보여라.


 임의의 에 대하여 라 하면

                      

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[ 1  0 -1]

[ 0  1  1]

[ 0  0  0]


 이 동차연립방정식은 미지수의 개수가 실제의 방정식의 수보다 많으므로 자명하지 않은 해가 존재한다. 그 중에 하나는 이다. 따라서 모두는 영이 아닌 스칼라 가 존재하므로 는 일차종속이다. 

 

 

   

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 3.4.1

집합 에 대하여, 다음이 성립한다.

 (1) 집합 가 일차종속일 필요충분조건은 에 속하는 한 벡터가 나머지 벡터들의 일차결합으로 표시되는 것이다.

 (2) 집합 가 영벡터를 포함하면 는 일차종속이다.

 (3) 집합 의 부분집합 이 일차종속이면 도 일차종속이고, 가 일차독립이면 도 일차독립이다.

 

 (1)번만 증명하고 나머지는 연습문제로 남긴다.

() 집합 가 일차종속이면 을 만족하는 모두는 영이 아닌 스칼라 가 존재한다.

일반성을 잃지 않고 만일 이라 하면 이므로 은 에 속하는 나머지 벡터들의 일차결합으로 표시된다.

 

() 일반성을 잃지 않고  라 하면

이다. 따라서 이므로 는 일차종속이다.     

 

 즉, 벡터의 집합 가 일차독립이라는 의미는 안의 어떤 벡터도 다른 벡터들의 일차결합으로 표시될 수 없는, 모두가 꼭 필요한 벡터들이라는 의미이다.


 그리고, 에서 일차독립인 집합은 기껏해야 개의 벡터들로 이루어져 있다.

 

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 3.4.2 (증명은 7장 정리 7.1.2를 참고)

에서 개의 벡터는 항상 일차종속이다.

 

 

의 벡터 에 대하여

는 정리 3.4.2에 의하여 일차종속임을 쉽게 알 수 있다.    

 

직선과 평면(부분공간의 관점에서)

 

 

 

 

 

 (1) 벡터 의 생성집합인 은 영벡터를 포함하는 부분공간이므로

    은 을 지나는 와 평행한 직선이다. 즉 직선 는 를 만큼 평행이동한 직선이다.

 (2) 가 의 벡터들이면 평면 는 원점을 지나는 부분공간 (평면) 을 만큼 평행이동한 벡터들의 집합(평면)이다.

 

 

 

 

 

 

 

3.5 선형연립방정식의 해집합과 행렬

 참고 동영상: http://youtu.be/daIxHJBHL_ghttp://youtu.be/O0TPCpKW_eY    

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-4-Sec-3-5.html


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이 절에서는 행렬의 가역성과 선형연립방정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정식의 해집합에 대하여 살펴본다.

 

 

 

   

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 3.5.1 [행렬의 가역성과 선형연립방정식의 해 사이의 관계]

차의 정사각행렬 가 가역이고 가 의 벡터일 때, 연립방정식 는 유일한 해 를 갖는다.

 

 

아래 연립방정식을 로 나타낼 수 있다.

라 하면, 행렬 는 가역이고,

이다. 따라서 위의 정리에 의하여 연립방정식의 해는

이므로 즉 이다.       

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x= (-1, 1, 0)

x= (-1, 1, 0)                     

 

동차선형연립방정식

 

 

 

 

 

 

              

  

 

     이라 할 때 으로 나타낼 수 있다.

 

  이때 인 해를 자명한 해(trivial solution)인 해를 자명하지 않은 해(nontrivial solution)라 한다. 동차선형연립방정식은 항상 자명한 해를 가지므로 아래의 두 가지 경우만 갖는다.

 

   (1) 자명한 해만 갖는다(유일해).

   (2) 무수히 많은 해를 갖는다(즉 자명하지 않은 해도 갖는다).

 

 

 

 

 

 

 

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 3.5.2 [동차선형연립방정식이 자명하지 않은 해를 갖는 경우]

개의 미지수를 갖는 개의 방정식으로 이루어진 동차선형연립방정식은 이면, (즉 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면) 자명하지 않은 해를 갖는다.

 


 동차선형연립방정식이 무수히 많은 해를 갖는 필요충분조건은 자명하지 않은 해를 갖는 것이다. 그리고 선형연립방정식이 무수히 많은 해를 가지려면 수반동차연립방정식(아래 정의 참조)이 무수히 많은 해를 가져야 한다. 자세한 증명은 Linear Algebra : A Geometric Approach by S. Kumaresan, Prentice Hall of India, 2000 을 참고하라.

 

동차연립방정식

의 첨가행렬과 그의 RREF는 다음과 같다.

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




A=

[1 1 1 1 0]

[1 0 0 1 0]

[1 2 1 0 0]


RREF(A)=

[ 1  0  0  1  0]

[ 0  1  0 -1  0]

[ 0  0  1  1  0]


이것에 대응하는 연립방정식은

이므로  (: 임의의 실수)이라 놓으면 선형연립방정식의 해는


 


이다. 여기서 이면 자명한 해가 되고, 이면 자명하지 않은 해가 된다.  


 

   

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 [수반동차연립방정식]

 

 

 

 

선형연립방정식 에 대하여 을 의 수반동차연립방정식(associated homogeneous system of linear equations)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

다음과 같은 선형연립방정식을 생각해보자.

이 연립방정식의 수반동차연립방정식은 다음과 같다.

 행렬의 크기가 3차 이상이므로 Sage를 이용하여 해를 구해보자.

선형연립방정식의 첨가행렬의 RREF를 구하면


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[  1   0   0   4   2   0   0]

[  0   1   0   0   0   0   0]

[  0   0   1   2   0   0   0]

[  0   0   0   0   0   1 1/3]


이므로, 라 하면 이 선형연립방정식의 해는 다음과 같다.


그리고 수반동차연립방정식의 첨가행렬의 RREF를 구하면


 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




[1 0 0 4 2 0 0]

[0 1 0 0 0 0 0]

[0 0 1 2 0 0 0]

[0 0 0 0 0 1 0]


이므로, 라 하면 이 수반동차연립방정식의 해는 다음과 같다.

              ,       


따라서 선형연립방정식의 해집합은 단순히 수반동차연립방정식의 해공간을

벡터 만큼 평행이동한 것임을 알 수 있다.

(여기서 이  특수해(particular solution)라 하며, 이는 선형연립방정식의 해에 을 대입하여 구할 수 있다.)


선형연립방정식과 수반동차연립방정식의 해집합 사이의 관계

 

 

 

 

 이면 이므로 선형연립방정식 의 해가 존재하고 를 의 해공간이라 할 때, 가 를 만족하는 임의의 해라면, 는 의 해집합이다.

 

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 의 해집합 의 기하학적 의미는 의 해공간 에 의 특수해(particular solution) 를 더한 평행이동집합으로 생각할 수 있다. 따라서 는 영벡터를 안 가지므로 의 부분공간은 아니다. 

 

 

   

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 3.5.3 [가역행렬의 동치정리]

행렬 가 차의 정사각행렬이면, 아래는 동치(equivalent)이다.

 (1) RREF

 (2) 는 기본행렬의 곱으로 표현된다.

 (3) 는 가역이다.

 (4) 은 유일해 을 갖는다.

 (5) 는 모든 에 대해 유일해를 갖는다.

 (6) 의 열벡터들은 일차독립이다.

 (7) 의 행벡터들은 일차독립이다.


의 해공간의 벡터는 의 행벡터에 직교한다.

 

 

 

 

 개의 미지수, 방정식의 개수가 개인 선형동차연립방정식 에 대하여

(여기서 는 의 계수행렬) 를 행렬 의 번째 행벡터라 하면

 

 

이므로 만일 가 의 해라면  ()이다. 즉, 의 해공간들의 벡터들은 모두 행렬 의 각각의 행벡터들에 직교(orthogonal)인 벡터들이다.

 

 

 

 

 

 


Hyperplane(초평면)

 

 

 

 

 (1) -평면의 직선: 선형방정식 의 해집합

 (2) -공간의 평면: 선형방정식 의 해집합

 (3) 안의 hyperplane(초평면, 超平面): 의 해집합 (여기서 인 경우를 원점을 지나는 hyperplane)

 

 

    를 의 orthogonal complement(직교보공간)라 한다.

 

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3.6 특수행렬들(Special matrices)

 참고 동영상: http://youtu.be/daIxHJBHL_g, . http://youtu.be/jLh77sZOaM8     

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-4-Sec-3-6.html


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앞에서 행렬의 연산에 대한 다양한 특성을 보았다. 이 절에서는 자주 이용되는 특수 행렬들(special matrices)을 소개하고 그 행렬이 갖는 주요 성질을 학습한다.

 

 

 대각선행렬(diagonal matrix): 주대각선성분 이외의 모든 성분이 인 정사각행렬

  주대각선성분이 인 대각선행렬 diag

 

diag

 

 단위행렬(identity matrix): 주대각선성분이 모두 1인 행렬 

 

 스칼라행렬(scalar matrix): 

 

,   

 

다음은 모두 대각선행렬이다. 특히, 와 는 스칼라행렬이다.

또 는 와 같이 나타낼 수도 있다.       


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[ 2  0]          [-3  0  0]

[ 0 -1]         [ 0 -2  0]

                [ 0   0   1]       ■

 

다음의 행렬을 생각해보자.

 이고 이면 이다.

즉, 일반적인 행렬 에 대하여 는 의 각 행에 의 대응하는 주대각선성분을 곱하는 결과와 같고, 는 의 열에 에 대응하는 주대각선성분을 곱한 결과와 같다.


더 나아가 아래의 결과를 만족한다.

           


즉, 대각선행렬의 거듭제곱은 주대각선성분을 거듭제곱한 대각선행렬과 같다.   


 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




D^(-1)=

[   1    0    0]

[   0 -1/3    0]

[   0    0  1/2]


D^5=

[   1    0    0]

[   0 -243    0]

[   0    0   32]            ■

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 [대칭행렬과 반대칭행렬]

 

 

 

 

정사각행렬 가 를 만족하면  대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고, 를 만족하면 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이라고 한다.

 

 

 

 

 

 

다음 행렬 중에서 는 대칭행렬이고, 는 반대칭행렬이다.

        

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/3-SO-Symmetric-M.html 

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 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080




True

True          ■


가 임의의 정사각행렬일 때, 다음을 보여라.

 (1) 는 대칭행렬이다.

 (2) 는 반대칭행렬이다.

 이므로 는 대칭행렬이다.

또 이므로 는 반대칭행렬이다.   

 

 

 

 

 

 

 임의의 정사각행렬은 대칭행렬 반대칭행렬의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 임의의 정사각행렬 에 대하여 는 대칭행렬이고 는 반대칭행렬이며

(대칭행렬과 반대칭행렬의 합)로 표시된다.      

 

 하삼각행렬(lower triangular matrix): 주대각선 위의 모든 성분이 인 정사각행렬

  상삼각행렬(upper triangular matrix): 주대각선 아래의 모든 성분이 인 정사각행렬

 

일반적인  삼각행렬은 다음과 같은 형태이다.

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 3.6.1 [삼각행렬의 성질]

를 하삼각행렬(lower triangular matrix)이라 하자.

 (1) 는 하삼각행렬(lower triangular matrix)이다.

 (2) 만일 가 가역(invertible)행렬이면 도 하삼각행렬이다.

 (3) 만일 모든 에 대하여 이면 의 주대각선성분들도 모두 이다.

 

 

정사각행렬 에 대해  되는 양의 정수 가 존재하면(이때 를 nilpotent라 부른다) 는 가역행렬이고, 이다. 이는

 

 

이므로 정의에 따라 쉽게 확인이 가능하다.    

  http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/ZHzTvuHc9MI

  http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm

 

 

 행렬 일 때, 다음을 확인하여라.

            




 행렬   일 때, 이지만 임을 확인하여라.




 행렬 에 대하여 다음을 계산하여라.

             




 가 의 역행렬임을 보여라. 그리고 임을 확인하여라.

            




 만일 이면 임을 보여라.

 

 

 

 

 다음 기본행연산에 대응하는  기본행렬을 구하여라.

            (1) 

            (2) 

            (3) 




 기본행연산을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

            (1)      (2)  



 이라 하고 를 임의의 행렬이라 하자.

       (1) 가 어떤 행렬이고 원래 행렬의 행에 어떻게 영향을 미치는지 확인하여라.


       (2) 가 어떤 행렬이고 원래 행렬의 열에 어떻게 영향을 미치는지 확인하여라.

 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.

            




 다음 집합이 의 부분공간인지를 결정하여라.

            




 다음 벡터들에 의해 생성되는 부분공간의 벡터방정식과 매개변수방정식을 구하여라.

           (a) 

           (b) 


[풀이] (a) 벡터방정식은  (단, 는 실수)이고, 매개 변수 방정식은  이다.

      (b) 벡터방정식은  (단, 는 실수) 이고, 라 하면, 매개 변수 방정식은  이다. ■



 다음 연립방정식의 계수행렬의 역행렬을 구하여 해를 구하여라.

           




 다음 동차연립방정식 자명하지 않은 해를 갖는 것을 결정하여라.

           




 다음 행렬이 가역인지 확인하고 가역이면 특수행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하여라.

            

 

 

 

 특수행렬의 성질을 이용하여 아래 행렬의 곱을 구하여라.

            

 

 

 다음 행렬 가 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이 될 수 있도록 값을 주어라.

            




 가 인  행렬일 때, 이라고 놓으면 는 다음과 같이 두 행렬의 곱으로 표시됨을 보여라.

            


            이때 의 값은 무엇인가?



 정사각행렬 에 대하여 다음이 왜 성립하는지 설명하여라.

       (1) 가 행이나 열 전체가 0인 행이나 열을 포함하면, 는 비가역이다.

       (2) 가 똑같은 행이나 열을 포함하면, 는 비가역이다.

       (3) 하나의 행 또는 열이 다른 행 또는 열의 상수배로 표현된다면 는 비가역이다.



 가 인 정사각행렬이다. 이때 가 되려면 어떤 조건이 필요할지 토론하여라.





 다음을 만족하는  행렬 를 구하고 기본행연산(ERO)과의 관계를 설명하여라.

            



 아래 4개의 벡터가 일차독립인지 아닌지를 판단하여라.

            




 와 가 해를 가지면 도 해를 가짐을 증명하여라.





 는 차의 가역행렬이다. 의 한 벡터 가 의 모든 행벡터와 수직이면 는 무엇인가? 이유를 들어 설명하여라.





 대각선행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 대각성분이 모두 0이 아니라는 것을 증명하여라.





 가 가역이고 대칭행렬이라면, 도 대칭행렬임을 증명하여라.