행렬식(determinant)은 행렬보다 무려 150년 전에 생긴 개념으로 우리는 100년 이상 행렬식을 이용하여 연립방정식을 풀어왔습니다. 19세기 후반이 되어서야, Sylvester에 의하여 행렬(Matrix)의 개념이 소개되고 역행렬을 이용하여 방정식을 푸는 방법이 개발된 것인데,행렬식은 역행렬이 존재하는지 않는지를 알려주기도 합니다. 또한 행렬식은 면적이나 부피, 직선과 평면의 방정식, 외적을 구하는데 이용되며, 벡터의 기하학적 이해에 큰 도움이 됩니다.

이 장에서는 먼저 행렬식을 정의하고 성질을 살펴본 후 여인자 전개를 이용하여 행렬식을 계산하는 방법을 배웁니다. 그리고 행렬식만을 이용하여 선형연립방정식의 해를 구하는 방법인 Cramer의 공식을 배울 것입니다.

선형대수학에서 가장 중요한 개념 중 하나는 행렬의 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)입니다. 개의 성분을 갖는 대상의 거의 모든 주요 성질을 보존하고 있는 개의 성분, 즉 고유값은 이론적으로 중요할 뿐만 아니라, 미분방정식의 해, 행렬의 거듭제곱을 구할 때와 구글 검색, 이미지 압축 등 행렬과 관계된 모든 곳에 응용됩니다. 이 장 마지막 절에서는 고유값을 행렬식을 이용하여 계산하도록 하겠습니다.

 참고 동영상: http://youtu.be/DM-q2ZuQtI0, http://youtu.be/Vf8LlkKKHgg  

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-5-Sec-4-1.html

 앞으로 치환을 간단히 로 나타낸다. 치환 는 일대일대응이므로 치역 은 의 숫자를 일렬로 배열하는 것에 지나지 않는다. 따라서 의 치환은 모두 개이다. 집합 의 모든 치환의 집합을 으로 표시한다.

 에 대한 반전의 개수: 번째 수 에서 반전이 일어난 경우 보다 작은 수로서 번째 이후로 나타난 수의 개수를 에 대한 반전수라고 부른다. 위의 예에서 에 대한 반전수는 이다. 치환 의 반전수란 각각의 에 대한 반전수를 모두 더한 것이다.

의 치환 의 반전의 총수를 계산하여 짝치환인지 홀치환인지 결정하여라.            

 5를 기준으로 하면 반전의 개수는 4, 1을 기준으로 하면 0개, 2를 기준으로 하면 또 0개, 4를 기준으로 하면 1개, 3은 맨 끝의 원소이므로, 순서대로 반전의 수를 계산하여 더하면 이므로 홀치환이다.              □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/4-TF-Permutation.html 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

Permutation([5,1,2,4,3]).inversions()           # 반전이 일어난 부분

[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4], [3, 4]]            # 주의!! index는 0부터 시작

Permutation([5,1,2,4,3]).number_of_inversions()    # 반전의 개수

5

Permutation([5,1,2,4,3]).is_even()                   # 짝치환인지 확인

False          ■

의 치환들을 짝치환과 홀치환으로 분류하여라.

      ■

 치환에서 두 수의 순서가 바뀌면 부호가 바뀐다.

 정의에 의하여 1차 정사각행렬 의 행렬식은 이다.

 행렬식의 각 항 은 행렬 의 행과 열에서 중복됨 없이 하나씩 뽑아서 곱한 후 대응되는 치환의 부호를 붙인 것이다.

행렬 의 를 구하여라.

의 크기가 이므로 이다. 또한 

, 이므로

            ■

행렬 의 를 구하여라.

의 크기가 이므로

                           이다.

또한 , , , , ,

      이므로

이것을 행렬식의 정의에 대입하면,

                    ■

다음 행렬의 행렬식을 계산하여라.

   , 

       □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/4-B1-Det-matrix.html 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

240                 ■

행렬식의 성질

● https://www.projectrhea.org/rhea/index.php/Determinant_Transpose_Proof 

앞의 의 행렬 의 행렬식은 이고, 이므로

따라서 이다.                                                    □

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

240                   ■

 행에 관한 행렬식의 성질이 열에 관해서도 모두 성립한다.

​​가 의 행과 행을 바꾸어서 얻어진 행렬이라 하자.  ()  , ​​ 이고, 일 때, 이다.

 (정의에 의하여)

       (정리 4.1.1.   안의  두수 교환)

                ■

행렬 일 때,  이고  이므로

이다.         ■

행렬 일 때,

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

0         ■

행렬 의 를 계산하면 다음과 같다.

      ■

행렬 의 행렬식을 계산하면 다음과 같다.

    ■

 의 1행에 배를 하여 2행에 더하여 얻은 행렬을 라 하자.

    .  (정리 4.1.4에 의해) ■

행렬 의 2행을 2배하여 1행에 더한 행렬을 라 하면

이므로 

이다. 를 각각 계산하면

 이다.         ■

앞의 정리에 의하여     ■

다음 행렬 의 행렬식을 구하여라.

           ■

 가역행렬의 동치조건

행렬 에 대하여 위의 정리를 확인하여라.

 이고,

이므로 이다.                                          □

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

det(AB)= -10

det(A)*det(B)= -10           ■

행렬 에 대하여 위의 정리를 확인하여라.

 는 가역이고 이므로 이다.

         □

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

det(A)= -2

det(A^(-1))= -1/2              ■

 참고 동영상: http://youtu.be/XPCD0ZYoH5I, http://youtu.be/m6l2my6pSwY

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-5-Sec-4-2.html

행렬 이라 할 때, 의 에 대한 소행렬식과 여인자를 구하여라.

의 에 대한 소행렬식은 이고, 에 대한 여인자는 .       ■

다음 행렬의 를 구하여라.

행렬 의 각 성분에 대한 여인자는 각각 다음과 같다.

                          □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/4-MA-adjoint.html 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

[-18  -6 -10]

[ 17 -10  -1]

[ -6  -2  28]               ■

여인자 전개

 3차의 정사각행렬 의 행렬식은 다음과 같이 전개될 수 있다.

                                      (1열의 원소에 관하여)

이를 행렬 의 1열에 관한 (Laplace) 여인자 전개(cofactor expansion)라 한다.

 여인자 전개는 임의의 열에 대하여도 성립하며, 임의의 행에 대하여도 유사한 전개식이 성립한다.

 임의의 3차의 정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다. 즉,

   이것으로부터 임을 알 수 있다.

앞서 의 경우

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

det(A)= -94

A*adj(A)=

[-94   0   0]

[  0 -94   0]

[  0   0 –94]         ■

따라서 다음이 성립한다.

 행렬식의 계산에서 기본행연산과 을 많이 포함하고 있는 행(열)의 여인자 전개를 적절히 사용하는 것이 바람직하다.

다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

2행의 배를 3행에 더하고, 2행의 배를 1행과 4행에 각각 더하면

   이것을 1열에 관하여 여인자 전개를 하면

      .      ■

의 행렬 의 역행렬을 구하여라.

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

(1/dA)*adjA=

[  9/47   3/47   5/47]

[-17/94   5/47   1/94]

[  3/47   1/47 -14/47]

A^(-1)=

[  9/47   3/47   5/47]

[-17/94   5/47   1/94]

[  3/47   1/47 -14/47]

[  3/47   1/47 –14/47]        ■

 참고 동영상: http://youtu.be/OImrmmWXuvU, http://youtu.be/m2NkOX7gE50 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-6-Sec-4-3.html

 크래머 공식은 미지수와 방정식의 개수가 같은 선형연립방정식에 대하여 적용된다.

 이므로 는 가역이다. 따라서 연립방정식 는 유일한 해 를 갖는다. 그런데 이므로 다음이 성립한다.

        따라서 의 행의 성분은 이다. 그런데

        이므로 의 열을 로 바꾼 행렬을 라 하면 다음을 얻는다.

              ■

크래머 공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.

계수행렬을 라 하면

     이므로

 , ,       ■

 http://sage.skku.edu or http://mathlab.knou.ac.kr:8080

-2     -4     -6     -8

x = 2      y = 3      z = 4    ■

크래머 공식을 이용하여 다음 동차연립방정식을 풀어라.

에서 이고, 행렬 는 모두 인 열을 포함하고 있으므로

, 따라서 구하는 해는  이다.            ■

 정리 3.5.3이 확장된 위의 정리는 동치 조건이 계속 늘어난다. 동치 조건이 10개가 넘는 7.4절 정리 7.4.9 [가역행렬의 동치정리]의 증명을 이용하면 된다. 

 참고 동영상: http://youtu.be/OImrmmWXuvU, http://youtu.be/KtkOH5M3_Lc

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-6-Sec-4-4.html

 행렬식을 이용하면 넓이나 부피, 직선의 방정식, 타원의 방정식, 평면의 방정식을 쉽게 구할 수 있다. 또 Vandermonde 행렬의 행렬식은 통계자료와 실험실에서 나오는 이산적인 데이터에 여러분이 12년간 배운 연속함수를 다루는 수학을 연결시켜주는 다리이다(interpolation).

서로 다른 두 점 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같음을 보여라.

먼저 위 식은 와 에 대한 일차식이다. 위 식에 와  를 대입하면 등식이 성립하므로 위 식은 두 점을 지나는 직선의 방정식이다.

          ■

 에서와 마찬가지로 서로 다른 세 점 를 지나는 평면의 방정식은 다음과 같다.

 이제 임의의 정사각 행렬 을 생각해보자. 여기의 번째 열을 라 하고

  이라고 하면 인 경우에는 평행사변형(parallelogram)이고, 인 경우에는 일반화된 평행육면체(parallelepiped)가 된다.

 평행사변형은 두 벡터의 합을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

위의 평행사변형의 넓이는 으로 이는 의 절대값과 같다. 마찬가지로 평행육면체는 한 평면 위에 있지 않은 세 개의 벡터에 의해 생성되며 이들 세 개의 벡터를 열벡터로 하는 행렬을 라 하면 평행육면체의 부피는 의 절대값과 같다.

 여기서는 (3)만 증명하도록 한다.

       위의 그림에서 라는 사실은 이미 알고 있다.

       또, 위 평행사변형의 넓이는 이다. 이제 행렬식을 계산해보면,

                      (밑변과 높이를 곱한 값의 제곱)

       이므로 가 만드는 평행사변형 넓이의 제곱이 됨을 쉽게 알 수 있다.          ■        

세 벡터 , , 가 만드는 삼각형의 넓이는 다음과 같음을 보여라.

두 벡터 과 이 만드는 평행사변형의 절반인 삼각형을 원점으로 평행이동하여도 넓이는 변하지 않으므로 위 정리의 (3)을 이용하면 다음과 같이 보일 수 있다.

          ■

Vandermonde 행렬과 행렬식

 -평면상에 좌표가 서로 다른 개의 점이 있으면 이들 개의 점을 모두 지나는 차 다항식이 유일하게 결정된다. 이를 결정해보자.

 을 -평면상의 좌표가 서로 다른 개의 점이라 하자. 우리는 이들 개의 점을 지나는 차 다항식

  을 결정할 것이다. 이들 개의 점이 주어진 식을 만족하므로

  을 만족한다. 여기에서 이 서로 다르므로 계수행렬식은

  이고 계수행렬 을 차 Vandermonde 행렬이라 한다. 이제 Vandermonde 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 살펴보자. 간단하게 인 경우,

  .

 위의 경우에서 보듯이 차 Vandermonde 행렬 의 행렬식은 같은 방법으로 들의 곱의 형태(단, )임을 알 수 있다. 즉,

  http://www.proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant 

3개의 점 (39, 34), (99, 47), (38, 58)을 지나는 그래프를 Vandermonde 행렬을 이용하여 구하여라.

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

V=

[   1.0   39.0 1521.0]

[   1.0   99.0 9801.0]

[   1.0   38.0 1444.0]

x= (1558.34590164, -54.568579235, 0.396994535519)

         ■

[Solomon W. Golomb(Mathematics Magazine, March 1985)]

 참고 동영상: http://youtu.be/OImrmmWXuvU, http://youtu.be/96Brbkx1cQ4

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/CLA-Week-6-Sec-4-5.html

만일 , 라면 =이다. 따라서 고유값은 3이고, 는 3에 대응하는 고유벡터이다.        ■

임의의 에 대하여 이므로 항등행렬 의 고유값은  하나뿐이고 모든 영 아닌 벡터 는 고유값 1에 대응하는 의 고유벡터이다. ■

 가 고유값 에 대응하는 의 고유벡터이면 영 아닌 임의의 스칼라 에 대하여 도 에 대응하는 의 고유벡터가 된다.

고유값을 구하는 일반적인 방법

이고, 또한 이므로 동차연립방정식 은  아닌 해를 가져야 한다. 따라서 특성방정식(characteristic equation) 이 성립해야 한다. 는 특성다항식(characteristic polynomial)이라 한다.

행렬 의 고유값과 고유벡터를 모두 구하여라.

만일 벡터 에 대하여 를 만족한다고 하자. 그러면

            (1)

그런데 앞서 언급한 대로 이 동차연립방정식은 자명한 해()를 제외한 무수히 많은 해를 가져야 하므로

① 에 대응하는 고유벡터를 구해보자.

   (1)로부터 

② 에 대응하는 고유벡터를 구해보자.

   (1)로부터 

         ■

 행렬의 고유값은 항상 존재하는가?

 즉, 차의 정사각실수행렬 의 개의 고유값은 복소수 범위에서는 항상 존재함을 알 수 있다. 그러나 본 강의에서는 스칼라를 실수로 제한하므로 고유값이 없다고 하는 경우는 실수 범위에서는 없다는 의미이다. 

행렬 의 고유값과 고유벡터를 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/4-BN-char_ploy.html 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

① 의 특성다항식은

x^2 - 2*x – 8

② 따라서 고유값은 다음과 같다.

[x == -2, x == 4]

③ 명령어를 이용하여 고유값을 바로 계산할 수도 있다.

[4, -2]

④ 일 때 고유벡터를 계산하기 위해 를 풀면

[ 1 -1]

[ 0  0]

따라서      

⑤ 일 때 고유벡터를 계산하기 위해 를 풀면

[ 1  1]

[ 0  0]

따라서      

⑥ 명령어를 이용하여 고유벡터를 바로 계산할 수도 있다.

[(4, [(1, -1)], 1), (-2, [(1, 1)], 1)]

            # [고유값, 대표되는 고유벡터(다를 수 있다), 중복도]       ■

행렬 의 고유값과 고유벡터를 구하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/4-VT-eigenvalues.html 

 http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080

① 의 특성다항식은

x^3 - 3*x^2 - 9*x + 27

② 따라서 고유값은 다음과 같다.

[x == -3, x == 3]

③ 명령어를 이용하여 고유값을 바로 계산할 수도 있다.

[-3, 3, 3]                      # 중근까지 표시

④ 일 때 고유벡터를 계산하기 위해 를 풀면

[   1    0  2/3]

[   0    1 -1/3]

[   0    0    0]

따라서        

⑤ 일 때 고유벡터를 계산하기 위해 를 풀면

[ 1 -1 -1]

[ 0  0  0]

[ 0  0  0]

따라서     

                            (단, 와 는 동시에 은 아닌 실수)

⑥ 명령어를 이용하여 고유벡터를 바로 계산할 수도 있다.

[(-3, [(1, -1/2, -3/2)], 1), (3, [(1, 0, 1),(0, 1, -1)], 2)]

            # [고유값, 대표되는 고유벡터(다를 수 있다), 중복도]          ■

 차 삼각행렬 에 대하여 의 주대각선성분은 ()이다. 따라서 의 특성다항식은 이므로 삼각행렬 의 모든 고유값은 의 주대각선성분인 임을 알 수 있다.

삼각행렬 의 특성다항식과 모든 고유값을 구하여라.

이므로 의 모든 고유값은 이다.    ■

 즉, 에 대응하는 의 고유공간은 에 대응하는 의 고유벡터 전체와 영벡터로 이루어진 집합이며, 이는 벡터공간 의 부분공간이다.

에서 주어진 행렬 의 고유값 에 대응하는 고유공간을 각각 구하여라.

의 결과에서

① 일 때 를 풀면

② 일 때 를 풀면

         (, )

                                                   ■

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm  https://youtu.be/o52eayUUOnk

http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm 

 의 치환 은 짝치환인가 홀치환인가?

 다음 행렬식을 구하여라.

       (1)            (2) 

 가 차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하여라.

    (1) 

    (2) 

    (3) 

    (4) 

 행렬이 아래와 같다고 할 때 다음 물음에 답하여라.

   , 

    (1) 임을 보여라.

    (2) 임을 보여라.

    (3) 임을 보여라.

 다음 행렬이 가역행렬이 될 수 있는   값은?

 행렬이 아래와 같다고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

   , 

    (1) 임을 보여라.

    (2) 임을 보여라.

    (3) 임을 보여라.

 다음 행렬의 여인자를 모두 구하여라.

    (1) 

    (2) 

 다음 행렬의 행렬식을 여인자 전개를 이용하여 구하여라.

 (문제 8)의 행렬 의 수반행렬 를 구하여라.

 여인자 전개를 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

    (1) 

    (2) 

[풀이] (2)  및 Sage를 이용한 여인자 행렬 계산

(1/dA)*adjA=

[ -18/133   23/133      2/7  -48/133  -29/133]

[  -30/19    13/19        1    -4/19    -4/19]

[ 999/133 -412/133    -27/7 -129/133   80/133]

[ 164/133  -47/133     -5/7   -6/133   13/133]

[-268/133  106/133      8/7   39/133  -18/133]

이어서 inverse 명령어를 통해 확인

A^(-1)=

[ -18/133   23/133      2/7  -48/133  -29/133]

[  -30/19    13/19        1    -4/19    -4/19]

[ 999/133 -412/133    -27/7 -129/133   80/133]

[ 164/133  -47/133     -5/7   -6/133   13/133]

[-268/133  106/133      8/7   39/133  -18/133]

 다음 선형연립방정식을 크래머 법칙을 이용하여 그 해를 구하여라.

    (1) 

    (2) 

    (3) 

    (4) 

 다음 주어진 문제를 Vandermonde 행렬식을 이용하여 구하여라.

  (1) 두 점 을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

  (2) 세 점 를 지나는 포물선의 방정식 의 계수 를 구하여라.

  (3) 다섯 개의 점 (1, 3), (2, 3), (3, 5), (4, 8), (5, -7)를 지나는 4차 다항식의 방정식 의 계수 를 구하여라.

[풀이] (3) ① Vandermonde 행렬을 다음과 같이 설정하면

            , , 

   라고 쓸 수 있다. ② 행렬 가 역행렬을 갖는지 Sage를 통해 확인한다.

determinant of A=

288

③ Sage를 이용해 양 변에 을 곱하여 를 구한다.

[ -3/4]

[ 22/3]

[-97/4]

[ 98/3]

[  -12]

                       ■

 행렬식을 이용하여 다음을 구하여라.

  (1) 원점에서 점 과 를 잇는 두 변으로 이루어진 평행사변형의 넓이

  (2) 세 개의 벡터 에 의하여 만들어지는 평행육면체의 부피

 다음 행렬들의 고유값과 고유벡터를 구하여라.

  (1) 

  (2) 

[풀이] ① 특성방정식 을 sage를 통해 구하기

character polynomial of A =

x^4 - 118*x^2 - 168*x + 1485

② Sage를 이용해 특성방정식의 해(고유벡터)를 구한다.

[x == 11, x == -9, x == -5, x == 3]

④ 여기서 구한 결과를 각각 x1, x2, x3, x4라고 하면

A = matrix(QQ, 4, 4, [-3, 0, -2, 8, 0, 1, 4, -2, -4, 10, -1, -2, 6, -4, -2, 3])

x1 = 11

x2 = -9

x3 = -5

x4 = 3

print (x1*identity_matrix(4)-A).echelon_form()

print 

print (x2*identity_matrix(4)-A).echelon_form()

print 

print (x3*identity_matrix(4)-A).echelon_form()

print

print (x4*identity_matrix(4)-A).echelon_form()

[    1     0     0 -9/13]

[    0     1     0  7/13]

[    0     0     1 11/13]

[    0     0     0     0]

[ 1  0  0  2]

[ 0  1  0 -1]

[ 0  0  1  2]

[ 0  0  0  0]

[    1     0     0   7/5]

[    0     1     0   7/5]

[    0     0     1 -13/5]

[    0     0     0     0]

[ 1  0  0 -1]

[ 0  1  0 -1]

[ 0  0  1 -1]

[ 0  0  0  0]

⑤ Sage 명령어를 이용해 확인하기

[  (11,  [(1, -7/9, -11/9, 13/9)], 1),    (3, [(1, 1, 1, 1)], 1),

   (-5, [(1, 1, -13/7, -5/7)], 1),         (-9, [(1, -1/2, 1, -1/2)], 1)]

고유값 =11, =-9, =-5, =3 이고 이에 대응하는 고유벡터는

       , , ,  이다.   ∎

 아래 행렬 에 대해 왜 인지를 설명하여라.

 두 정사각행렬 가 가역인 행렬 에 대하여 를 만족하면 임을 보여라.

[풀이]   ()

 아래 행렬식에 대한 간단한 공식을 찾아라.

 인 차 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하여라.

 가  크기의 행렬이라 하고, 만일

   라고 하자. 다음 물음에 답하여라.

  (1) 를 계산하여라. 이 값이 와 어떤 관계가 있는가?

  (2) 를 구하여라.

 크래머 법칙을 이용하여 다음 점을 지나는 3차 다항식 를 결정하여라.

[풀이] 주어진 점을 식에 대입 하면

              =>     

     연립방정식을 Sage로 풀어보면

  결과는 . 즉,  이고 . 

 행렬 의 특정다항식이 일 때, 행렬 의 고유값을 구하여라.

[풀이] 대수학의 기본정리에 의해 특성다항식은 4차 정사각행렬이다.

일반적으로 특성다항식은 이므로, 일반성을 잃지 않고 행렬 를 상삼각행렬이라 하자. 그러면 주대각선의 성분이 -1, 1, 2, 2임을 알 수 있다.

  즉, 이므로, 라 할 수 있다.

의 고유값은 (각각 대수적 중복도가 2인) 1과 4 이다.    ■

 행렬 의 각각의 고유값에 대응하는 고유공간들을 구하고 그들이 좌표평면에서 기하학적으로 서로 직교임을 설명하여라.

[풀이]   이고 특성 방정식은 

      =>  =>  이다.

1)  일 경우, ,   즉 

따라서  이라는 식을 얻게 된다. .

 에 대응하는 의 고유공간  은 .

2)  일 경우,  , 

따라서  을 얻게 된다.  .

 에 대응하는 의 고유공간  은 .

 과  에서 임의의 벡터 = 와  = 를 골라서 내적을 구하면

<, > =< , > =  =  

즉,  과  에서 임의의 벡터들의 내적이 0이므로 ,  는 직교한다.

     즉, 두 고유공간  과  는 직교인 벡터공간이다.   ■  

 아래 행렬의 특성방정식을 구하여라. 그리고 그 방정식의 근을 공학적 도구를 이용하여 구하여라.