벡터공간 은 기저(basis)를 가집니다. 그리고 기저는 벡터공간을 이해하는 열쇠(key)입니다. 또 벡터공간의 부분집합인 기저는 무수히 많은 원소를 갖는 여러 벡터공간들의 크기를 비교하는 도구가 됩니다. 벡터공간의 크기와 구조에 대한 이해는 개념의 시각화와 데이터들의 효과적인 이용이 가능하게 해 줍니다.

이 장에서는 먼저 기저와 차원을 정의하고 그 성질에 대하여 학습하겠습니다. 그리고 행렬의 기본공간인 열공간, 행공간, 영공간에 대해서 학습하고 그 공간들 사이의 관계인 차원정리를 유도할 것입니다. 그리고 1장에서 정의한 에서의 정사영을 으로 확장하고 선형변환으로서의 정사영에 대응하는 표준행렬을 생각하겠습니다. 이는 Gram-Schmidt 정규직교화 과정과 QR-분해의 이론적 기초가 됩니다.

에 대한 모든 기저의 원소 개수는 항상 개이지만, 기저의 모양은 다양합니다. 의 모든 (nontrivial) 부분공간은 기저를 가진다는 것을 보이고, 이 기저로부터 정규직교기저를 찾는 방법에 대하여 알아보겠습니다. 표준기저가 아닌 다른 기저에 대한 (주어진) 벡터의 좌표벡터 표현을 소개하고 이어서 이 두 표현 사이를 연결시켜주는 행렬을 알아보겠습니다.

 

 

 참고 동영상: http://youtu.be/or9c97J3Uk0, http://youtu.be/172stJmormk  

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-9-sec-7-1.html

 

표준기저는 배웠고, 이제 차원의 개념을 설명할 것이다. 우리는 공간에 시간의 축을 하나 보태어 4차원이라는 개념을 배웠다. 그렇다면 수학적으로 벡터공간의 차원은 어떤 의미를 갖는가? 이 절에서는 을 생성하는 일차독립 집합으로부터 기저와 차원을 정의하고, 그 성질을 학습한다.

벡터공간의 기저

		[기저]
	의 부분집합 가 아래 두 조건을 만족하면 를 의 기저(basis)라 한다.   (1) 가 일차독립 (2)

 

(1) 를 상의 원점을 지나는 직선(line)이라 하면, 의 임의의 영 아닌 벡터는
   의 기저를 이룬다.

(2) 를 상의 원점을 지나는 평면(plane)이라 하면, 의 임의의 서로 상수배가 아닌 영 아닌 두 벡터는 의 기저를 이룬다.                               ■

       

 

 

의 기본단위벡터 에 대하여 라 할 때, 는 일차독립이고 를 생성하므로 는 의 기저이다.     ■

 

 일반적으로 라 정의하면 집합 는 의 기저이다. 이 를 의 표준기저(standard basis)라고 한다.

 

 

상의 벡터들의 일차독립성을 보이는 방법

 

 

    

 

 는 들을 열벡터(column vector)로 가지는 행렬, 라 하자. 그렇다면 벡터들이 일차독립임을 보이기 위해서는 동차연립방정식 이 유일한 해 을 가져야 한다. 특히 일 경우 이면 유일해를 갖는다.

	7.1.1
벡터공간 에서 개의 (열)벡터     이 기저(일차독립)일 필요충분조건은 다음과 같다.

 임의의 에 대하여

         

     

 

       이므로 다음 연립방정식을 얻는다. 즉,

 

       이 자명한 해 , 즉  만을 갖기 위한 필요충분조건은 이다. 그러므로 이 일차독립일 필요충분조건은 이다.            ■

 

 

위의 행렬식을 이용한 일차독립 판정법을 이용하여 의 세 벡터

에 적용하면 이므로 는 일차독립임을 알 수 있다.  □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/7-TF-linearly-independent.html 

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

9                                                                                   ■

 

Sage명령어를 사용하여 일차독립인지 아닌지 직접 구할 수도 있다.

 []  

 

외에 의 벡터 를 원소로 하는 집합 도 의 기저임을 보여라.

가 의 기저임을 보이려면 가 일차독립이고 를 생성함을 보이면 된다.                                                                              □

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

1                                                                       ■

 

 위에서 행렬식이 0이 아니므로 는 일차독립이다. 이제 가 를 생성함을 보이자. 의 임의의 벡터 를 라 놓으면,

            

                    

  이므로 에 관한 연립방정식

                                                                    (1)

  을 얻는다.

  따라서 가 를 생성함을 보이려면 위 연립방정식 (1)이 항상 해를 가짐을 보이면 된다. 실제로, 연립방정식 (1)의 계수행렬 은 가역행렬이므로 항상 해를 갖는다. 따라서 는 의 기저이다.

	7.1.2
집합 이 의 기저일 때, 의 개의 벡터들의 집합 은 항상 일차종속이다. 그러므로 가 일차독립이면 언제나 이다.

 

 http://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/chap7/Page6.htm

가 의 기저이므로 집합 에 속하는 모든 벡터는 의 일차결합으로 표시된다. 즉 에 대하여

 ,                              (2)

이다. 이제 임의의 에 대하여,

이라 하면 식 (2)로부터 다음을 얻는다.

이 일차독립이므로

즉, 다음 연립방정식을 얻는다.

                                                        (3)

  식 (3)은 개의 미지수 을 갖고 개의 식으로 된 동차연립방정식이다. 그런데 이므로 동차연립방정식 (3)은 자명하지 않은 해를 갖는다. 따라서 는 일차종속이다.   ■

 

 

	7.1.3
집합 과 이 의 기저이면 이다.

 의 기저는 무수히 많다. 그러나 각 기저에 속하는 벡터의 개수는 항상 같다.

		[차원]
	집합 가 의 한 기저일 때, 에 속하는 벡터의 개수를 의 차원(dimension)이라 하며 로 나타낸다.

 

 이다. 만일 부분공간 가 영부분공간 이라면, 이다.

 

	7.1.4
안의 개 벡터들의 집합 에 대하여 다음이 성립한다.    (1) 집합 가 일차독립이면 는 의 기저이다.  (2) 집합 가 을 생성하면 (즉, 이면), 는 의 기저이다.

3차원 공간 안의 세 개의 벡터 는

 

이므로 은 일차독립이다.

따라서 는 의 기저이다.                  ■

 

	7.1.5
을 의 부분공간 의 기저라 하면, 의 모든 벡터 는 기저 벡터들의 유일한 일차결합으로 표현된다.

가 를 생성하므로 의 임의의 원소 는 의 일차결합으로 표현할 수 있다. 이제

이면서, 라 하자.

       두 식을 빼면

       이다. 가 일차독립이므로 이다.

       따라서 는 유일하다.             ■

이라 하자. 그러면

 

이다. 그러나

또는

으로 표현가능하다. 이유는 집합 는 의 기저가 아니기 때문이다.          ■

 참고 동영상: http://youtu.be/8P7cd-Eh328

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-9-sec-7-2.html

 

 

하나의 행렬은 행공간, 열공간, 영공간, 고유공간 등 네 가지의 중요한 부분공간을 갖는다. 이 부분공간들은 행렬 와 관련된 다양한 대수적, 기하학적 성질, 선형연립방정식의 해공간들을 규명하는 도구가 된다. 이 절에서는 영공간의 기저를 찾는 방법과 행공간, 열공간 사이의 관계에 대하여 알아본다.

 

 

고유공간과 해공간 (null space)

 

 

 

		[해공간, 영공간]
	행렬 의 고유값 에 대한 고유공간 은 의 부분공간이다. 또한 동차연립방정식 의 해집합도 의 부분공간이다. 이를 동차연립방정식 의 해공간(solution space) 혹은 행렬 의 영공간(null space)이라 하며 기호로 Null로 나타낸다.

 

해공간의 기저와 차원

 

 Gauss-Jordan 소거법을 이용하여 행렬 을 선형연립방정식의 첨가행렬 의 RREF라 하고 행렬 는 첫 행부터 개의 영이 아닌 행을 갖는다고 하자.

 

  (1) 이면 의 해는 만을 갖는다. 따라서 해공간의 차원은 이다.

  (2) 이면 (필요한 경우 열을 교환하면—변수의 위치만 변경하면 되므로) 일반성을 잃지 않고

  라고 할 수 있다. 그러면, 선형연립방정식은 다음과 동치이다.

  즉, 은 개의 자유변수이다. 따라서 임의의 실수 에 대하여 이라 하면, 연립방정식의 일반해는 다음과 같이 개 벡터들의 일차결합으로 표현이 가능하다.

 

 

  여기서, 이 임의의 실수이므로

  도 연립방정식의 해이다. 따라서 위의 모든 개의 벡터들의 일차결합 해는 

  로 표현되므로 는 의 해공간을 생성한다. 또, 가 일차독립임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 는 이 해공간 의 기저이고 이 해공간의 차원은 이다.

 

		[영공간의 차원]
	행렬 에 대하여 의 해공간, 즉 의 영공간의 차원을 nullity()라고 나타낸다. 즉, dim Null()nullity()이다.

 

다음 행렬 에 대하여 의 해공간의 기저와 차원을 구하여라.

    

의 첨가행렬 의 RREF를 구하면 다음과 같다.

따라서 일반해는

   

이므로 해공간의 기저와 차원은 각각 다음과 같다.

   , nullity() 2       ■

다음 동차연립방정식의 해공간의 기저와 차원을 구하여라.

     

Sage를 이용하여 연립방정식의 계수행렬 의 RREF를 구하면

[1 3 0 5]

[0 0 1 2]

[0 0 0 0]

이므로 이 연립방정식은 다음과 동치이다.

   

와 가 자유변수이므로, 개의 임의의 실수 에 대하여 라 하면 이 방정식의 일반해는

   

이므로 해공간의 기저 와 차원은 각각 다음과 같다.

   , 해공간의 차원 nullity()      □

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

① 해공간의 기저 구하기

Free module of degree 4 and rank 2 over Integer Ring

Echelon basis matrix:

[ 1  3  4 -2]

[ 0  5  6 –3]

② 해공간의 차원 구하기

2                 ■

행공간과 열공간

   

 

	행렬 에 대하여 의 각 행으로 이루어진 개의 벡터     과 의 각 열로 이루어진 개의 벡터     을 각각 의 행벡터(row vector), 열벡터(column vector)라고 한다. 이 행벡터 들에 의해서 생성된 의 부분공간 즉,     을 의 행공간(row space), Row로 나타내고, 열벡터 에 의해 생성된 의 부분공간 즉,     을 의 열공간(column space)이라 하고, Col로 나타낸다. 그리고 행공간의 차원을 의 행계수(row rank), 열공간의 차원을 의 열계수(column rank)라 하고, 각각 , 로 나타낸다. 즉,                dim Row,dim Col

      

	7.2.1
두 행렬 가 행동치이면 이들은 같은 행공간을 갖는다.

 

 http://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/chap7/Page16.htm

 

 따라서 행렬 의 RREF에 나타나는 영이 아닌 행벡터들은 의 행공간의 기저를 이룬다. 이 정리는 열에 대해서도 성립한다.

 

집합 가 다음과 같을 때, 의 부분공간 의 기저를 찾아라.

는 에 있는 벡터들을 행으로 갖는 행렬

의 행공간 Row()과 같으므로 정리 7.2.1에 의해 의 RREF

의 행공간과 같다. 따라서 의 영 아닌 행벡터들의 집합

은 의 기저이다.                                                         ■

 

http://sage.skku.edu or http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

Free module of degree 5 and rank 3 over Integer Ring

Echelon basis matrix:

[  1   0   7   0 -39]

[  0   1  -3   0  31]

[  0   0   0   1  -7]              ■

 

 

다음 행렬 의 열공간의 기저를 찾아라.

의 열공간은 의 행공간과 같으므로 정리 7.2.1에 의해 의 RREF 의 행공간과 같다.

따라서 은 의 열공간의 한 기저이다.                         ■

http://sage.skku.edu or http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

Free module of degree 4 and rank 3 over Integer Ring

Echelon basis matrix:

[ 1  0  0 -1]

[ 0  1  0  1]

[ 0  0  1  0]

 

	7.2.2
임의의 행렬 에 대하여 의 행계수와 열계수는 같다.

 이 계수를 행렬 의 계수(rank)라 하고 아래와 같이 쓴다.

 

 

 

 

		주어진 행렬의 기본 공간들 사이의 관계
	● Col(), Col()=Row(, ● Row()Null(), Null()Row(), ● Col()Null( ), Null( )Col()

 

에 대하여 이므로 은 의 hyperplane이다.            ■

(1) 에 대하여

 

은 벡터 에 수직인 원점을 지나는 상의 직선이다.

(2) 라 하자.  그러면

은 벡터 에 수직인 원점을 지나는 상의 평면이다.      ■

 참고 동영상: http://youtu.be/ez7_JYRGsb4, http://youtu.be/bM-Pze0suqo  

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-9-sec-7-3.html

 

 

우리는 행렬 의 영공간, 행공간, 열공간 등에 대하여 알아보았다. 이 공간들의 차원과 행렬 의 크기와의 관계에 대하여 알아본다.

계수(Rank)

		[계수(rank)]
	행렬 의 행공간이나 열공간의 차원을 간단히 의 계수(rank)라 하고, 로 나타낸다.

 

   이라 하면 는 아래의 모양이 된다. 따라서 rank()이고, nullity()이다.

 

 

	7.3.1 [행렬의 차원정리, Rank-Nullity 정리]
임의의 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.   rank() nullity()

 

 Rank-Nullity 정리는 다음과 같이 선형변환의 형태로 쓸 수 있다. 선형변환 의 표준행렬이 이라면

,

 

이므로

 

의 RREF는 이므로 rank()이고 이다. 따라서 의 해공간의 차원은 nullity()이다.                ■

 

 

 

다음의 주어진 행렬 의 rank와 nullity를 구해보자.

행렬 의 RREF는

[1 0 3 7 0]

[0 1 1 3 0]

[0 0 0 0 1]

[0 0 0 0 0]

이므로 rank()이고 정리 7.3.1에 의해 이다.       ■

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/7-B2-rank-nullity.html 

 http://sage.skku.edu

3

2                                                                       ■

 

	7.3.2
연립방정식 가 해를 가질 필요충분조건은 다음과 같다.

 

, , 라 하면 연립방정식 는

                                           (1)

       과 동치이므로 다음이 성립한다.

       가 해를 갖는다. 방정식 (1)을 만족하는 이 존재한다.

                              는 의 열벡터들의 일차결합이다.

                              Col

                                                                   ■

 

 

연립방정식 은 으로 나타낼 수 있고,

2

2

에서 이므로 정리 7.3.2에 의하여 해가 존재함이 확인된다.      ■

		[hyperplane]
	의 영 아닌 벡터라 하자.    을 의 hyperplane이라 한다. (이는 의 해공간으로도 이해할 수 있다.)

 nullity()이다.

 

	7.3.3
를 의 차원 부분공간이라 하면, 인 영 아닌 벡터 이 존재한다.

이므로 차원정리에 의해 이어야 한다. 그러므로

       인 영아닌 벡터 가 존재한다.

       즉,          ■

 참고 동영상: http://youtu.be/8P7cd-Eh328  http://youtu.be/bM-Pze0suqo

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-9-sec-7-4.html

 

모든 행렬 의 행계수와 열계수는 언제나 같으므로 7.3절에서 이를 행렬 의 계수(rank)로 정의하였다. 이제 계수와 관련된 정리들 사이의 관계를 알아보자.

	7.4.1 [차원의 기본정리]
임의의 행렬 에 대하여 dim Row()dim Col()이다.

http://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/chap7/Page26.htm

       http://matrix.skku.ac.kr/nla/rank-review/Reciew-rank.htm       ■

	7.4.2
임의의 행렬 에 대하여 rank() ≤ min {}

dim Row()≤, dim Col()≤이고 rank()=dim Row()dim Col()이므로

 rank()≤min {}                    ■

 

	7.4.3 [Rank 정리]
임의의 행렬 에 대하여 다음이 성립한다.   (1) dim Row()dim Null()의 열의 개수(즉 rank()nullity()) (2) dim Col()dim Null()의 행의 개수(즉 rank()nullity())

 

(1)은 정리 7.3.1의 행렬의 차원정리에 의해 바로 유도되며,

           (2)는 RowCol이고 rankrank이므로 (1)번 식에서 대신 를 대입하면 얻어진다.     ■

 

	7.4.4
행렬 가 크기 인 정사각행렬일 때, 가 가역행렬일 필요충분조건은 다음과 같다. rank()

 

행렬 가 가역행렬이면 은 자명한 해만을 가지므로, Null(),

즉 nullity()이므로 행렬의 차원정리에 의하여 이다.             ■

다음 행렬의 계수와 nullity를 구하여라.

   

가우스 소거법을 이용하면,

      
                                  

                             RREF()

이므로 선행성분의 개수이고 행렬의 차원정리에 의해 의 열의 개수가 4이므로 즉, , 이다.

 http://sage.skku.edu

 3

 1              ■

 

	7.4.5
임의의 행렬 , 에 대하여 다음이 항상 성립한다.   (1) Null()Null() (2) Null()Null() (3) Col()Col() (4) Row()Row()

(1)번만 증명하기로 한다.

                

                                                                         ■

 

	7.4.6
rank()≤min{rank(), rank()}

 

 

	7.4.7
임의의 행렬 에 가역행렬 를 곱하면 다음 등식이 성립한다.   rank()rank()rank()

 가역행렬을 곱하는 경우에는 rank를 감소시키지 않는다.

 

	7.4.8
임의의 행렬 가 rank()이라 하자.   (1) 의 모든 부분행렬 는 rank()을 만족한다. (2) 는 계수(rank)를 로 가지는 부분행렬을 하나 이상 가진다.

 

(1) 임의의 부분행렬 에 대하여 이므로

                

            (2) 개의 일차독립인 행들이 있고, (즉, 의 기저) 개의 일차독립인 열들을 에서 뽑   아보자(즉, 의 기저). 이것들로부터 대응하는 크기의 부분행렬을 찾으면 이것이 rank가 인 부분행렬이 된다.                ■

가역행렬의 동치정리

7.4.9 [가역행렬의 동치정리]

행렬 가 차 정사각행렬일 때 다음은 동치이다.  (1) 는 가역이다.  (2)  (3) 는 과 행동치이다.  (4) 는 기본행렬의 곱으로 표현된다.    *(5) 의 (유일한) -분해(factorization)가 존재한다. 즉 치환행렬 가 존재하여 가 성립한다(여기서 은 주대각선성분이 인 하삼각행렬, 는 주대각선성분이 모두 이 아닌 대각선행렬, 는 주대각선성분이 인 상삼각행렬).  (6) 는 모든 벡터 에 대하여 유일한 해를 갖는다.  (7) 은 자명한 해 만을 갖는다.  (8) 의 열벡터들이 일차독립이다.  (9) 의 열벡터들이 을 생성한다. *(10) 는 left inverse를 갖는다. 즉 적당한 행렬 가 존재하여 이다.  (11) 이다.  (12) 의 행벡터들이 일차독립이다.  (13) 의 행벡터들이 을 생성한다. *(14) 는 right inverse를 갖는다. 즉 적당한 행렬 가 존재하여 이다.  (15) 는 단사이다.  (16) 는 전사이다.  (17) 은 의 고유값이 아니다.  (18) 이다.

 다음 그림에 제시된 동치 사이클 중 일부만 증명한다.

 

①   (10) (7) (8) (11) (10)

(10) (7): 는 left inverse, 즉 적당한 행렬 가 존재하여 가 성립한다고 가정하자. 그리고 를 의 해라고 하자. 이므로

이 성립한다. 따라서 는 자명한 해 만을 갖는다.

(7) (8): 은 자명한 해 만을 갖는다고 가정하자. 의 번째 열벡터를 , 라 하면

                  

이므로 , 즉 의 열벡터들은 일차독립이다.

(8) (11): 의 열벡터들이 일차독립이라고 가정하자. 그러면 는 일차독립인 의 열벡터들의 최대개수이므로 이다.

(11) (10): 이라고 가정하자. 그러면 (행계수와 열계수가 같으므로) 행벡터들이 일차독립이고, 를 번째 원소가 이고 그 밖의 원소는 인 차원 벡터라고 하면 다음과 같은 선형연립방정식

, 

은 rank()rank이므로 모든 에 대하여 consistent가 된다. 를 이 방정식의 해라 하면 는 의 left inverse가 된다.

②   (1) (6) (14) (2) (1)

(1) (6): 는 가역이라 가정하면 역행렬 가 존재한다. 그리고 벡터 에 대하여

성립하므로 는 해 를 갖는다. 또한 의 임의의 해를 라 하면

이므로 는 유일한 해를 갖는다.

(6) (14): 는 모든 벡터 에 대하여 유일한 해를 갖는다고 가정하자. 를 번째 원소가 이고 그 밖의 원소는 인 차원 벡터라고 하면 다음과 같은 선형연립방정식

, 

은 가정에 의해 역시 해를 갖는다. 를 이 방정식의 해라 하면 는 의 right inverse가 된다.

(14) (2): 는 right inverse, 즉 적당한 행렬 가 존재하여 가 성립한다고 가정하자. 그러면

에서 이다.

(2) (1): 이라고 가정하자. 그러면 행렬 가 존재하여 다음이 성립한다.

따라서 는 가역이다.   ■

 참고 동영상: http://youtu.be/Rv1rd3u-oYg 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-10-sec-7-5.html

 

1장에서는 눈으로 확인이 가능한 벡터공간 에서의 정사영(projection)을 정의하였다. 이제 정사영의 개념을 으로 확장하고 선형변환으로서의 정사영에 대응하는 표준행렬을 생각한다. 이는 Gram-Schmidt 정규직교화 과정과 QR-분해의 이론적 기초가 된다.

상의 정사영

                                 

 

상의 (일차원 부분공간으로의) 정사영

	7.5.1 [정사영]
상의 영 아닌 벡터 에 대하여, 모든 는 다음과 같이 유일하게 표현 가능하다.     여기에서 는 벡터 의 상수배이고 는 에 수직인 벡터이다. 또한 위의 벡터 는 다음과 같이 쓸 수 있다. ,

 

 위의 정리에서 벡터를 의 상의 정사영(또는 직교사영, orthogonal projection)이라 하며 로 표기하고 를 직교성분(orthogonal component)이라 한다.

 

		[상의 정사영(orthogonal projection)]
	선형변환(연산자) 을 다음과 같이 정의하자.     이것을 벡터 의 에 의해 생성되는 부분공간 위로의 정사영(orthogonal projection of onto span)이라 한다.

 

 는 선형변환이 됨을 쉽게 확인할 수 있다.

  (http://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/chap7/Page33.htm)

 

 

	7.5.2
를 상의 아닌 열벡터라고 하자. 그러면 선형변환     의 표준행렬은 다음과 같다.   (이때, 는 대칭행렬이며 이다.)

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/least-squares-determinants-and-eigenvalues/projections-onto-subspaces/MIT18_06SCF11_Ses2.2sum.pdf 

 

위의 정리를 이용하여 상에서 주어진 점을 원점을 지나는 직선 위로 정사영하는 변환에 대한 표준행렬 를 구하여라.

벡터 의 에 의해 생성되는 부분공간 위로의 정사영을 구하는 문제이다. 따라서 를 위에 있는 크기 1인 단위벡터 로 고르면 된다. 즉,

    이고

이다. 그러므로 앞의 정리에서

     ■

벡터 에 의해 생성되는 의 직선에 대한 정사영 의 표준행렬 를 구하여라.

,

이므로,            ■

 

상의 일반적인 부분공간으로의 정사영

	7.5.3
를 의 부분공간이라 하면 의 모든 벡터 는         로 유일하게 표현된다. 여기서 는 에 수직인 벡터들의 집합이다.

,

 

http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/417/OrthoProj.pdf

	7.5.4
를 의 부분공간이라 하고, 의 열벡터들이 의 기저(따라서 일차독립)를 이룰 때 모든 에 대하여     이다.

http://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/chap7/Page35.htm

 

평면 상의 정사영의 표준행렬을 구하여라.

평면 의 일반해는

    ()이다.

따라서 이고, 표준행렬은 이다.

   이고 이므로

     

 

 http://sage.skku.edu

[20/21  4/21 -2/21]

[ 4/21  5/21  8/21]

[-2/21  8/21 17/21]          ■

 

 

 정사영(orthogonal projection)의 표준행렬 는 대칭이고 idempotent()이다.

 

 

 

		두 벡터의 정사영(컴퓨터 시뮬레이션)
	● http://www.geogebratube.org/student/m9503

 

 참고 동영상: http://www.youtube.com/watch?v=BC9qeR0JWis

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-10-sec-7-6.html

 

 

가 해를 갖는 경우 해를 구하는 방법을 앞에서 학습하였다. 여기서는 정사영을 이용하여 해가 존재하지 않는 경우에도 가장 근사한 해를 찾는 방법을 소개한다.

최소제곱직선 with GeoGebra

<컴퓨터 시뮬레이션> http://www.geogebratube.org/student/m12933

     

 

 

최소제곱직선 with Sage

<컴퓨터 시뮬레이션> http://matrix.skku.ac.kr/2012-album/11.html

     

 참고 동영상: http://youtu.be/gt4-EuXvx1Y, http://youtu.be/EBCi1nR7EuE 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-10-sec-7-7.html

 

 

에 대한 모든 기저의 원소 개수는 항상 개이지만, 기저의 모양은 다양하다. 이 절에서는 의 모든 (nontrivial) 부분공간은 기저를 가진다는 것을 보이고, 이 기저로부터 정규직교기저를 찾는 방법에 대하여 알아본다.

 

	의 부분공간 중 과 은 자명한(trivial) 부분공간이라 한다. 에 대한 모든 기저의 원소 개수는 항상 개(따라서 차원이 )이지만, 기저의 모양은 다양하다. 의 모든 (nontrivial) 부분공간은 정규직교기저를 갖는다.

 

직교집합과 정규직교집합

 

 

 

	의 벡터 에 대하여     라 하자. 이때, 의 서로 다른 임의의 두 벡터가 모두 직교하면 를 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 특히, 직교집합 에 속하는 벡터가 모두 크기가 1인 경우 를 정규직교집합(orthonormal set)이라고 한다.

 위 정의를 간단히 기호화하여 표현하면 다음과 같음을 알 수 있다.

 

      : 직교집합         

      : 정규직교집합      ( Kronecker의 델타)

 

(1) 의 표준기저 는 정규직교집합이다.

(2) 에서 라 하면, 은 직교집합이지만 정규직교집합은 아니다.

(3) 에서 라 하면 는 정규직교집합이다.     ■ 

직교성과 일차독립성

	7.7.1
의 영 아닌 벡터들의 집합 가 직교집합이면 는 일차독립이다.

 임의의 에 대하여

       이라 하면, 각 (, , , )에 대하여

       이다. 즉,

       이때, 이면 이므로 위 식으로부터 다음을 얻는다.

       그런데 이므로 이 되어

       이다. 따라서 는 일차독립이다.          ■

직교기저와 정규직교기저

		[정규직교기저]
	의 기저 가 직교집합이면 직교기저(orthogonal basis), 정규직교집합이면 정규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.

에서 (1)과 (3)에 있는 집합은 의 정규직교기저이고, (2)에 있는 집합은 의 직교기저이다.

  

 

 

	7.7.2
의 정규직교기저인 집합 에 대하여,    (1) 의 임의의  벡터 는 다음과 같이 표현된다.              여기서, 이다.   (2) 만일 가 의 직교기저이면, 이 된다.

(1)번만 증명하기로 한다. 가 의 기저이므로 임의의 는

       로 표현되고, 각 에 대하여

          

                이다.

       그런데 가 정규직교기저이므로 이다.

       따라서            ■

 

를 의 (3)에 있는 의 정규직교기저

   

의 일차결합으로 표시하여라.

라 하면 정리 7.7.2에 의하여

이므로 , ,

       ■

 

 

	(1) 만일 을 의 정규직교기저라면 이므로 의     로의 정사영은 다음과 같다.       (2) 만일 집합  이 의 (정규직교기저가 아니라, 단지) 직교기저라면    의 모양은 아래와 같아진다.

의 두 벡터 로 이루어진 정규직교집합 에 의하여 생성되는 부분공간을 라 하자. 벡터 의 위로의 직교정사영과 에 관한 의 직교성분을 구하여라.

            

또, 에 관한 의 직교성분은

            ■

Gram-Schmidt 정규직교화 과정

 

 

 

	7.7.3
집합 을 의 임의의 기저라 하자. 그러면 로부터 얻어지는 정규직교기저가 존재한다.

[Gram-Schmidt 정규직교화 과정]

먼저 의 기저 로부터 직교집합 을 다음과 같은 단계로 계산한다.

 

[단계 1] 이라 한다.

[단계 2] 에 의하여 생성되는 부분공간을 이라 하고

         

         로 한다.

[단계 3] , 에 의하여 생성되는 부분공간을 라 하고

        로 한다.

[단계 4] 에서부터 까지는 마찬가지 방법으로

     

위의 단계로부터 얻어지는 은 서로 수직인 직교집합이고, 각각의 크기를 로 하면, 즉 라 정의하면 집합 은 의 정규직교기저이다. ■

 

 

		Gram-Schmidt 정규직교화 과정(컴퓨터 시뮬레이션)
	● http://www.geogebratube.org/student/m58812

 

, 일 때 위의 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 정규직교기저 를 구하여라.

먼저 위의 직교화 과정을 이용하여 먼저 , 를 구하면 다음과 같다.

[단계 1]

[단계 2]

그러므로 ,                ■

 

일 때, Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 의 기저 로부터 의 정규직교기저 를 구하여라.

먼저 직교화 과정을 이용하여 를 계산하면,

[단계 1]

[단계 2]

[단계 3]

           

그러므로 를 각각 정규화하면,

         

         

         

그러므로             □

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

① 직교기저 찾기

[   1    1    0]

[-1/2  1/2    2]

[-2/9  2/9 –1/9]

② 정규직교기저 찾기(직교기저를 정규화)

# 정규화한 직교기저를 행으로 하는 행렬

                                                                         

[   1/2*sqrt(2)     1/2*sqrt(2)              0]

[-1/3*sqrt(1/2)   1/3*sqrt(1/2)  4/3*sqrt(1/2)]

[          -2/3            2/3           -1/3]

따라서 정규직교기저는

이다.

실제로 다음과 같이 의 벡터들을 행으로 이루어진 행렬이 직교행렬인지 확인해볼 수 있다.

③ 직교행렬임을 확인

[1 0 0]         [1 0 0]

[0 1 0]         [0 1 0]

[0 0 1]         [0 0 1]                                                ■

 

일 때, Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 이용하여 집합 를 기저로 갖는 의 부분공간 의 정규직교기저 를 구하여라.

 

          ■

 참고 동영상: http://www.youtube.com/watch?v=crMXPi2lgGs 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-10-sec-7-8.html

 

 

행렬 가 개의 일차독립인 열들을 가지면, 여기에 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 적용하여 얻은 정규직교벡터들을 열로 하는 행렬 를 만들어 행렬 (여기서 은 상삼각행렬)로 분해가 된다. -분해는 수치적으로 선형연립방정식, 최소제곱 문제를 풀거나 고유값 및 고유벡터를 구하는데 널리 이용된다. 이 절에서는 -분해를 간단히 소개한다.

 

	● http://matrix.skku.ac.kr/sglee/03-Note/QR-Decomp.htm

 

 

 참고 동영상: http://youtu.be/M4peLF7Xur0,  http://youtu.be/tdd7gbtCCRg

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-10-sec-7-9.html

 

유한차원 벡터공간에서 기저의 개념은 좌표계의 개념과 밀접한 관계가 있다. 지금까지는 에서 표준기저에 대한 좌표벡터만 다루어왔다. 이 절에서는 표준기저가 아닌 다른 기저에 대한 (주어진) 벡터의 좌표벡터 표현을 소개한다. 이어서 이 두 표현 사이를 연결시켜주는 행렬을 알아본다.

 

 집합 이 의 기저이면 에 속하는 모든 벡터 는 이 기저에 관하여 다음과 같이 유일하게 표현되는데, 이때 를 벡터 의 좌표로 이해할 수 있다.

 

                                    (1)

		[좌표벡터]
	식 (1)의 스칼라 을 순서기저(ordered basis) 에 관한 벡터 의 좌표(coordinates)라 한다. 또한 의 벡터   을 순서기저 에 관한 의 좌표벡터(coordinate vector)라 하며, 로 나타낸다.

 

의 벡터 는 의 표준기저 에 대하여

이므로 이다.          ■

 

일 때, 의 기저 에 관한 의 좌표벡터 를 구하여라.

 

          

이므로 이다.

이 연립방정식을 풀면

               ■

 

벡터를 그 기저에 대한 좌표벡터로 표현하는 것은 결국 연립방정식을 푸는 문제이다.

 

	7.9.1
집합 가 벡터공간 의 기저일 때, 의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.   (1) (2)

 

 일반적으로 다음이 성립한다.

   

기저변환문제

두 집합 과 을 차원 벡터공간 의 서로 다른 순서 기저라 하자. 이때 와 에 관한 의 두 좌표벡터 와 사이의 관계를 생각해보자.

 

 

 이라 하면, 에 관한 의 좌표벡터는

  이고, 또한 에 관한 의 좌표벡터 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

  여기서, 에 관한 의 좌표벡터를 라 하고, 행렬 를

  라 하면 다음이 성립한다.

 

 

               

                      

 

  즉,                                                                  (2)

 위의 식 (2)에서 행렬 는 좌표벡터 를 좌표벡터 로 변환시키는 역할을 한다. 이때, 행렬 를 순서기저 에서 로의 전이행렬(transition matrix)이라 하고 로 쓰기로 한다. 즉, 이다.

 이것을 기저변환(Change of Basis)이라 하고, 다른 기저를 사용하면 주어진 벡터의 물리적 위치는 그대로 유지되지만, 대응하는 좌표가 달라진다. 이는 아래 그림과 같이 이해할 수 있다.

       

집합 가 의 표준기저이고 일 때, 두 기저 , 에 관하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 기저 에서 기저 로의 전이행렬 를 구하여라.

(2) 일 때, 좌표벡터 를 구하여라.

(3) 일 때, 식 (2)가 성립함을 보여라.

(1) 이므로 기저 에 관한 의 좌표벡터를 각각 구한다.

   이므로 이다.

   따라서 .

(2)

(3) 이고, 또 이므로

   이다.

   따라서          ■

, ,

, 일 때, 의 두 기저 , 에 대하여 전이행렬 를 구하여라.

이므로 순서기저 에 관한 의 좌표벡터를 각각 구한다.

 

라 하면, 다음과 같은 3개의 연립방정식

                

은 모두 계수행렬로 을 갖는다. 이 세 개의 연립방정식은 RREF를 이용하여 동시에 계산이 가능하다. 즉, 행렬 를 RREF로 변환함으로써 , , 를 한 번에 구할 수 있다.

의 RREF는

이고, 따라서 기저 에서 기저 로의 전이행렬은 다음과 같다.

                                                  □

● http://matrix.skku.ac.kr/RPG_English/7-MA-transition-matrix.html 

 http://sage.skku.edu

[ 1  0  0 |-1  2  1]

[ 0  1  0 | 1  1  1]

[ 0  0  1 | 2  1  2]   

 

 

 

	7.9.2
두 집합 와 를 벡터공간 의 서로 다른 기저라 하고 를 기저 에서 기저 로의 전이행렬이라 하자. 그러면 는 가역이고 는 기저 에서 기저 로의 전이행렬이다. 즉,

에 있는 의 두 기저 에 대하여 다음을 구하여라.

(1) 기저 에서 기저 로의 전이행렬

(2) 일 때, 좌표벡터

(1) 기저 에서 기저 로의 전이행렬은 이므로 정리 7.9.2에

   의하여

(2)                        

 http://sage.skku.edu

 [   1    0    0|-1/2  3/2 -1/2]

 [   0    1    0|   0    2   -1]

 [   0    0    1| 1/2 –5/2  3/2]         ■

 

 

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/7SB1hQI-hzM

http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm 

다음의 벡터들이 일차독립인지 아닌지를 행렬식을 이용하여 확인하여라.

             , ,

 다음에 주어진 집합 가 의 기저인지를 판정하여라.

(1)

(2)

  (Hint: http://math3.skku.ac.kr/spla/CLA-7.1-Exercise-2)

 의 부분공간인 에 대한 서로 다른 기저 두 개를 찾아라.

 다음에서 주어진 동차연립방정식의 해공간에 대한 기저와 차원을 구하여라.

(1) 

     

    (Hint: http://math1.skku.ac.kr/home/matrix1/261/)

(2)

    (Hint: http://math1.skku.ac.kr/home/pub/548/)

 다음에서 주어진 행렬 의 영공간의 기저와 nullity()를 구하여라.

   

 주어진 행렬 의 열공간 의 기저와 차원 및 열계수 를 각각 구하여라.

   

 다음 주어진 행렬 에 대하여 rank와 nullity를 구하고, 이것이 행렬에 대한 차원정리를 만족하는지 확인하여라.

(1)

(2)

 다음 행렬에 대하여 임을 확인하여라.

   

 아래의 표를 이용하여 의 의 차원을 각각 구하여라.

 

	(a)	(b)	(c)	(d)	(e)
의 크기
	3	2	1	3	2

 에 대하여 인 경우 는 full row rank를 갖는다고 하고, 인 경우 는 full column rank를 갖는다고 한다. 다음 행렬들이  full row rank인지, full column rank인지 또는 둘 다 아닌지 판정하여라.

   

             (Hint: http://math1.skku.ac.kr/home/pub/565/)

 벡터 에 의해서 만들어지는 hyperplane 의 기저와 차원을 구하여라.

 , 일 때 벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 선형변환 의 표준행렬 를 구하여라.

 

 , 일 때 벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 를 , 인 가 되는 과 를 구하여라.

 주어진 벡터 를 방향의 벡터 과 와 직교하는 벡터 의 합으로 표현하여라.

   ,

와 가 다음과 같을 때 연립방정식 의 최소제곱해를 찾아라.

(1)  ,

(2)   ,

 다섯 개 점 을 지나는 최소제곱곡선

을 구하여라.

 집합 이 직교집합이 되도록 상수 의 값을 정하여라.

 다음 직교집합의 정규직교집합을 구하여라.

 

 다음 의 부분집합이 일차독립임을 보이고 이들을 정규직교화하여라.

(1)

(2)

평면 와 벡터 에 대하여 다음을 구하여라.

(내적은 로 한다.)

   (1) 2차원 부분공간(평면)의 기저와 정규직교기저

   (2)

 의 순서기저 에 대하여 다음을 구하여라.

  (1) 의 좌표벡터 를 구하여라.

  (2) 의 좌표벡터 를 구하여라.

  (3) 의 좌표벡터 를 구하여라.

  (4) , 의 좌표벡터 , 를 각각 구하여라.

 , 가 에서 기저라고 하고,

라고 하자. 다음 물음에 답하여라.

  (1) 전이행렬 을 구하여라.

  (2) 전이행렬 을 구하여라.

  (3) 기저 에 대해 일 때, 를 이용하여 을 구하여라.

  (4) 기저 에 대해 일 때, 를 이용하여 을 구하여라.

 만일 가 크기의 행렬이라 하자.
의 값은 무엇인가?

(Select one) If one replaces a matrix with its transpose, then

A. The image may change, but the kernel, rank, and nullity do not change.

B. The image, kernel, rank, and nullity may all change.

C. The image, rank, and kernel may change, but the nullity does not change.

D. The image, kernel, rank, and nullity all do not change.

E. The image, kernel, and nullity may change, but the rank does not change.

F. The kernel may change, but the image, rank, and nullity do not change.

G. The image and kernel may change, but the rank and nullity do not change.

(Select one) Let be a linear transformation. Then

A. is invertible if and only if the rank is five.

B. is one-to-one if and only if the rank is three; is never onto.

C. is onto if and only if the rank is two; is never one-to-one.

D. is one-to-one if and only if the rank is two; is never onto.

E. is onto if and only if the rank is three; is never one-to-one.

F. is onto if and only if the rank is five; is never one-to-one.

G. is one-to-one if and only if the rank is five; is never onto.

(Select one) If a linear transformation is onto, then

A. The rank is three and the nullity is zero.

B. The rank and nullity can be any pair of non-negative numbers that add up to three.

C. The rank is three and the nullity is two.

D. The rank is two and the nullity is three.

E. The situation is impossible.

F. The rank and nullity can be any pair of non-negative numbers that add up to five.

G. The rank is five and the nullity is two.

(Select one) If a linear transformation is one-to-one, then

A. The rank is five and the nullity is two.

B. The situation is impossible.

C. The rank and nullity can be any pair of non-negative numbers that add up to five.

D. The rank is two and the nullity is three.

E. The rank is three and the nullity is zero.

F. The rank is three and the nullity is two.

G. The rank and nullity can be any pair of non-negative numbers that add up to three.

 

(1) 만일 이 개의 선형방정식과 개의 미지수로 되어 있는 선형연립방정식이라면, 그 해공간의 차원은 최대 얼마인가?

(2) 안의 영 아닌 벡터 에 의해 만들어지는 hyperplane의 차원은 얼마인가?

         

(3) 의 부분공간의 차원은 얼마가 될 수 있는가? 모두 찾아라.

(4) 의 부분공간 중 다음의 벡터들 , , 에 의하여 생성(span)된 공간의 차원은 얼마인가?

 집합 을 의 기저라 할 때, 가 차의 가역 행렬이면 도 의 기저임을 증명하여라.

 다음에 주어진 행렬 가 와 같은 영공간과 행공간을 가지는지 확인하여라.

            

일차종속인 벡터들에 Gram-Schmidt 정규직교화 과정을 적용하면 어떤 결과가 얻어지는가?

 행렬 의 열벡터가 모두 정규직교벡터라 하자. 와 의 열공간은 서로 어떻게 관계되는가?

 이 를 생성(span)함을 보여라.

 값에 따라 다음 행렬 의 계수(rank)가 어떻게 나타나는지 확인하여라.