2016-LA-CH-9-SGLee(kor)


그림입니다.

Chapter 9

일반벡터공간

벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 이론에 그치지 않고 수학 체계의 일반적인 이론으로써 사회의 모든 분야에 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 주위의 대상들을 벡터들로 생각하여 벡터들의 집합을 만든 후, 그 구성원 사이의 관계로부터 적당한 2개 연산(벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산)을 줍니다. 이 2개의 연산이 만일 2개의 기본법칙과 8개의 연산법칙을 만족하면 벡터들의 집합이 앞에서 배운 수학적 체계인 벡터공간(또는 선형공간)이 되는 것이므로, 벡터공간의 모든 성질을 이용하여, 그 조직체에 대한 이론적 분석이 가능하여 응용범위가 방대해집니다.

 

이 장에서는 (일반) 벡터공간에 대한 정의를 주고 벡터공간의 일반이론을 설명하겠습니다.



9.1 벡터공간의 공리

 참고 동영상: http://youtu.be/m9ru-F7EvNg, http://youtu.be/beXWYXYtAaI

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-1.html


 

 

 

벡터의 개념은 2차원 또는 3차원 공간에서의 화살표에서 차원 공간 안의 -순서조(tuple)로 확장되어 왔다. 1장에서는 차원 공간 에서 덧셈과 스칼라 배라는 2개의 연산을 정의하고, 그것이 갖는 여러 가지 성질을 확인하였다. 이 절에서는 차원 공간의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한다.

 

벡터공간


 

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [벡터공간]

 

 

 

 

임의의 집합 에 두 연산, 덧셈(vector addition, A)’와 스칼라 배(scalar multiplication, SM)’이 정의되어 있고, 임의의 에 대하여 2개의 기본법칙

 

  A.

  SM.

 

과 다음의 8개의 연산법칙이 성립할 때, 집합 가 주어진 2개의 연산과 함께 (실수집합 위에서) 벡터공간(vector space)을 이룬다고 하고, 로 표기한다(혼동이 없는 경우는 간단히 벡터공간 라고 쓴다). 이 벡터공간 의 원소를 벡터(vector)라 한다.

 

  A1.

  A2.

  A3.모든 에 대하여 다음을 만족하는 원소 에 단 하나 존재한다.

      

  A4. 의 각 원소 에 대하여 다음을 만족하는 에 유일하게 존재한다.

      

  SM1.

  SM2.

  SM3.

  SM4.

위의 조건 A3를 만족시키는 영벡터, 조건 A4를 만족시키는 음벡터라 한다.

 

 

 

 

 

 일반적으로 벡터공간을 만드는 2개의 연산이 매우 중요하다. 따라서 벡터공간을 표시할 때 의 형태로 주어진 연산과 함께 표기하는 것이 옳다.

 

의 벡터 와 스칼라 에 대하여, 두 벡터의 합(vector sum) 에 의한 의 스칼라 배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의하면


(1)

(2)     


위의 두 연산과 함께 는 이 연산에 관한 실수집합 위의 벡터공간을 이룬다.

 

의 벡터


                      ,    


와 스칼라 에 대하여, 두 벡터의 합 에 의한 의 스칼라 배 를 각각 다음과 같이 정의하면,


            (1)        (2)


은 위의 두 연산과 함께 벡터공간을 이룬다.  

 

 

 

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.1.1

를 벡터공간이라 할 때, 임의의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)

(2)

(3)

(4) 또는

 

 

영벡터공간

  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

집합 에서 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라 배를 각각

 

 

과 같이 정의하면 는 이 연산에 관하여 벡터공간이다. 이 벡터공간을 영벡터공간(zero vector space)이라 한다.

 

 

 

 

 

집합 을 모든 성분이 실수인 행렬 전체의 집합이라 하자. 즉


.


이때 이면 으로 쓴다.


에서 덧셈과 스칼라 배를 각각 통상적인 행렬의 합과 스칼라 배로 정의하면 은 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다.


이때 영벡터는 영행렬 이고, 각 에 대하여 음벡터는 이다. 이 경우에 벡터는 실수성분을 갖는 행렬이다. 

 

집합 에서 로의 연속함수 전체의 집합이라 하자. 즉


는 연속함수}


와 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라 배를 각각


,


와 같이 정의하면, 는 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다.


이때 영벡터는 영함수 이고 각 에 대하여

로 정의된 함수이다.


이 경우 벡터공간 안의 벡터란 에서 로의 연속함수이다.   

집합 을 계수가 실수인 차 이하의 다항식 전체의 집합이라 하자. 즉



와 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각


        

        


과 같이 정의하면, 은 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다. 이때 영벡터는 영다항식 이고 각 에 대하여



으로 정의된 다항식이다. 이 벡터공간 안의 벡터는 실수계수를 갖는 차 이하의 다항식이다.



부분공간


  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

집합 를 벡터공간이라 하고 의 부분집합이라 하자. 이때 벡터공간 에서 정의된 덧셈과 스칼라 배에 관하여 자신이 벡터공간을 이룰 때, 부분공간(subspace)이라 한다.

 

 

 

 


가 벡터공간일 때, 자신은 의 부분공간이다. 

 

 실제로 의 부분공간은 , , 그리고 원점을 지나는 직선 이외에는 존재하지 않는다(3.4절 참조).

 

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP000011f80015.bmp 원본 그림의 크기: 가로 297pixel, 세로 302pixel

 

 의 부분 공간은 , , 원점을 지나는 직선, 그리고 원점을 지나는 평면 이외에는 존재하지 않는다.

 

 부분공간인지 어떻게 판단하는가? (2-step 부분공간 판정법)


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.1.2 [2-step 부분공간 판정법]

집합 는 벡터공간이고 의 부분집합이라 하자. 이때 의 부분공간일 필요충분조건은

 

(1) (벡터 덧셈 에 대하여 닫혀 있다.)

(2) (스칼라곱셈 에 대하여 닫혀 있다.)


은 벡터공간 의 부분공간임을 보여라.


은 통상적인 연산들과 함께 벡터공간을 이루고, 임의의

 

에 대해 다음 연산에서 아래 두 조건을 만족한다.


 (1)

 (2)


따라서 정리 9.1.2에 의하여 의 부분공간이다. 

차의 가역행렬들의 집합은 벡터공간 의 부분공간이 아님을 보여라.


       가역행렬 2개를 더하여 비가역행렬을 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어,

          

 

가 벡터공간일 때 에 대하여 집합



의 부분공간임을 보여라.


, 이라 하자. 그러면 에 대하여



라고 쓸 수 있으므로

        ,

        .


         


따라서 의 부분공간이다.      

 

 

일차독립과 일차종속


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [일차독립과 일차종속]

 

 

 

 

벡터공간 안의 부분집합 이 다음 조건을 만족하면 일차독립(linearly independent)이라 한다.

 

   

 

그리고 일차독립이 아닌 경우를 일차종속이라고 한다. 즉, 일차종속이란 전부는 영이 아닌 스칼라 에 대하여 이 됨을 의미한다.

 

 

 

 

 

 

 

2차원상의 일차결합 - 일차종속(컴퓨터 시뮬레이션)

 

 

 

 

http://www.geogebratube.org/student/m57551

 

 

 

 

 

 

 

, , , 이라 하면,


  


이므로 에서 일차독립이다.   

 

, , 일 때 이므로 에서 일차종속이다. 

 

에서 일차독립인 집합이다. 

 

의 부분집합으로



이므로 일차종속이다.  

기저


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [기저와 차원]

 

 

 

 

벡터공간 의 부분집합 ()가 다음 두 조건을 만족하면 기저(basis)라 한다.

 

(1)

(2) 는 일차독립이다.

 

이때 기저 안의 벡터들의 개수 차원(dimension)이라 하며, 로 쓴다.

 

 

 

 


에 소개된 , , , 의 기저가 된다. 따라서 이다. 또 에서 본 의 기저이다. 따라서 이 된다. 이 둘은 모두 좌표계의 표준기저와 유사한 역할을 하므로, 각각 표준기저라 한다.    

 

의 기저임을 보여라.


  

                               


그러므로 이므로, 는 일차독립이다.

다음으로 임의의 에 대하여


      


을 만족하는 의 존재성은 연립방정식


         즉,


의 계수행렬이 가역행렬이므로 보장된다. 따라서 를 생성한다. 그러므로 의 기저이다.  



연속함수의 일차독립성 : Wronskian


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.1.3 [Wronski의 Test]

만약 가 구간 에서 번 미분 가능한 함수이고, Wronskian 이 아니게 하는 가 하나라도 존재하면, 이 함수들은 일차독립인 함수(벡터)들이 된다.

 

 

반대로 만일 모든 영역에서 이면 이 함수들은 일차종속이다.


정리 9.1.3을 이용하여 , , 일 때, 세 함수가 일차독립임을 보여라.


어떤 (사실은 모든) 에 대하여는 이므로 이 세 함수들의 집합은 일차독립이다.                                           


http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/




2*e^(3*x)         ■


, 일 때, 두 함수가 일차독립임을 보여라.


어떤 에 대하여는 이므로 이 두 함수는 일차독립이다.  

 

 

, 일 때, 두 함수가 일차종속임을 보여라.


모든 에 대하여 이므로 두 함수는 일차종속이다. 



9.2 내적공간; *푸리에 급수

 참고 동영상: http://youtu.be/m9ru-F7EvNg,   http://youtu.be/nIkYF-uvFdA 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-2.html


 

 

 

이 절에서는 상의 유클리드 내적(dot product)을 일반화하여 일반적인 벡터공간에서 길이, 거리, 직교성에 대한 개념을 소개할 것이다.


실수범위에서의 내적과 내적공간


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [내적과 내적공간]

 

 

 

 

실벡터공간 상의 내적(inner product)상의 한 쌍의 벡터 , 에 대하여 스칼라 를 대응시키는 함수로 다음을 만족한다.

   (즉 와 같이 정의된 함수 가 다음을 만족한다.)

 

(1)

(2)

(3)

(4)

 

내적공간(inner product space)은 벡터공간 에 특정한 내적 가 정의된 벡터공간이다.

 

 

 

 

유클리드 내적, 즉 dot product는 단지 실수의 -순서조의 벡터공간 상에서의 내적의 한 예이다. 상에서 다른 내적이 어떻게 정의되는가 보기 위해서 인 행렬을 생각하자. 의 열벡터 에 대하여 로 정의하자. 그러면 이렇게 정의된 함수가 내적이 되기 위한 행렬 의 조건은 어떻게 되는지 살펴보자.


가 내적이 되려면 조건 (1)~(4)를 모두 만족해야 한다. 우선 조건 (2), (3)을 보이자.     


      

                  ,


      .


이제 조건 (1)이 언제 성립하는지 확인해보자. 는 실수( 행렬)이므로,



이다.


이려면 ,

는 대칭행렬이어야 한다.


따라서 내적 는 행렬 가 대칭행렬인 경우 조건 (1)을 만족한다.


마지막으로 조건 (4)를 확인하자. 대칭행렬 는 모든 영이 아닌 에 대해서 이어야 하는데, 이 경우 양의 정부호(positive definite)라 한다. 즉, 가 양의 정부호이면 는 내적의 조건 (4)를 만족한다.


그러므로 이상을 정리하면 만일 행렬 가 대칭이고 양의 정부호이면, 그때 에서의 내적이라는 것을 알 수 있다. 이미 알고 있는 유클리드 내적 (대칭이고 양의 정부호)인 내적의 특수한 경우로 생각할 수 있다.  

 

 영벡터가 아닌 모든 에 대해서 이려면 의 모든 고유값이 양수이면 된다(역도 성립한다).

 대칭행렬 상의 벡터 라 할 때,


      


상의 내적의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다. 이제 가 양의 정부호 행렬임을 보이자. 라면, 이다. 그러므로 이고

          


이다. 따라서 대칭행렬 는 양의 정부호이고, 상의 내적이 된다.


만일 이고, 라면, 그때 이다. 반면에


      


이다. 따라서 내적 상에서의 유클리드 내적과는 같지 않음을 볼 수 있다.   

 

 

벡터의 길이(norm)와 두 벡터 사이의 각


  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [벡터의 길이(norm)와 두 벡터 사이의 각]

 

 

 

 

벡터공간 상에 임의의 내적 가 주어질 때, (내적의 관점에서) 벡터 길이(norm)는 다음과 같다.

 

   

 

벡터 사이의 각(angle) 도 (내적을 이용하여) 다음과 같이 정의한다.

 

     ()

 

특히, 벡터 , 이면 직교한다고 한다.

 

 

 

 

 

 예를 들어, 의 길이는 에서 주어진 내적을 이용하면

 

이다. 따라서 이다. 반면에 의 유클리드 길이는

 

이다.

 

 

 임의의 내적공간에 대해서도 삼각부등식 은 성립한다.

 

 Gram-Schmidt 정규직교화 방법을 이용하여 내적공간 에 대한 기저 을 정규직교기저 으로 바꿀 수 있다.

 

 

복소벡터공간상의 내적


  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

복소벡터공간 의 임의의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음 조건을 만족하는 에서 로의 함수 내적(또는 Hermitian 내적)이라 한다.

 

(1)

(2)

(3)

(4) 특히

 

 

 

 


 내적을 갖는 복소벡터공간을 복소내적공간(complex inner product space) 또는 유니타리공간(unitary space)이라 한다. 또한 영벡터가 아닌 복소벡터 에 대하여 이면 직교한다(orthogonal)고 한다.


 복소벡터공간 에 대하여 내적공간의 정의로부터 다음 성질을 바로 얻을 수 있다.

 

  (1)

  (2)

  (3)   ()


의 벡터라 하면 유클리드 내적 은 내적의 공리 (1)~(4)를 모두 만족한다.  


를 구간 에서 복소수 로의 연속함수 전체의 집합이라 하자. 만일 에 대하여 함수의 덧셈과 스칼라배를 각각 다음과 같이 정의하면 는 이 연산에 관하여 복소벡터공간을 이룬다.


      


이때 벡터는 와 같은 형태의 함수이고, 에서 실수 로의 연속함수이다. 이제 에 대하여 내적을 다음과 같이 정의하자.


      


그러면 는 복소내적공간이다.


위의 함수가 내적의 공리 중 (1)~(3)을 만족하는 것은 연습문제로 남기고, 여기서는 (4)만을 보이도록 한다.


      


이고, 이므로 이다. 특히

          


즉, 이고, 역으로 가 영함수이면 이 됨은 분명하다. 

 

 

 

복소내적공간의 노름과 거리

   

 

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [복소내적공간의 노름과 거리]

 

 

 

 

복소내적공간 에서 벡터 노름(norm)의 두 벡터 , 사이의 거리(distance)를 각각 다음과 같이 정의한다.

,

 

 

 

 

 

벡터 의 유클리드 내적과 유클리드 거리를 구하여라.


     

     


       

       

                     

 

에서 이고 일 때, 함수 의 노름(norm)을 구하여라.


 

                          

코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식


  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.2.1

복소내적공간 의 임의의 벡터 에 대하여 다음이 성립한다.

 

(1)    (코시-슈바르츠 부등식)

(2)     (삼각부등식)

 (1)번만 증명한다.

이면 이므로 식 (1)이 성립한다. 이제 이라 하고 , 라 놓자. 그러면, 이고 이므로 다음이 성립한다.

                                           

                            

                    

                                           

       

                                     

             

          

                        

                        


       따라서, 이므로 식 (1)이 성립한다. 


두 벡터 에 대하여 다음 물음에 답하라.


(1) 유클리드 내적 를 구하여라.

(2) 가 일차독립임을 보여라.


(1)

       

       

       

               


(2) 임의의 스칼라 에 대하여 이라 하면

        

       


   이므로 이다. 따라서 는 일차독립이다.    

 

두 벡터 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식이 성립함을 확인하여라.


이고 이므로, 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.

또한 이므로 삼각부등식이 성립한다. 

[에서의 코시-슈바르츠 부등식]


(1) 유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 의 두 벡터


,

   에 대하여


   이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.   

(2) 라 하고 에서와 같이 내적을

   정의하면

 

                   

   이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.     

 

[삼각부등식] 와 같이 내적을 각각 정의하면,


(1) 에 대하여 삼각부등식이 성립한다. 즉

 

                                     


(2) 에 대하여 삼각부등식이 성립한다. 즉

    

          

                           

 

 

 

9.3 동형사상(Isomorphism)

 참고 동영상: http://youtu.be/frOcceYb2fc,   http://youtu.be/Y2lhCID0XS8 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-3.html


 

 

 

상의 선형변환의 정의를 일반적인 벡터공간 로 확장하여 다음과 같이 일반적인 선형변환을 정의하자. 이 선형변환 중 전단사인 선형변환들은 특별한 의미를 갖는다.

    

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

가 벡터공간 에서 로의 함수로 다음 조건을 만족하면 에서 로의 선형변환(linear transformation)이라고 정의한다.

 

(1)

(2)

 

단, 는 임의의 스칼라이고, ,는 벡터공간 안의 임의의 벡터이다.

 

 

 

 

 

 만일 이면 위의 선형변환 선형연산자(linear operator)라 한다.

 

   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.3.1

만일 가 선형변환이면

 

(1)

(2)

(3)

 

가 모든 에 대하여 으로 정의하면 이는 선형변환이다. 이것을 영변환(zero transformation)이라 한다. 또한 가 모든 에 대하여 로 정의하면 이 또한 선형변환,  즉 선형연산자이고  이것을 항등연산자(identity operator)라 한다. 

(는 스칼라)로 정의하면 는 선형연산자이다. 즉 아래의 두 성질이 만족한다.

 

(1)

(2)


이 때 이면 수축(contraction)이라 하고, 이면 팽창(dilation)이라 한다.   

 

에서 정의된 모든 연속함수들로 이루어진 벡터공간이고 는 미분 가능한 함수들로 이루어진 의 부분공간이라 할 때 으로 정의하면, 는 선형변환이고 이를 미분연산자라 한다.    

 

집합 가 1차 미분 가능한 함수들로 이루어진 의 부분공간이라 할 때 라 하면 는 선형변환이다.   

 

핵과 치역

   


 

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 [핵과 치역]

 

 

 

 

선형변환 에 대하여

 

       ,

 

를 각각 핵(kernel), 치역(range)이라 한다.

 

 

 

 

 

가 영변환이면, 이고, 이다.  

 

 

가 항등연산자이면, , 이다.    

 

에서 정의된 인 미분연산자 에 대하여 는 “ 위에 정의된 상수함수들의 집합”이고, 는 “연속함수들의 집합, 즉 ”이다.      


핵과 치역의 기본 성질


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.3.2

가 선형변환이면 는 각각 ,의 부분공간이다.

 

   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.3.3

가 선형변환이면 다음 두 명제는 동치명제이다.

 

(1) 가 단사함수(일대일 함수)이다.

(2)

동형사상


   

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd026fd.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 

 

 

 

 

선형변환 가 단사이고 전사이면 이를 동형사상(isomorphism)이라 하고, 이때 와 동형이라 한다. 표기는 라 한다.

 

 

 

 


  

그림입니다. 원본 그림의 이름: CLP00002dd00001.bmp 원본 그림의 크기: 가로 60pixel, 세로 32pixel

 9.3.4

모든 차원 실벡터공간은 과 동형이다.

 (실수공간 위에서 정의된) 모든 차원 실벡터공간은 과 동형이고, (복소공간 위에서 정의된) 모든 차원 복소벡터공간은 과 동형이다.

 

위의 정리로부터 다음과 같은 동형관계를 확인할 수 있다.

             



http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/hGoeTDwWlUY

http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm 

 

 

집합 또는 상의 덧셈과 스칼라배를 다음과 같이 정의할 때, 또는 가 주어진 연산에 관하여 벡터공간인가?

(1)  

(2)  

(3)  

(4)



다음 중 의 부분공간인 집합을 찾아라.

(1)

(2)

(3)

(4)



의 벡터 을 벡터 , ,
의 일차결합으로 나타내어라.



다음에서 주어진 벡터들이 주어진 공간에서 일차독립인지, 일차종속인지를 결정하여라.

(1)

                          

(2)

(3)
         



유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 에서 다음을 답하여라.


(1) 를 구하여라.


            (2) 를 구하여라.


                (3) 코시-슈바르츠 부등식을 확인하여라.


                (4) 삼각부등식을 확인하여라.



에서 로 정의된 내적에 대하여 다음을 구하여라. (단, , )

(1)를 만족하는 대칭행렬

(2) 의 크기

(3) 의 크기

(4)


다음 중 선형변환인 것과 아닌 것을 구별하고 선형변환이 아닌 경우 그 이유를 서술하여라.
(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) ,



 다음 선형변환의 핵과 치역을 각각 구하여라.

(1) ,

(2) ,


가 벡터공간 의 부분공간이면 의 부분공간임을 증명하여라.




의 한 고정벡터라 하자. 와 수직인 모든 벡터들의 집합이라 하면
의 부분공간임을 보여라.




유클리드 내적을 갖는 벡터공간 상에서
를 Gram-Schmidt 과정을 이용하여 정규직교기저로 바꾸어라.




다음과 같이 주어진 선형변환 의 표준행렬을 구하여라.



이 다음과 같다. 주어진 변환이 선형변환임을 보이고 핵과 치역을 각각 구하여라.