벡터의 합과 스칼라배가 갖는 연산법칙은 이론에 그치지 않고 수학 체계의 일반적인 이론으로써 사회의 모든 분야에 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 주위의 대상들을 벡터들로 생각하여 벡터들의 집합을 만든 후, 그 구성원 사이의 관계로부터 적당한 2개 연산(벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산)을 줍니다. 이 2개의 연산이 만일 2개의 기본법칙과 8개의 연산법칙을 만족하면 벡터들의 집합이 앞에서 배운 수학적 체계인 벡터공간(또는 선형공간)이 되는 것이므로, 벡터공간의 모든 성질을 이용하여, 그 조직체에 대한 이론적 분석이 가능하여 응용범위가 방대해집니다.

 

이 장에서는 (일반) 벡터공간에 대한 정의를 주고 벡터공간의 일반이론을 설명하겠습니다.

 참고 동영상: http://youtu.be/m9ru-F7EvNg, http://youtu.be/beXWYXYtAaI

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-1.html

 

벡터의 개념은 2차원 또는 3차원 공간에서의 화살표에서 차원 공간 안의 -순서조(tuple)로 확장되어 왔다. 1장에서는 차원 공간 에서 덧셈과 스칼라 배라는 2개의 연산을 정의하고, 그것이 갖는 여러 가지 성질을 확인하였다. 이 절에서는 차원 공간의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한다.

 

벡터공간

 

		[벡터공간]
	임의의 집합 에 두 연산, 덧셈(vector addition, A) ‘’와 스칼라 배(scalar multiplication, SM) ‘’이 정의되어 있고, 임의의 와 에 대하여 2개의 기본법칙     A.   SM.   과 다음의 8개의 연산법칙이 성립할 때, 집합 가 주어진 2개의 연산과 함께 (실수집합 위에서) 벡터공간(vector space)을 이룬다고 하고, 로 표기한다(혼동이 없는 경우는 간단히 벡터공간 라고 쓴다). 이 벡터공간 의 원소를 벡터(vector)라 한다.     A1.   A2.   A3.모든 에 대하여 다음을 만족하는 원소 이 에 단 하나 존재한다.          A4. 의 각 원소 에 대하여 다음을 만족하는 가 에 유일하게 존재한다.          SM1.   SM2.   SM3.   SM4. 위의 조건 A3를 만족시키는 을 영벡터, 조건 A4를 만족시키는 를 의 음벡터라 한다.

 

 일반적으로 벡터공간을 만드는 2개의 연산이 매우 중요하다. 따라서 벡터공간을 표시할 때 의 형태로 주어진 연산과 함께 표기하는 것이 옳다.

 

의 벡터 와 스칼라 에 대하여, 두 벡터의 합(vector sum) 와 에 의한 의 스칼라 배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의하면

(1)

(2)     

위의 두 연산과 함께 는 이 연산에 관한 실수집합 위의 벡터공간을 이룬다. ■

 

의 벡터

                      ,    

와 스칼라 에 대하여, 두 벡터의 합 와 에 의한 의 스칼라 배 를 각각 다음과 같이 정의하면,

            (1)        (2)

은 위의 두 연산과 함께 벡터공간을 이룬다.   ■

 

 

 

	9.1.1
를 벡터공간이라 할 때, 임의의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.   (1) (2) (3) (4) 또는

 

 

영벡터공간

	집합 에서 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라 배를 각각     과 같이 정의하면 는 이 연산에 관하여 벡터공간이다. 이 벡터공간을 영벡터공간(zero vector space)이라 한다.

 

집합 을 모든 성분이 실수인 행렬 전체의 집합이라 하자. 즉

.

이때 이면 을 으로 쓴다.

에서 덧셈과 스칼라 배를 각각 통상적인 행렬의 합과 스칼라 배로 정의하면 은 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다.

이때 영벡터는 영행렬 이고, 각 에 대하여 음벡터는 이다. 이 경우에 벡터는 실수성분을 갖는 행렬이다.  ■

 

집합 를 에서 로의 연속함수 전체의 집합이라 하자. 즉

는 연속함수}

와 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라 배를 각각

,

와 같이 정의하면, 는 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다.

이때 영벡터는 영함수 이고 각 에 대하여 는

로 정의된 함수이다.

이 경우 벡터공간 안의 벡터란 에서 로의 연속함수이다.    ■

집합 을 계수가 실수인 차 이하의 다항식 전체의 집합이라 하자. 즉

와 스칼라 에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각

        

        

과 같이 정의하면, 은 이 연산에 관하여 벡터공간 을 이룬다. 이때 영벡터는 영다항식 이고 각 에 대하여 는

으로 정의된 다항식이다. 이 벡터공간 안의 벡터는 실수계수를 갖는 차 이하의 다항식이다. ■

부분공간

	집합 를 벡터공간이라 하고 를 의 부분집합이라 하자. 이때 벡터공간 에서 정의된 덧셈과 스칼라 배에 관하여 자신이 벡터공간을 이룰 때, 를 의 부분공간(subspace)이라 한다.

가 벡터공간일 때, 과 자신은 의 부분공간이다.  ■

 

 실제로 의 부분공간은 , , 그리고 원점을 지나는 직선 이외에는 존재하지 않는다(3.4절 참조).

 

 

 의 부분 공간은 , , 원점을 지나는 직선, 그리고 원점을 지나는 평면 이외에는 존재하지 않는다.

 

 부분공간인지 어떻게 판단하는가? (2-step 부분공간 판정법)

	9.1.2 [2-step 부분공간 판정법]
집합 는 벡터공간이고 는 의 부분집합이라 하자. 이때 가 의 부분공간일 필요충분조건은   (1) (벡터 덧셈 에 대하여 닫혀 있다.) (2) (스칼라곱셈 에 대하여 닫혀 있다.)

은 벡터공간 의 부분공간임을 보여라.

은 통상적인 연산들과 함께 벡터공간을 이루고, 임의의

 

에 대해 다음 연산에서 아래 두 조건을 만족한다.

 (1)

 (2)

따라서 정리 9.1.2에 의하여 는 의 부분공간이다.  ■

차의 가역행렬들의 집합은 벡터공간 의 부분공간이 아님을 보여라.

       가역행렬 2개를 더하여 비가역행렬을 쉽게 만들 수 있다. 예를 들어,

           ■

 

가 벡터공간일 때 에 대하여 집합

은 의 부분공간임을 보여라.

, 이라 하자. 그러면 에 대하여

라고 쓸 수 있으므로

        ,

        .

         

따라서 는 의 부분공간이다.       ■

 

 

일차독립과 일차종속

		[일차독립과 일차종속]
	벡터공간 안의 부분집합 이 다음 조건을 만족하면 일차독립(linearly independent)이라 한다.         그리고 일차독립이 아닌 경우를 일차종속이라고 한다. 즉, 일차종속이란 전부는 영이 아닌 스칼라 에 대하여 이 됨을 의미한다.

 

 

 

		2차원상의 일차결합 - 일차종속(컴퓨터 시뮬레이션)
	● http://www.geogebratube.org/student/m57551

 

, , , 이라 하면,

  

이므로 는 에서 일차독립이다.    ■

 

, , 일 때 이므로 는 에서 일차종속이다.  ■

 

은 에서 일차독립인 집합이다.  ■

 

은 의 부분집합으로

이므로 일차종속이다.   ■

기저

		[기저와 차원]
	벡터공간 의 부분집합 ()가 다음 두 조건을 만족하면 를 의 기저(basis)라 한다.   (1) (2) 는 일차독립이다.   이때 기저 안의 벡터들의 개수 를 의 차원(dimension)이라 하며, 로 쓴다.

에 소개된 , , , 은 의 기저가 된다. 따라서 이다. 또 에서 본 은 의 기저이다. 따라서 이 된다. 이 둘은 모두 좌표계의 표준기저와 유사한 역할을 하므로, 각각 와 의 표준기저라 한다.     ■

 

은 의 기저임을 보여라.

  

                               

그러므로 이므로, 는 일차독립이다.

다음으로 임의의 에 대하여

      

을 만족하는 의 존재성은 연립방정식

         즉,

의 계수행렬이 가역행렬이므로 보장된다. 따라서 는 를 생성한다. 그러므로 는 의 기저이다.   ■

연속함수의 일차독립성 : Wronskian

	9.1.3 [Wronski의 Test]
만약 가 구간 에서 번 미분 가능한 함수이고, Wronskian 를 이 아니게 하는 가 하나라도 존재하면, 이 함수들은 일차독립인 함수(벡터)들이 된다.     반대로 만일 모든 영역에서 이면 이 함수들은 일차종속이다.

정리 9.1.3을 이용하여 , , 일 때, 세 함수가 일차독립임을 보여라.

어떤 (사실은 모든) 에 대하여는 이므로 이 세 함수들의 집합은 일차독립이다.                                            □

http://sage.skku.edu 또는 http://mathlab.knou.ac.kr:8080/

2*e^(3*x)         ■

, 일 때, 두 함수가 일차독립임을 보여라.

어떤 에 대하여는 이므로 이 두 함수는 일차독립이다.  ■

 

 

, 일 때, 두 함수가 일차종속임을 보여라.

모든 에 대하여 이므로 두 함수는 일차종속이다.  ■

 참고 동영상: http://youtu.be/m9ru-F7EvNg,   http://youtu.be/nIkYF-uvFdA 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-2.html

 

이 절에서는 상의 유클리드 내적(dot product)을 일반화하여 일반적인 벡터공간에서 길이, 거리, 직교성에 대한 개념을 소개할 것이다.

실수범위에서의 내적과 내적공간

		[내적과 내적공간]
	실벡터공간 상의 내적(inner product)은 상의 한 쌍의 벡터 , 에 대하여 스칼라 를 대응시키는 함수로 다음을 만족한다.    (즉 와 같이 정의된 함수 가 다음을 만족한다.)   (1) (2) (3) (4)   내적공간(inner product space)은 벡터공간 에 특정한 내적 가 정의된 벡터공간이다.

유클리드 내적, 즉 dot product는 단지 실수의 -순서조의 벡터공간 상에서의 내적의 한 예이다. 상에서 다른 내적이 어떻게 정의되는가 보기 위해서 인 행렬을 생각하자. 의 열벡터 와 에 대하여 를 로 정의하자. 그러면 이렇게 정의된 함수가 내적이 되기 위한 행렬 의 조건은 어떻게 되는지 살펴보자.

가 내적이 되려면 조건 (1)~(4)를 모두 만족해야 한다. 우선 조건 (2), (3)을 보이자.     

      

                  ,

      .

이제 조건 (1)이 언제 성립하는지 확인해보자. 는 실수( 행렬)이므로,

이다.

즉 이려면 ,

즉 는 대칭행렬이어야 한다.

따라서 내적 는 행렬 가 대칭행렬인 경우 조건 (1)을 만족한다.

마지막으로 조건 (4)를 확인하자. 대칭행렬 는 모든 영이 아닌 에 대해서 이어야 하는데, 이 경우 가 양의 정부호(positive definite)라 한다. 즉, 가 양의 정부호이면 는 내적의 조건 (4)를 만족한다.

그러므로 이상을 정리하면 만일 행렬 가 대칭이고 양의 정부호이면, 그때 는 에서의 내적이라는 것을 알 수 있다. 이미 알고 있는 유클리드 내적 는 (대칭이고 양의 정부호)인 내적의 특수한 경우로 생각할 수 있다.   ■

 

 영벡터가 아닌 모든 에 대해서 이려면 의 모든 고유값이 양수이면 된다(역도 성립한다).

 대칭행렬 와 상의 벡터 라 할 때,

      

는 상의 내적의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다. 이제 가 양의 정부호 행렬임을 보이자. 라면, 이다. 그러므로 이고

          

이다. 따라서 대칭행렬 는 양의 정부호이고, 는 상의 내적이 된다.

만일 이고, 라면, 그때 이다. 반면에

      

이다. 따라서 내적 는 상에서의 유클리드 내적과는 같지 않음을 볼 수 있다.    ■

 

 

벡터의 길이(norm)와 두 벡터 사이의 각

		[벡터의 길이(norm)와 두 벡터 사이의 각]
	벡터공간 상에 임의의 내적 가 주어질 때, (내적의 관점에서) 벡터 의 길이(norm)는 다음과 같다.         벡터 와 사이의 각(angle) 도 (내적을 이용하여) 다음과 같이 정의한다.        ()   특히, 벡터 , 가 이면 직교한다고 한다.

 

 예를 들어, 의 길이는 에서 주어진 내적을 이용하면

 

이다. 따라서 이다. 반면에 의 유클리드 길이는

 

이다.

 

 

 임의의 내적공간에 대해서도 삼각부등식 은 성립한다.

 

 Gram-Schmidt 정규직교화 방법을 이용하여 내적공간 에 대한 기저 을 정규직교기저 으로 바꿀 수 있다.

 

 

복소벡터공간상의 내적

	복소벡터공간 의 임의의 벡터 와 스칼라 에 대하여 다음 조건을 만족하는 에서 로의 함수 를 의 내적(또는 Hermitian 내적)이라 한다.   (1) (2) (3) (4) 특히

 내적을 갖는 복소벡터공간을 복소내적공간(complex inner product space) 또는 유니타리공간(unitary space)이라 한다. 또한 영벡터가 아닌 복소벡터 에 대하여 이면 와 는 직교한다(orthogonal)고 한다.

 복소벡터공간 에 대하여 내적공간의 정의로부터 다음 성질을 바로 얻을 수 있다.

 

  (1)

  (2)

  (3)   ()

과 을 의 벡터라 하면 유클리드 내적 은 내적의 공리 (1)~(4)를 모두 만족한다.   ■

를 구간 에서 복소수 로의 연속함수 전체의 집합이라 하자. 만일 에 대하여 함수의 덧셈과 스칼라배를 각각 다음과 같이 정의하면 는 이 연산에 관하여 복소벡터공간을 이룬다.

      

이때 벡터는 와 같은 형태의 함수이고, 는 에서 실수 로의 연속함수이다. 이제 에 대하여 내적을 다음과 같이 정의하자.

      

그러면 는 복소내적공간이다.

위의 함수가 내적의 공리 중 (1)~(3)을 만족하는 것은 연습문제로 남기고, 여기서는 (4)만을 보이도록 한다.

      

이고, 이므로 이다. 특히

          

즉, 이고, 역으로 가 영함수이면 이 됨은 분명하다.  ■

 

 

 

복소내적공간의 노름과 거리

   

 

		[복소내적공간의 노름과 거리]
	복소내적공간 에서 벡터 의 노름(norm)과 의 두 벡터 , 사이의 거리(distance)를 각각 다음과 같이 정의한다. ,

 

벡터 의 유클리드 내적과 유클리드 거리를 구하여라.

     

     

       

       

                      ■

 

에서 이고 일 때, 함수 의 노름(norm)을 구하여라.

 

                           ■

코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식

	9.2.1
복소내적공간 의 임의의 벡터 에 대하여 다음이 성립한다.   (1)    (코시-슈바르츠 부등식) (2)     (삼각부등식)

 (1)번만 증명한다.

이면 이므로 식 (1)이 성립한다. 이제 이라 하고 , 라 놓자. 그러면, 이고 이므로 다음이 성립한다.

                                           

                            

                    

                                           

       

                                     

             

          

                        

                        

       따라서, 이므로 식 (1)이 성립한다.  ■

두 벡터 에 대하여 다음 물음에 답하라.

(1) 유클리드 내적 를 구하여라.

(2) 와 가 일차독립임을 보여라.

(1)

       

       

       

               

(2) 임의의 스칼라 에 대하여 이라 하면

        

       

   이므로 이다. 따라서 와 는 일차독립이다.     ■

 

두 벡터 에 대하여 코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식이 성립함을 확인하여라.

이고 이므로, 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.

또한 이므로 삼각부등식이 성립한다.  ■

[과 에서의 코시-슈바르츠 부등식]

(1) 유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 의 두 벡터

,

   에 대하여

   이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.    ■

(2) 라 하고 에서와 같이 내적을

   정의하면

 

                   

   이므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다.      ■

 

[삼각부등식] 과 와 같이 내적을 각각 정의하면,

(1) 에 대하여 삼각부등식이 성립한다. 즉

 

                                      ■

(2) 에 대하여 삼각부등식이 성립한다. 즉

    

          

                            ■

 

 

 

 참고 동영상: http://youtu.be/frOcceYb2fc,   http://youtu.be/Y2lhCID0XS8 

 실습 사이트: http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-week-14-sec-9-3.html

 

상의 선형변환의 정의를 일반적인 벡터공간 로 확장하여 다음과 같이 일반적인 선형변환을 정의하자. 이 선형변환 중 전단사인 선형변환들은 특별한 의미를 갖는다.

	가 벡터공간 에서 로의 함수로 다음 조건을 만족하면 를 에서 로의 선형변환(linear transformation)이라고 정의한다.   (1) (2)   단, 는 임의의 스칼라이고, ,는 벡터공간 안의 임의의 벡터이다.

 

 만일 이면 위의 선형변환 를 선형연산자(linear operator)라 한다.

 

	9.3.1
만일 가 선형변환이면   (1) (2) (3)

 

가 모든 에 대하여 으로 정의하면 이는 선형변환이다. 이것을 영변환(zero transformation)이라 한다. 또한 가 모든 에 대하여 로 정의하면 이 또한 선형변환,  즉 선형연산자이고  이것을 항등연산자(identity operator)라 한다.  ■

가 (는 스칼라)로 정의하면 는 선형연산자이다. 즉 아래의 두 성질이 만족한다.

 

(1)

(2)

이 때 이면 는 수축(contraction)이라 하고, 이면 팽창(dilation)이라 한다.    ■

 

이 에서 정의된 모든 연속함수들로 이루어진 벡터공간이고 는 미분 가능한 함수들로 이루어진 의 부분공간이라 할 때 를 으로 정의하면, 는 선형변환이고 이를 미분연산자라 한다.     ■

 

집합 가 1차 미분 가능한 함수들로 이루어진 의 부분공간이라 할 때 를 라 하면 는 선형변환이다.    ■

 

핵과 치역

   

 

		[핵과 치역]
	선형변환 에 대하여          ,   를 각각 의 핵(kernel), 치역(range)이라 한다.

 

가 영변환이면, 이고, 이다.   ■

 

 

가 항등연산자이면, , 이다.     ■

 

에서 정의된 인 미분연산자 에 대하여 는 “ 위에 정의된 상수함수들의 집합”이고, 는 “연속함수들의 집합, 즉 ”이다.       ■

핵과 치역의 기본 성질

	9.3.2
가 선형변환이면 와 는 각각 ,의 부분공간이다.

 

	9.3.3
가 선형변환이면 다음 두 명제는 동치명제이다.   (1) 가 단사함수(일대일 함수)이다. (2)

동형사상

	선형변환 가 단사이고 전사이면 이를 동형사상(isomorphism)이라 하고, 이때 는 와 동형이라 한다. 표기는 라 한다.

	9.3.4
모든 차원 실벡터공간은 과 동형이다.

 (실수공간 위에서 정의된) 모든 차원 실벡터공간은 과 동형이고, (복소공간 위에서 정의된) 모든 차원 복소벡터공간은 과 동형이다.

 

위의 정리로부터 다음과 같은 동형관계를 확인할 수 있다.

        ,  ,        ■

http://matrix.skku.ac.kr/LA-Lab/index.htm https://youtu.be/hGoeTDwWlUY

http://matrix.skku.ac.kr/knou-knowls/cla-sage-reference.htm 

 

 

집합 또는 상의 덧셈과 스칼라배를 다음과 같이 정의할 때, 또는 가 주어진 연산에 관하여 벡터공간인가?

(1)  

(2)  

(3) ,   

(4) , 

다음 중 의 부분공간인 집합을 찾아라.

(1)

(2)

(3)

(4)

의 벡터 을 벡터 , ,
의 일차결합으로 나타내어라.

다음에서 주어진 벡터들이 주어진 공간에서 일차독립인지, 일차종속인지를 결정하여라.

(1)

                          

(2)

(3)
         

유클리드 내적이 정의되어 있는 복소내적공간 에서 다음을 답하여라.


(1) 를 구하여라.

            (2) 를 구하여라.

                (3) 코시-슈바르츠 부등식을 확인하여라.

                (4) 삼각부등식을 확인하여라.

에서 로 정의된 내적에 대하여 다음을 구하여라. (단, , )

(1)를 만족하는 대칭행렬

(2) 의 크기

(3) 의 크기

(4) 인

다음 중 선형변환인 것과 아닌 것을 구별하고 선형변환이 아닌 경우 그 이유를 서술하여라.
(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) ,

(6) ,

 다음 선형변환의 핵과 치역을 각각 구하여라.

(1) ,

(2) ,

가 벡터공간 의 부분공간이면 도 의 부분공간임을 증명하여라.

를 의 한 고정벡터라 하자. 를 와 수직인 모든 벡터들의 집합이라 하면
는 의 부분공간임을 보여라.

유클리드 내적을 갖는 벡터공간 상에서
를 Gram-Schmidt 과정을 이용하여 정규직교기저로 바꾸어라.

다음과 같이 주어진 선형변환 의 표준행렬을 구하여라.

이 다음과 같다. 주어진 변환이 선형변환임을 보이고 핵과 치역을 각각 구하여라.