*10.2 JFC 와 일반화된 고유벡터


 동영상 강의 주소: http://www.youtube.com/watch?v=yJ7n0icjtNA


 10.1절에서 되는 를 구하는 이론과 방법을 배웠다. 이 절에서는 를 만드는 를 구하는 방법을 살펴보자. 이 과정에서 일반화된 고유벡터를 이용한다.


10.2 연습문제


 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=adWzUKKmO2k


[1-6] 다음 주어진 행렬의 일반화된 고유벡터를 구하여라.


1. 다음 주어진 행렬의 일반화된 고유벡터를 구하여라.

 (단 이 행렬의 Jordan Canonical Form은 )

Ans1) 이므로 만일 행렬 의 열벡터를 라고 하면

이다. 단 는 행렬 의 첫 번째 열이 Jordan block의 첫 번째 열이면 0이고, 아니라면 1이다. 따라서 이다. 즉 이면 는 행렬 의 고유값 에 대응하는 고유벡터이고, 이라면 이다. 따라서 위 행렬 에 대하여 생각해보면 다음과 같다.

4, 4+, 4+

()

  

  

 

 

인지 확인해보면 다음과 같이 성립함을 알 수 있다.

Sage를 이용하여 확인해보자.


[2 2 0]

[0 2 0]

[0 0 1]


2. 단, 이 행렬의 Jordan Canonical Form은

Ans

1) 의 고유값 . 각각의 대수적 중복도는 . Jordan 표준형을 찾아서, 을 만족하는 를 찾는다.

 .

Sage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 0 24 4 0]

[ -2/15 1 0 8 0]

[-12/25 1/2 0 0 0]

[ 1/25 0 0 0 1]

[ 3/25 0 0 0 0]


3.

(단, 이 행렬의 JCF는 )

Ans, 라고 하고, 이므로

(a)

을 풀면 이다. 는 그 값이 바뀌어도 된다. 결과적으로 나오는 는 둘 다 를 만족한다.

(b) 을 풀면 이다. 위에서 구한 을 이용하여 을 풀면 이다.

정리하면 이다.

추가적으로 문제에서 구한 인지 확인해 보면 아래와 같다.

,


4. (단 이 행렬의 Jordan Canonical Form은 )

Ans 에서 만일 행렬 의 열벡터 라고 하면

이다. 는 행렬 J의 첫 번째 열이 Jordan block의 첫 번째 열이면 0이고, 아니라면 1이다. 따라서 이다. 즉 이면 는 행렬 의 고유값 에 대응하는 고유벡터이고, 이라면 이다. 행렬 의 고유값은 이고 대수적 중복도는 2이므로 , +에서 ()

  

() 

  

가 됨을 아래와 같이 확인할 수 있다.

 


5. (단 이 행렬의 Jordan Canonical Form은

Ans위 4번과 마찬가지로

4, 4+, 4+에서

()

() 

()

,

  


6. (단 이 행렬의 Jordan Canonical Form은 )

Ans위 5번과 마찬가지로

2, , +에서

 and

,

        


7. 다음 Jordan 표준형 에 대해 다음을 구하여라.

이고 rank()이다.

(a) 와 rank()

(b) 와 rank()

(c) 와 rank()

(d) 와 rank()

(e) 와 rank()

Ans(a)     rank()

(b)  rank()

(c)  rank()

(d)  rank()

(e)  rank()

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