2.1 선형연립방정식

chpter 2.선형 연립방정식 (전자책)


 동영상 강의 주소 : http://youtu.be/AAUQvdjQ-qk

많은 미지수를 갖는 선형연립방정식은 날씨의 분석, 공학, 경제학, 교통흐름분석, 다양한 의사결정에서 나타난다. 선형연립방정식의 연구와 해법은 선형대수학에서 가장 중요한 주제이다. 이 절에서는 어떤 문제에서 선형연립방정식 모델이 만들어지며, 그 해를 구하는 것 과정과 해의 기하학적 의미가 무엇인지에 대해 알아본다.


2.1 연습문제


학생 문제풀이 http://youtu.be/N5ltl-bfdvk 


[1-2] 다음 선형연립방정식에 대하여 물음에 답하여라.


1.

(1) 계수행렬을 구하여라.

(2) 선형연립방정식을 모양으로 나타내어라.

(3) 첨가행렬을 구하여라.


2.

(1) 계수행렬을 구하여라.

(2) 선형연립방정식을 모양으로 나타내어라.

(3) 첨가행렬을 구하여라.


[3-4] 첨가행렬이 다음과 같은 선형연립방정식을 구하여라. (단, 미지수는 으로 놓아라.)


3.


4.


[5-7] 다음 선형연립방정식 각각의 해의 개수를 구하여라.


5.


6.


7.


8. 다음 연립방정식의 해집합에서 선행변수와 자유변수의 개수를 각각 구하여라.

 


9. 차 정사각행렬의 번째 주대각선성분이 이항계수

일 때, 그 행렬 주대각선성분들의 합 을 구하여라.

Ans       


토론과 발표


P1. 는 무수히 많은 해를 가지는 선형연립방정식

 (★)

의 하나의 해이다. 그리고

이 동차연립방정식

의 해집합이다. 그러면 (★)의 해집합은 무엇인가?

Ans [그림 3.5.1 참조]    


P2. 일반적으로 개의 미지수를 가진 개의 선형연립방정식

가 있다. 이 식에서 만일 자유변수가 개라면 선행변수는 몇 개인가? 이것으로부터 자유변수와 선행변수 그리고 미지수의 개수 사이의 관계를 생각해보아라.

Ans 

1. 선행변수는 가 된다. 즉,

2. 선행변수의 개수자유변수의 개수미지수(변수)의 개수임을 알 수 있다.

방정식을 풀 때, 우선 선행변수의 정의에 따라 각 방정식에서 처음 나타나는 계수가 0이 아닌 변수를 선행변수로 두고, 나머지 변수들은 모두 자유변수로 둔다. 따라서 선행변수의 개수는 전체 미지수의 개수에서 자유변수의 개수를 뺀 것이 된다. 그러므로 자유변수의 개수가 개일 경우 선행변수는 개가 된다.

그리고 (자유변수의 개수)(선행변수의 개수)(전체 미지수의 개수)가 된다.


P3. 주어진 조건을 만족하는 3개의 미지수와 3개의 식으로 구성된 선형연립방정식의 해집합 (1), (2), (3)이 있다. 각각의 해집합의 기하학적 모양을 그림 2.1.4에서 선택하여라.

(1) 매개변수가 1개인 해집합

(2) 매개변수가 2개인 해집합

Ans (1) (2) (3)

     


P4. CAS를 이용하여 벡터 를 3개의 벡터 , , 의 일차결합으로 나타낼 수 있는지를 결정하여라. 만일 나타낼 수 있다면, 를 위의 세 벡터의 일차결합으로 표현하여라.

Ans



Whatis more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)

선형 연립방정식 Linear equations and matrices