2.2 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법

chpter 2.선형 연립방정식 (전자책)

 동영상 강의 : http://youtu.be/HSm69YigRr4

이 절에서는 선형연립방정식을 풀 때 자주 쓰던 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록 한다. 이 방법은 주어진 선형연립방정식의 첨가행렬로부터 시작하여 사다리꼴 모양의 행렬을 만들어내는 것이다. 주어진 선형연립방정식과 같이 얻어진 사다리꼴 행렬에 대응하는 선형연립방정식은 동치이며, 같은 해를 갖는다는 사실을 이용한다.

2.2 연습문제

 동영상 문제풀이 : http://youtu.be/sJeomjbRFmE

[1-5] 다음 행렬 중 REF와 RREF인 것을 찾고, RREF가 아닌 것은 RREF로 변형시켜라.

1.

2.

3.

4. 5.

[6-7] 다음 행렬과 행동치인 행렬을 3개 이상 찾아라.

6.

7.

[8-9] 다음 연립방정식을 Gauss 소거법으로 풀어라.

8.

9.

[10-11] 다음 연립방정식을 Gauss-Jordan 소거법으로 풀어라.

10.

11.

12. 아래 첨가행렬에 대응하는 선형연립방정식에 대하여 다음을 구하여라.

(1) 해를 갖지 않기 위한 의 조건

(2) 유일한 해를 갖기 위한 의 조건

(3) 무수히 많은 해를 갖기 위한 의 조건

13. 다음 동차연립방정식의 해집합의 자유변수 개수를 구하여라.

토론과 발표

P1. 주어진 첨가행렬에 대응하는 선형연립방정식을 생각해 보자. 의 경우 해가 존재하지 않고, 의 경우 해가 존재하는 행렬 와 열벡터 를 하나씩 구하여라.

P2. 다음을 해집합으로 갖는 미지수 4개, 방정식 3개로 이루어진 동차선형연립방정식을 하나 작성하여라.

P3. 다음 세 점 를 지나는 포물선 를 구하기 위하여 세 점을 대입하면 3개의 선형방정식을 얻게 된다. 이것으로 선형연립방정식 를 만들어 계수 를 구해보아라.

P4. 세 점 , , 를 통과하는 -공간에 있는 평면의 방정식을 구하여라.

P5. 차 정사각행렬의 REF를 구하기 위하여 필요한 최대의 기본행연산의 횟수를 구하여라.(이어서 RREF에 대하여도 생각해보아라.)

Ans       ■

P6. 다음 조건을 만족하는 네 개의 미지수를 갖는 네 개의 식으로 구성된 일차 연립방정식을 구성하여라.

(a) 한 개의 미지수로 이루어진 해집합

(b) 두 개의 미지수로 이루어진 해집합

(c) 세 개의 미지수로 이루어진 해집합

P7. 다음 연립방정식은 선형방정식이 아니지만 Gauss 소거법을 이용하여 풀이할 수 있다. 다음 연립방정식의 해의 존재성을 논하여라.

[도움말 : 삼각함수값의 범위 이용]

P8. 만일 연립방정식

이 유일한 해 을 갖는다면 연립방정식

의 해에 대하여 무엇을 말할 수 있는가?

P9. 아래 연립방정식의 해를 구하여라.

Ans x=2/7, y =47/15, z =-149/140