2.3 선형연립방정식의 응용

chpter 2.선형 연립방정식 (전자책)


 동영상 강의 : http://youtu.be/G790BLDSK5g


이 절에서는 선형연립방정식의 다양한 예를 다룬다. 이 중에 전자회로, 교통망, 생산문제 등 주위의 흥미 있는 문제가 많이 있다. 마지막으로 컴퓨터 프로그램(CAS)을 이용하여 REF를 구하는 예제를 소개한다.


2.3 연습문제


 동영상 문제풀이 : http://youtu.be/vx_6rTJq5jk


1. 다음 그림은 일방통행도로의 교통량을 표시한 것이다. 표시된 숫자는 시간당 평균 교통량을 의미한다. 다음 물음에 답하여라.

(1) 미지의 교통량을 표시하는 를 구하기 위한 연립방정식만 작성하여라.

Ans 이다.   


2. 다음 각 회로도에서 전류 를 구하는 연립방정식을 각각 작성하여라. (수학적모델링)

(1)

(2)

Ans (1)  …①

         …②

            …③

①번 식은 키르히호프 전류법칙에 의해 노드에 들어온 전류의 대수적 합은 0이므로 나온 식이다.

②번 식은 왼쪽 폐회로에서 시계방향의 경로에 따라 전압상승의 합은 0이므로 나온 식이다.

③번 식은 오른쪽 폐회로에서 시계방향의 경로에 따라 전압상승의 합은 0이므로 나온 식이다.

주어진 식을 행렬로 나타내면 아래와 같이 나온다.

var('x,y,z')

eq1= x -y -z == 0

eq2= 90 - 10*x -30*y == 0

eq3= 30*y - 60*z == 0

solve([eq1, eq2, eq3], x,y,z)

풀어보면, 이다.


(2) 키르히호프 전류법칙(하나의 노드에 들어온 전류와 나가는 전류의 대수적인 합이 같다)에 의해 나온 식.

  … ①

 … ②

 … ③

⇒ 키르히호프 전압법칙(닫힌 경로에서의 전압상승의 값의 합은 0이다)에 의해 나온 식이다. 전류가 전압원을 ()에서 (+)쪽으로 흐르면 전압은 상승하고 저항을 지나면 전압이 하강한다.

,. ■


토론과 발표


P1. 다음 동차연립방정식이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은?

Ans 이 자명하지 않은 해를 가지기 위한 조건은 이어야 하므로

 이다.        


P2. 다음과 같은 선형방정식

은 변수보다 조건식이 적어 해가 존재하면 무수히 많은 해를 가지거나 아니면 아주 해가 존재하지 않는 경우로, 조건이 부족한(underdetermined) 선형연립방정식이라 하고,

은 변수의 개수보다 조건식이 많아 세 가지 경우가 모두 생길 수 있다. 이런 경우를 조건이 넘치는(overdetermined) 선형연립방정식이라고 부른다. 이때 아래 물음에 답하여라.


(1) 조건이 부족한 선형연립방정식의 예를 하나 찾아라.

(2) 조건이 넘치는 선형연립방정식의 예를 하나 찾아라.

(3)해를 갖지 않으면서 조건이 부족한 선형연립방정식의 예를 하나 찾아라. 만일 찾지 못한다면 그 이유를 설명하여라.

(4)해를 갖지 않으면서 조건이 넘치는 선형연립방정식의 예를 하나 찾아라. 만일 찾지 못한다면 그 이유를 설명하여라.


Ans

(1)

(2)

(3) 의 꼴에서 rank()와 rank([])가 같지 않으면 해가 없다.

(4)       


P3. 연습문제 2.3의 1번에서 연립방정식을 세웠다. 인 경우는 쉽게 , , 임을 확인할 수 있다. 일반적으로 들의 가능한 해의 범위에 대하여 논의해보아라.


P4. 이 절에서 우리는 선형연립방정식에 대한 응용을 제시하였다. 몇 가지 인터넷 검색도구를 이용하여 선형연립방정식과 관련된 실생활 문제나 본인의 전공과 관련된 모델을 찾아보고, 그 중 하나를 선택하여 문제나 예를 한 문단으로 요약하여 서술하여라.

Hint : 기계공학에 쓰이는 선형대수학,

http://youtu.be/cxdj7hDWk08