3.1 행렬연산

chapter 3.행렬과 행렬대수 (전자책)


 동영상 강의 : http://youtu.be/JdNnHGdJBrQ


이 절에서는 행렬 사이의 덧셈연산과 스칼라곱셈연산을 정의하고, 행렬연산의 대수적 성질을 소개한다. 이중 많은 성질은 실수연산과 일치하지만, 일부 성질은 다른 것을 볼 수 있다. 행렬연산은 실수연산의 일반화된 모습이다.


3.1 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/LaAAruKbGyc

 

[실습] http://matrix.skku.ac.kr/2012-LAwithSage/interact/worksheet.html


[1-2] 행렬

 

일 때, 다음을 확인하여라.


1.

2.


[3-4] 행렬

이고 일 때, 다음을 확인하여라.


 

3.

4.


[5-6] 행렬

 

일 때, 다음을 확인하여라.


5.

6.


7. 행렬 가 2차의 정사각행렬이고 , 일 때 이 성립하는 적절한 예를 하나 주어라.


8. 행렬

  일 때, 이지만 임을 확인하여라.


[9-10] 행렬 에 대하여 다음을 계산하여라.


 

9.

10.


[11-12] 아래 행렬의 거듭제곱을 계산하여라.


11.


12.


13. 아래 행렬 중 과 언제나 같은 행렬은?

, , ,

,


14. 정사각행렬 이면 임을 보여라.


15. 번째의 원소를 1로 가지고 나머지는 모두 0인 단위열벡터(unit column vector)라 하자. 임의의 행렬 에 대하여 다음을 계산하여라.

(a) (b) (c)


토론과 발표


P1. 행렬이고 가 스칼라일 때,

이면 또는 임을 증명하여라.


P2. 일반적으로 인 이유를 설명하고 이를 보여주는 행렬 를 한 쌍 주어라.


P3. 차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립함을 보여라.

(1)

(2)

(3)

(4)


P4. 대각합의 성질 을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하여라.

Ans위의 식을 만족하는 가 존재한다고 가정하자. 라는 식의 양변의 를 취하면 .    (a)

그러나

  (113쪽 정리 3.1.5(4)에 의해)

 

이므로 (a)식의 양변은 서로 다르다. 따라서 모순이다. 따라서 위 식을 만족하는 는 존재하지 않는다.


P5. 행렬일 때, 이라고 놓으면 는 다음과 같이 두 행렬의 곱으로 표시됨을 보여라.

이때 의 값은 무엇인가?


P6. 가 실수 성분을 갖는 행렬과 벡터라고 생각해보자. 이라 하면,

(a) 임을 증명하여라.

(b)임을 증명하여라.

(c) 의 벡터 에 대하여

,

꼴의 열벡터로 표현하면

 

        

        

        

이므로 벡터 의 dot product와 같음을 알 수 있다. 이 사실과 세종대왕(King Sejong)의 법칙과의 관계를 논하여라.


P7. 만일 가 모두 3차 행렬이고 의 두 번째 열이 첫 번째 열과 세 번째 열의 합이라면 의 두 번째 열은 무엇이라고 얘기할 수 있는가?



실습: