3.2 역행렬

chapter 3.행렬과 행렬대수 (전자책)

 동영상 강의 : http://youtu.be/yeCUPdRx7Bk

이 절에서는 정사각행렬 연산 중 실수에서의 역수와 같은 역할을 하는 역행렬에 대해 소개한다. 그리고 역행렬의 성질을 살펴본다. 많은 성질이 실수연산과 일치하지만, 일치하지 않는 경우를 보게 될 것이다.

3.2 연습문제

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/-MPszmMNvLE

[1-4] 가 의 역행렬임을 보여라.

1. ,

2. ,

3.

4.

[5-10] <정리 3.2.2>와 아래 행렬을 이용하여 질문에 답하여라.

, ,

5. 에 를 각각 곱하여 를 구하여라.

6. 임을 확인하여라.

7. 임을 확인하여라.

8. 임을 확인하여라.

9. 임을 확인하여라.

10. 임을 확인하여라.

Ans 임을 확인하면 된다.     ■

11. 만일 이면 임을 보여라.

Ans

따라서 이다.   ■

토론과 발표

P1. 정사각행렬 에 대하여 다음이 왜 성립하는지 설명하여라.

(a) 가 행이나 열 전체가 0인 행이나 열을 포함하면, 는 비가역이다.

(b) 가 똑같은 행이나 열을 포함하면, 는 비가역이다.

(c) 하나의 행 또는 열이 다른 행 또는 열의 상수배로 표현된다면 는 비가역이다.

P2. 다음 질문에 답하여라.

(a) 대각선행렬은 어떤 조건에서 가역행렬이 되는가? 또 가역행렬이라면, 그 역행렬은 어떤 형태겠는가?

(b) 삼각행렬은 어떤 조건에서 가역행렬이 되는가? 또 가역행렬이라면 그 역행렬은 어떤 형태겠는가?

P3. 가 인 정사각행렬이다. 이때 가 되려면 어떤 조건이 필요할지 토론하여라.

P4. 행렬 가 을 만족하기 위한 가능한 모든 의 값을 결정하여라.

P5. 다음 연립방정식의 계수행렬이 가역임을 이용하여 임의의 실수 에 대하여 주어진 연립방정식의 해는 항상 존재함을 보여라.

P6. , = 일 때,

(a) 을 만족하는 행렬 를 구하여라.

(b) 을 만족하는 행렬 를 구하여라.

P7. 만일 를 만족하는 행렬 가 항등행렬이 아니면 는 비가역행렬임을 보여라.

P8. 이 열벡터이고 이다.

이때 이면 는 가역행렬이고

임을 보여라.

[Hint] 임만 보이면 된다.

P9. 가 가역행렬이 아닌데 이 항등행렬이 될 수 있는가? 설명하여라.

P10. 아래 행렬의 거듭제곱 (2, 3, 4, 5)를 계산하여라.

P11. 위 P10의 행렬 에 대하여 를 구하여라.

실습: