3.3 기본행렬

chapter 3.행렬과 행렬대수 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/oQ2m6SSSquc


앞 절에서 정사각행렬의 역행렬을 정의하였다. 이 절에서는 기본행렬과 기본행연산을 이용하여 역행렬을 구하는 과정을 설명한다.


3.3 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/ceI80eXp6xU

[실습] http://matrix.skku.ac.kr/2012-LAwithSage/interact/worksheet.html


1. 다음 행렬 중 기본행렬을 골라라.

(1) (2)

(3) (4)


2. 다음 기본행연산에 대응하는 기본행렬을 구하여라.

(1)

(2)

(3)


3. 다음 기본행렬의 역행렬을 구하여라.

(1) (2) (3)


4. 다음 행렬 중 치환행렬을 골라라.

(1) (2)

(3) (4)


5. 기본행연산을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.

(1) (2)


6. 이라고 하고, 를 임의의 행렬이라 하자.

(a) 가 어떤 행렬이고 원래 행렬의 행에 어떻게 영향을 미치는지 확인하여라.

(b) 가 어떤 행렬이고 원래 행렬의 열에 어떻게 영향을 미치는지 확인하여라.


7. 다음 행렬의 곱에 대한 역행렬을 구하여라.

 


8. 행렬 의 REF를 구하는 과정에서

 

을 얻었다. 기본행렬의 곱인 행렬 는?


9. 행렬 꼴로 표시하여라. 단, 는 기본행렬이고, 은 REF이다.


10. 만일 의 표현을 간단히 하기 위하여 행에 배 하여 행에 더하는 기본행연산(ERO)에 대응하는 기본행렬을 새로운 표현인 로 표시한다면 그의 역행렬 을 같은 행렬표현을 이용하여 구하여라.


토론과 발표


P1. 다음을 만족하는 행렬 , 를 구하고 기본행 연산(ERO)과의 관계를 설명하여라.

Ans 주어진 행렬의 행을 교환한 후 두 열을 교환한다. 그러므로 에 곱한 것과 같다.     


P2. 행렬 이 기본행렬이면 임을 보여라.

Ans 기본행렬이란 에 기본행연산을 한 번 해서 얻은 행렬이다. 이 아닌 경우, 주어진 행렬에 기본행 연산을 한번해서 위치를 으로 만들고 싶으면

라는 기본행연산을 하면 된다.

. 이렇게 위치를 으로 만들 수 있다. 하지만 이 행렬에서 이 아니면 Identity 행렬이 될 수 없다. 따라서 이 되어야 한다. 같은 방법으로 이 아니라면 이 되어야만 한다. 아니면 기본행렬이 될 수 없다. 즉 행렬 이 기본행렬이려면 , 둘 중 하나는 이 되어야 한다. 즉 이어야 한다. 


[P3-P6] 다음을 증명 혹은 반례를 들어 설명하여라.


P3. 모든 정사각행렬은 기본행렬의 곱으로 표현가능하다.

Ans 비가역 행렬인 경우는 불가능하다.   


P4. 만일 행렬 가 가역행렬이면, 의 1행에 2배 하여 3행에 더한 행렬 또한 가역이다.

Ans 두 행렬의 RREF가 단위행렬로 같으므로 모두 가역이다.      


P5. 만일 정사각행렬 가 기본행렬의 곱으로 표현가능하면 동차연립방정식 은 자명한 해만을 갖는다.

Ans 정사각행렬 가 기본행렬의 곱으로 표현가능하면 가역행렬이므로 동차연립방정식 은 자명한 해만을 갖는다.  


P6., 가 기본행렬(세 가지 종류)이면 이다.

Ans 실제 기본행렬의 경우 세 가지 종류 경우 모두 등식이 성립함을 확인하여라.    


P7. 행렬 일 때 차의 Hibert 행렬이라 한다.

(a) , , , 를 구하여라.

(b) Hilbert 행렬은 가역행렬이다. CAS를 이용하여 일 때 의 역행렬을 구하여라.

Ans

# Function definition for making a n x n Hilbert matrix

def hilbert_matrix(n):

 return matrix([[1/i for i in [j..j+(n-1)]] for j in [1..n]])

G = hilbert_matrix(3);G

 [[ 1 1/2 1/3],[1/2 1/3 1/4],[1/3 1/4 1/5]]


S=G.inverse();S

 [[ 9 -36 30],[ -36 192 –180],[ 30 –180 180]]


S*G # 항등행렬