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3.6 특수행렬들(Special matrices)

chapter 3. 행렬과 행렬대수 (전자책)

동영상 강의 주소: http://youtu.be/jLh77sZOaM8

앞에서 행렬의 연산에 대한 다양한 특성을 보았다. 본 절에서는 자주 이용되는 특수한 행렬들을 소개하고 그 행렬이 갖는 주요 성질을 학습한다.

3.6 연습문제

동영상 문제풀이: http://youtu.be/rYBsPkeVhQ0

[1-2] 다음 행렬이 가역인지 확인하고 가역이면 특수행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하여라.

1.

2.

[3-5] 특수행렬의 성질을 이용하여 행렬의 곱을 구하여라.

3.

4.

5.

[6-7] 다음 주어진 행렬 에 대하여 , , 를 구하여라.

6.

7.

[8-10] 다음 행렬이 가역행렬이 될 수 있는 값은?

8.

var('x')

A=matrix(3, 3, [x+2, x^5, 0, 0, x-3, x^7, 0, 0, x-4]);A

[x + 2 x^5 0]

[ 0 x - 3 x^7]

[ 0 0 x - 4]

A.det()

(x - 4)*(x - 3)*(x + 2)

solve([A.det()==0],x)# 가역이 안되게 하는 x 값을 구한다.

[x == -2, x == 3, x == 4]

위의 x 값을 제외한 모든 실수 ■

9.

Ans 기본행렬 에 대해 이다.

가 가역이면

(기본행렬은 가역이므로 가 존재)

이므로 도 가역이고, 가 가역이면

이므로 도 가역이다.

따라서 가 가역일 조건을 찾으면 된다.

1) 이라면 는 비가역이다.

2) 이라면 의 RREF가 이므로 가역이다.

답 : 0을 제외한 모든 실수. ■

10.

Ans 인 모든 실수 ■

[11-12] 다음 행렬이 반대칭(skew-symmetric) 행렬이 될 수 있도록 부분을 채워라.

11.

Ans

12.

Ans 를 만족해야 하므로 가 된다. ■

13. 다음 행렬 가 대칭행렬(symmetric matrix)이 되는 모든 값을 구하여라.

Ans

이기 위해서는 이어야 한다. 이 연립방정식을 풀면

. ■

14. 다음 행렬 가 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이 될 수 있도록 값을 주어라.

Ans

이기 위해서는

이어야 한다. 연립방정식을 풀면

. ■

토론과 발표

P1. (a) 크기의 대각선행렬 중 를 만족하는 행렬을 모두 찾아라.

(b) 크기의 대각선행렬 중 를 만족하는 행렬은 모두 몇 개인가?

Ans (a) , , , , , , ,

(b) 개 ■

P2. 대칭행렬이면서 반대칭행렬인 행렬의 모양에 대하여 토론해보아라.

Ans 가 대칭행렬이면서 반대칭행렬이면

■

P3. 크기의 대칭행렬에서 서로 다른 0 이외의 성분을 가질 경우의 수는 얼마인가? 또 동일한 크기의 반대칭행렬에 대해서는 어떻게 말할 수 있는가?

Ans 1열에 1개, 2열에 2개, 3열에 3개, , 열에 개가 된다. 총 개수는 개이며, 반대칭행렬 주대각선 성분이 모두 영이므로 같은 논리로 를 얻을 수 있다. ■

P4. 만일 이면, 임을 보여라.

Ans 수학적 귀납법에 의하여,

일 때는 이므로 당연히 성립한다.

일 때 이라 하면,

에 대하여 이다. 따라서

이 되므로, 모든 에 대하여 성립한다. ■

P5. 대각선행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 대각성분이 모두 0이 아니라는 것을 증명하여라.

Ans 대각선행렬의 주대각선성분 중 하나라도 영인 것이 있으면 REF에는 영행이 존재한다. ■

P6. 가 가역이고 대칭행렬이라면, 도 대칭행렬임을 증명하여라.

Ans 가 가역이고, 대칭행렬이면 이다. 행렬 의 크기를 이라고 하면 다음이 성립한다.

도 대칭행렬이다. ■

P7. 정사각행렬 에 대해 되는 양의 정수 가 존재하면 이를 nilpotent 행렬이라고 부른다. 주대각 원소가 모두 0인 상삼각행렬(이를 strictly triangular matrix라고 한다)은 nilpotent 행렬이 되는데,

(a), , 행렬의 경우에 대하여 CAS를 이용하여 이것을 확인해보아라.

(b) 행렬에 대하여 어떤 성질이 성립할지 추측해보고 행렬에 대하여 확인해보아라.