4.1 행렬식의 정의와 기본정리

chapter 4. 행렬식 (전자책)


1. http://youtu.be/Vf8LlkKKHgg

2. http://youtu.be/_3WRlwDUU9Y

 


이 절에서는 임의의 정사각행렬 에 대하여 어떤 실수 를 대응시키는 함수 중에서 특히 중요한 행렬식 함수에 관하여 살펴보기로 한다. 행렬식 함수를 정의하기 위하여 먼저 치환(순열)에 관하여 알아보고 행렬식 함수들이 가지는 성질에 대해 알아본다.


4.1 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/Fne4gaZtE_Q


1. 의 치환 의 반전의 개수를 구하여라.

Ans 치환 (1 3 2 5 4)의 반전의 개수는 0+1+0+ 1+0=2, 2개.

Permutation([1,3,2,5,4]).inversions()
# 반전이 이루어진 곳을 찾는다.

[[1, 2], [3, 4]]


Permutation([1,3,2,5,4]).number_of_inversions() # 반전의 개수

2


2. 의 치환 이 짝치환인지 홀치환인지를 말하여라.

Ans 치환 (2 1 4 3)의 반전의 개수는 1+0+1+0=2.

반전의 개수가 짝수이므로 짝치환이다.


Permutation([2,1,4,3]).number_of_inversions()


Permutation([2,1,4,3]).is_even()
# 치환이 짝치환인지 물어본다.

True 


3. 행렬식의 정의를 이용하여 행렬식

을 구하여라.

Ans 6 


4. 다음 행렬식을 구하여라.

(1) (2)

Ans (1) -15

A=matrix(3,3, [-3, 5, 1, 1, 0, -2, 0, 3, 0]);A

A.det()# 행렬식을 구한다.

-15 


(2) -1 


[5-8] 차의 정사각행렬이고 일 때, 다음을 구하여라.


5.

Ans 


6.

Ans       


7.

Ans 


8.

Ans
     


9. 다음 행렬 에 대하여 행렬식을 구하여라.

 

Ans0

var('a')

A=matrix(3,3,[a, a^4, a^7, a^2, a^5, a^8, a^3, a^6, a^9]);A

[ a a^4 a^7]

[a^2 a^5 a^8]

[a^3 a^6 a^9]


A.det() 

0      


10. 행렬식의 성질을 이용하여 아래 두 행렬식이 같은 이유를 설명하여라.

 

Ans의 2행에 을 곱하면 가 되고 여기에 또 2열에 을 곱하면 가 된다. 그러므로

LHS

 =

가 된다.

가 성립한다. 


11. 행렬이 아래와 같다고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

,

(1) 임을 보여라.

(2) 임을 보여라.

(3) 임을 보여라.

Ans(1) ,


A=matrix(3, 3, [1, 0, 2, 0, 5, 0, 3, 0, 4]);A

[1 0 2]

[0 5 0]

[3 0 4]


B=matrix(3, 3, [1, 2, 0, 3, 4, 0, 0, 0, 5]);B

[1 2 0]

[3 4 0]

[0 0 5]


A.det() 

-10


A.transpose().det() 

(2)


(3) ,

 ,

   


토론과 발표


P1.

일 때 인 이유를 직접적인 계산없이 설명하여라.

Ans2행에 를 곱하면 2행과 3행이 같아진다.

따라서 정리 4.1.7에 의하여 이다.  


P2. 아래 행렬 에 대해 왜 인지를 설명하여라.

Ans를 ERO 하면 이 되어 0인 행이 생긴다. 그러므로 이다. 


P3. 가 정사각행렬이고 이면 또는 임을 보여라.

Ans이므로 실수인 는 영이나 1이어야 한다.

그러므로 또는 이다.  


P4. 두 정사각행렬 가 가역인 행렬 에 대하여 를 만족하면 임을 보여라.

Ans이면

 

즉, 이다.  


P5. 가 가역행렬이면 임을 보여라.

Ans이고 이므로 이다.    


P6. 차 정사각행렬 가 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이고 이 홀수이면 임을 보여라. 또한 인 4차 반대칭행렬의 예를 하나 제시하여라.

Ans이면 이다.

그러므로 이 홀수이면 이기 때문에 이고 (참고로 이 짝수이면 이어도 된다.) 4차 반대칭행렬

라 하면 이 된다.  


P7. 치환과 사다리타기 게임과의 관계를 생각해보아라.

Ans언제나 주어진 각각의 치환과 각각의 사다리타기 게임은 둘 다 일대일 대응함수임을 알 수 있다. 따라서 주어진 사다리타기 게임은 대응하는 치환을 이용하여 다룰 수도 있다.         


P8. 만일 가 상수이면 아래의 식의 그래프는 두 점 를 지나는 직선임을 증명하여라.


P9. 아래 행렬식에 대한 간단한 공식을 찾아라.

실습: