4.1 행렬식의 정의와 기본정리
1. http://youtu.be/Vf8LlkKKHgg
2. http://youtu.be/_3WRlwDUU9Y
이 절에서는 임의의 정사각행렬 
에 대하여 어떤 실수 
를 대응시키는 함수 중에서 특히 중요한 행렬식 함수에 관하여 살펴보기로 한다. 행렬식 함수를 정의하기 위하여 먼저 치환(순열)에 관하여 알아보고 행렬식 함수들이 가지는 성질에 대해 알아본다.
4.1 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/Fne4gaZtE_Q
1. 
의 치환 
의 반전의 개수를 구하여라.
Ans 치환 (1 3 2 5 4)의 반전의 개수는 0+1+0+ 1+0=2, 2개.
|
Permutation([1,3,2,5,4]).inversions() |
[[1, 2], [3, 4]]
|
Permutation([1,3,2,5,4]).number_of_inversions() # 반전의 개수 |
2
2. 
의 치환 
이 짝치환인지 홀치환인지를 말하여라.
Ans 치환 (2 1 4 3)의 반전의 개수는 1+0+1+0=2.
반전의 개수가 짝수이므로 짝치환이다.
|
Permutation([2,1,4,3]).number_of_inversions() |
2
|
Permutation([2,1,4,3]).is_even() |
True
3. 행렬식의 정의를 이용하여 행렬식
을 구하여라.
Ans 6 ■
4. 다음 행렬식을 구하여라.
(1) 
(2) 
Ans (1) －15
|
A=matrix(3,3, [-3, 5, 1, 1, 0, -2, 0, 3, 0]);A |
|
A.det()# 행렬식을 구한다. |
－15
(2) －1 ■
[5-8] 
가 
차의 정사각행렬이고 
일 때, 다음을 구하여라.
5. 
Ans
■
6. 
Ans
■
7. 
Ans
■
8. 
Ans
■
9. 다음 행렬 
에 대하여 행렬식을 구하여라.
Ans0
|
var('a') A=matrix(3,3,[a, a^4, a^7, a^2, a^5, a^8, a^3, a^6, a^9]);A |
[ a a^4 a^7]
[a^2 a^5 a^8]
[a^3 a^6 a^9]
|
A.det() |
0 ■
10. 행렬식의 성질을 이용하여 아래 두 행렬식이 같은 이유를 설명하여라.
Ans
의 2행에 
을 곱하면 
가 되고 여기에 또 2열에 
을 곱하면 
가 된다. 그러므로
LHS
=
가 된다.
가 성립한다. ■
11. 행렬이 아래와 같다고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
, 
(1) 
임을 보여라.
(2) 
임을 보여라.
(3) 
임을 보여라.
Ans(1) 
, 
|
A=matrix(3, 3, [1, 0, 2, 0, 5, 0, 3, 0, 4]);A |
[1 0 2]
[0 5 0]
[3 0 4]
|
B=matrix(3, 3, [1, 2, 0, 3, 4, 0, 0, 0, 5]);B |
[1 2 0]
[3 4 0]
[0 0 5]
|
A.det() |
-10
|
A.transpose().det() |
(2) 
(3) 
,
, 
■
토론과 발표
P1. 
일 때 
인 이유를 직접적인 계산없이 설명하여라.
Ans2행에 
를 곱하면 2행과 3행이 같아진다.
따라서 정리 4.1.7에 의하여 
이다. ■
P2. 아래 행렬 
에 대해 왜 
인지를 설명하여라.
Ans
를 ERO 하면 
이 되어 0인 행이 생긴다. 그러므로 
이다. ■
P3. 
가 정사각행렬이고 
이면 
또는 
임을 보여라.
Ans
이므로 실수인 
는 영이나 1이어야 한다.
그러므로 
또는 
이다. ■
P4. 두 정사각행렬 
가 가역인 행렬 
에 대하여 
를 만족하면 
임을 보여라.
Ans
이면
즉, 
이다. ■
P5. 
가 가역행렬이면 
임을 보여라.
Ans
이고 
이므로 
이다. ■
P6. 
차 정사각행렬 
가 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)이고 
이 홀수이면 
임을
보여라. 또한 
인 4차 반대칭행렬의 예를 하나 제시하여라.
Ans
이면 
이다.
그러므로 
이 홀수이면 
이기 때문에 
이고 (참고로 
이 짝수이면 
이어도
된다.) 4차 반대칭행렬
라 하면 
이 된다. ■
P7. 치환과 사다리타기 게임과의 관계를 생각해보아라.
Ans언제나 주어진 각각의 치환과 각각의 사다리타기 게임은 둘 다 일대일 대응함수임을 알 수 있다. 따라서 주어진 사다리타기 게임은 대응하는 치환을 이용하여 다룰 수도 있다. ■
P8. 만일 
가 상수이면 아래의 식의 그래프는 두 점 
를 지나는 직선임을 증명하여라.
P9. 아래 행렬식에 대한 간단한 공식을 찾아라.
실습: