4.3 크래머 공식

chapter 4. 행렬식 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/m2NkOX7gE50


선형연립방정식의 해를 구하는 공식을 만들면 실제 계산은 복잡하더라도 해의 성질을 조사할 때는 매우 유용하다. 이제 개의 미지수를 가지는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식의 해를 구하는 크래머 공식 (Cramer's rule)을 소개한다.


4.3 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/Ygu4_7I4fGQ


1. 다음 주어진 선형연립방정식

 

에 대하여 다음 물음에 답하여라.


(1) Gauss-Jordan 소거법을 이용하여 그 해를 구하여라.

(2) 크래머 법칙을 이용하여 그 해를 구하여라. 그리고 그 결과가 (1)과 일치하는지 확인하여라.

Ans(1) RREF 구하면 이므로 이다.

A=matrix(QQ, 3, 4, [2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2]);A  # 첨가행렬 입력

A.echelon_form() # RREF


(2)이므로 

 이다.       


2. 다음 주어진 선형연립방정식

 

를 크래머 법칙을 이용하여 그 해를 구하여라.

Ans

     


[3-4] 다음 선형연립방정식을 크래머 법칙을 이용하여 그 해를 구하여라.


3.

Ans계수행렬을 라 하면

, ,

    


4.


[5-8] 다음 연립방정식을 크래머 법칙을 이용하여 그 해를 구하여라.


5.

Ans, ,

A=matrix(QQ, 3, 4, [1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 6, 1, 2, 3, 9]);A

A.echelon_form() 

[1 0 0 1]

[0 1 0 1]

[0 0 1 2]


d=A.matrix_from_columns([0, 1, 2]).det()

A1=A.matrix_from_columns([3, 1, 2]).det()

A2=A.matrix_from_columns([0, 3, 2]).det()

A3=A.matrix_from_columns([0, 1, 3]).det()

x=A1/d;x 

1


y=A2/d;y 

1


z=A3/d;z 

2      


6.

Ans, =      


7.

Ans,    


8.

Ans


A=matrix(QQ, 4, 5, [1, 1, 0, 0, 4, 0, 1, 1, -2, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0]);A

[ 1 1 0 0 4]

[ 0 1 1 -2 1]

[ 1 0 2 1 0]

[ 1 1 0 1 0]


A.echelon_form() 

[ 1 0 0 0 26/3]

[ 0 1 0 0 -14/3]

[ 0 0 1 0 -7/3]

[ 0 0 0 1 -4]


d=A.matrix_from_columns([0, 1, 2, 3]).det()

A1=A.matrix_from_columns([4, 1, 2, 3]).det()

A2=A.matrix_from_columns([0, 4, 2, 3]).det()

A3=A.matrix_from_columns([0, 1, 4, 3]).det()

A4=A.matrix_from_columns([0, 1, 2, 4]).det()

x=A1/d;x 

26/3


y=A2/d;y 

-14/3


z=A3/d;z 

-7/3


u=A4/d;u 

-4


토론과 발표


P1. 다음을 증명 혹은 반례를 제시하여라.

“미지수의 수가 이고 방정식의 수가 인 선형연립방정식은 언제나 크래머 법칙에 따라 해를 계산할 수 있다.”

[도움말 :비가역인 경우에는 적용이 불가능함.]

Ans가역인 경우에만 크래머 법칙이 성립한다. 비가역인 경우에 크래머 법칙의 이용은 불가능하다. 


P2. 크래머 법칙을 이용하여 다음 점을 지나는 3차 다항식

을 결정하여라.

Ans다항식의 에 주어진 점의 좌표를 대입해 연립하면

이라는 연립방정식이 나온다. 크래머 법칙을 이용해 풀면

따라서 다항식은 이다.    


P3. 을 Gauss 소거법과 크래머 법칙을 이용하여 각각 풀이한 결과를 비교하여 계산량이 적은 쪽을 결정하여라.

Ans<Gauss 소거법>

→ (3행112행) →

→ 계속 기본행연산을 취하면

그러므로 , ,

<크래머 법칙>

 

∴ 이 경우는 크래머 법칙으로 하는 것이 더 계산량이 적다.  


P4. 행렬식만을 이용하여 값을 구하여라. 그리고 연립방정식을 풀어서 구한 값과 비교하여라.