5.4 마코프 체인과 선형모델

chapter 5. 행렬모델 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/156ezier6HQ


사회과학분야, 특히 경영이나 경제에서 어떤 현상에 대해 분석하거나 이론을 정확히 표현하기 위해서 우리가 배우고 공부하는 수학적 기법을 이용한다. 경영분석을 위한 다양한 수학적 도구 중 하나로 Markov chain이 쓰이곤 한다.


5.4 연습문제


※다음에 주어진 내용을 읽고 다양한 선형모델에 대하여 논의하여라.


케이블 TV 모델

배경

우리는 몇 년에 걸쳐 두 개의 서로 다른 케이블 TV 사용자와 어떤 케이블 TV도 이용하지 않는 사람들의 수의 변화를 모델화시킨 문제에 대해 다뤄 보고자 한다. 이 모델은 일반적이고 평범한 것이기는 하지만, 인구 변화나 경제학 등 여러 다양한 현상들에 대해서도 적용가능하기 때문에 매우 중요한 모델이 될 수도 있다.

그림 5.4.5


예를 들어, 100,000명의 인구가 있다고 생각해보자. 처음에 15,000명은 A케이블 TV회사에, 20,000명은 B회사에 가입을 하고, 나머지 65,000은 어떤 회사에도 미가입한 상태라고 하자. 그렇다면 인구는 A회사 가입자, B회사 가입자, 미가입자 이렇게 세 가지 그룹으로 나누어지게 된다. 해마다 우리는 이 세 그룹 사이에서의 인구 변화를 기대할 수 있다. 이 세 그룹 사이에서 현재 자신의 그룹에 머물러 있는 사람들은 물론, 서로 다른 그룹으로 이동하는 사람들의 비율을 나타내보자.

이 변화하는 인구수는 행렬로도 표현 가능하다. 상태에서 상태로 변하는 사람들의 비율을 행렬의 열 성분에 표현하는데, 여기서 1 상태는 “A 회사 가입자”, 2 상태는 “B 회사 가입자”, 그리고 3 상태는 “미가입자”를 의미한다. 아래에 그렇게 만든 주어진 비율로 이루어진 전이행렬(transition matrix)이 있다.


초기값(즉, A회사, B회사의 가입자, 케이블을 사용하지 않는 사람들의 수)은 다음과 같은 벡터로 표현될 수 있다.


1년 후 각각 사람들의 수를 나타내는 벡터는 초기값과 행렬의 곱으로 나타난다.


위 식을 계산하면, 1년 후 A회사 가입자는 23,250명, B회사 가입자는 28,750명, 어떤 케이블도 사용하지 않는 사람은 48,000명이 됨을 확인할 수 있다.

해마다 이 세 그룹의 사람수를 알아보려면 위의 과정을 계속 반복하면 된다. 즉, 만약 전이행렬, 년 후의 사람수를 나타내는 벡터라고 하면,

 라는 식을 얻을 수 있다. 이 식은 으로 표현될 수도 있다.

아래의 도구는 전이행렬의 성분, 즉 초기값을 변화시켜줌으로써 이 모델을 연구할 수 있도록 해주고, 매년 그 해의 결과값을 보여줄 것이다. 우리는 도시 인구가 상수라고 가정하기 때문에, 행렬의 각 열의 합은 모두 1이 되어야 한다. 그리고 이 행렬의 모든 성분은 비율을 나타내기 때문에 0보다는 커야 한다.

그림 5.4.6 공학용 자바 도구


이런 종류의 모델의 한 가지 재미있는 특징은 그것이 일정한 값에 도달할 수도 있고, 그렇지 않을수도 있다는 점이다. 주어진 모델의 경우 결론의 상태는 일정한 값에 도달한다.

해의 수를 30까지 바꾸는 시도를 해보면 모델의 값이 A사는 33,333명의 가입자, B사는 47,619명, 비가입자는 19,048명으로 수렴한다는 것을 증명하는 것이 가능하다.

이런 선형모델이 어떤 조건 하에서 수렴할지를 말해주는 사실을 아래에 소개한다.


[수렴정리] 마코프체인 가 모든 초기 조건에 대해 에 수렴한다는 것은 아닌 의 모든 고유값 의 크기가 라는 것과 동치이다. (만약 고유값 의 값이 인 경우에 대해서는 중복도에 따라 달라질 수 있다.)

이 이론은 Perron의 정리에서 유도된다. 필요에 따라 아래 주소의 자료 내용을 참고하여라.

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/perron_frobenius/perron_frobenius.html 


위의 전이행렬 의 고유값은 1, , 이고, 위의 수렴정리에 의하여 이런 전이행렬을 갖는 위의 마코프체인은 어떤 주어진 조건에 대해서도 시간이 충분히 지나면 대응하는 확정된 시장점유율이 나온다는 것을 알 수 있으므로, 우리는 투자 조건이나 관련 규정을 다양하게 바꾸어 가면서 원하는 시장 점유율을 유지하기 위하여 어느 정도의 투자를 어떻게 해야 하는지에 대한 과학적인 답을 줄 수 있다.

위에서 보듯이 선형연립방정식과 관련 지식은 사회의 다양한 문제에 대한 과학적인 답을 주는 훌륭한 도구로 다시 태어나고 있다.



토론과 발표


P1. 본인의 전공과 관련한 선형모델 또는 행렬모델의 예에 대하여 조사하여 보아라.


참고 : 

http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/RealWorld/Summary1.html 

http://www.statsoft.com/textbook/general-linear-models/ 

http://agbs.kyb.tuebingen.mpg.de/km/bb/showthread.php?tid=2436 



명령어: http://math1.skku.ac.kr/home/pub/289/


선박용 프로펠러 시스템

What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)

마코프체인 Markov Chain