6.2 선형변환의 기하학적 의미

chapter 6. 선형변환 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/12WP-cb6Ymc


이 절에서는 선형변환이 주는 기하적의미를 학습한다. 주어진 이미지에 작은 변화들을 주어 만들어진 여러 개의 이미지들을 연속하여 보여주면 동영상이 만들어진다. 선형변환은 컴퓨터그래픽과 수치적 알고리즘에 응용되며 애니메이션과 같은 영역에 절대적으로 필요한 도구이다.


6.2 연습문제


[1-3] 라 하자. 다음 행렬에 의한 선형변환에 대한 의 이미지를 평면 위에 그려라.


1.

Ans


2.


3.

Ans


4. 다음 행렬에 의한 선형변환에 대한 의 이미지를 공간 위에 그려라.

Ans

  

축을 중심으로 반시계방향으로 만큼 회전이동한 이미지  



[5-8] 다음에 서술한 상의 선형변환의 표준행렬을 구하여라.


5. 각 성분을 로 줄이는 변환

Ans


6. 축 방향으로만 로 줄이는 변환


7. 축 방향으로만 로 줄이는 변환


8. 각 성분을 3배로 늘이는 변환

[도움말:http://matrix.skku.ac.kr/sglee/CMT/55.swf]



9. 임의의 벡터 를 원점을 지나고 축과 이루는 각이 인 직선에 대칭이동시키는 변환에 대하여 일 때 의 이미지를 구하여라.

Ans[예제 3번 참조]

   

(1/2*sqrt(3) - 3/2, 3/2*sqrt(3) + 1/2)



10. 임의의 벡터 에 대하여 원점을 지나고 축과 이루는 각이 인 직선에 정사영시키는 변환 에 대하여 일 때, 의 이미지 를 구하여라.

Hint[예제 4번을 참고하여]

 


[11-13] 다음 행렬 중 직교행렬인 것을 찾고, 직교행렬인 경우 그의 역행렬을 구하여라.

       11.

Ans,


이므로, 는 직교행렬.


12.


13.

Ans,

이므로 는 직교행렬

 


14. 다음 행렬에 의한 선형변환 에 대하여 를 구하고 그의 기하학적 위치관계를 말하여라.

         ,

Ans 


15. 에서의 방향으로의 만큼 층밀림 (shear) 변환을 다음과 같이 정의한다.

이때, 가 선형변환임을 보이고, 표준행렬을 구하여라.

??

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/55.swf 


Ansi)

ii)

∴ i)과 ii)에 의해 는 선형변환이다.

∴ 표준행렬


토론과 발표


P1. 아래 주어진 행렬을 표준행렬로 갖는 선형변환에 대하여

에 대한 이미지의 넓이를 각각 구하여라.

(1)  (2)

(3)        (4)

Ans

(1) 축으로 2배, 축으로 3배 늘린 직사각형

(2) 대칭

∴ 넓이는 1

(3) ∴

(4)

 ∴ 시계방향으로 만큼 회전이동


P2. 으로 정의하자. 가 선형변환임을 보이고 모든 에 대하여 는 직교함을 보여라.

Ans

  라고 하면,

  

  

  

그러므로 선형변환이다.

를 행렬변환으로 나타내면

즉, 는 모든 성분이 축에 놓이게 되고 축에 놓이게 된다. 그러므로 는 직교한다.



P3. 다음 행렬이 직교행렬이 되는 성분 *들을 구하여라.

 

Ans위의 행렬을 라고 한다. 직교행렬이면 이다.

,

or


P4. 다음 행렬의 가 어떤 조건을 만족해야 직교행렬이 되는지 구하여라.

Ans

그러므로 이어야 한다.


P5. 영 아닌 벡터 에 대하여 라고 하자. 여기서 란 시계 반대방향으로 각만큼 회전시키는 회전변환에 대응하는 표준행렬이다.

가 선형변환이 아님을 보이고 기하학적 의미를 서술하여라.

Ans

그러므로 선형변환 아니다. 그러나 부분은 선형변환임을 보일 수 있다.

이런 변환은 Affine 변환이라 한다.


P6. 정리 6.2.3의 (4)를 이용하여 직교행렬이면

임을 보여라.

[참고] 번째 열

AnsLHS

RHS


P7. 정리 6.2.3의 (2)를 이용하여 직교행렬 의 고유값 에 대하여 임을 보여라. (즉, 직교행렬의 고유값의 크기는 모두 1이다.)

Ans

,

      


P8. 예제 03예제 04를 Sage로 다루어 보시오.

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Sage Code Center

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