6.3 핵과 치역

chapter 6. 선형변환 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/H-P4lDgruCc


선형변환의 이미지가 영벡터인 정의역()의 부분집합이 부분공간이 됨을 보이고 이 부분공간이 갖는 성질을 알아본다. 또 모양은 다르지만 구조가 같은 부분공간들을 한 번에 설명할 수 있게 하는 선형사상을 소개한다.


6.3 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/7BF0JG7JMJ8


1. 다음 주어진 선형변환 에 대하여 핵(kernel)을 구하여라.

(1)

(2)

Ans

(1)

[ 0  2  3  0]

[ 1  1 -2  0]

[ 4  1  0  0]

[ 3 -1 -1  0]


Matrix_of_T.right_kernel() 

Vector space of degree 4 and dimension 1 over Symbolic Ring, Basis matrix:

[0 0 0 1]


(2)


2. 다음에 주어진 선형변환의 핵(kernel)과 치역(range)을 구하고 전단사를 판정하여라.

(1)

(2)

Ans

(1)

이므로 단사이다.

정리 6.3.5에 의해 단사인 선형변환은 전사이다.

      

      


Vector space of degree 2 and dimension 0 over Symbolic Ring, Basis matrix: [ ]


(2)

        

 단사가 아니다. 정리 6.3.5에 의해 단사가 아닌 선형변환은 전사도 아니다.


[3-5] 아래의 행렬에 의해 결정되는 핵(kernel)을 구하여라.


3.

Ans정리 6.3.2에서 핵은 의 해공간과 일치하므로,

 

 

         

를 임의의 실수 라고 하면 이다.

Free module of degree 2 and rank 1 over Integer Ring, Echelon basis matrix: [ 1 -1]


4.

Ans


5.

Ans정리 6.3.2에서 핵은 의 해공간과 일치하므로,

  

 

를 임의의 실수 라고 하면 위의 연립방정식에 의하여, 가 된다.


Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring, Echelon basis matrix: [ 1  0 -1]


6. 다음 선형변환의 핵(kernel)이 연립방정식의 해공간과 같게 되는 연립방정식을 행렬을 이용하여 표현하여라.

,

Ans


Vector space of degree 3 and dimension 0 over Symbolic Ring, Basis matrix:, [ ]


[7-8] 다음에 벡터 가 행렬 의 열공간에 속하는지 확인하고, 속한다면의 열들의 일차결합으로 를 표현하여라.


7. ,

Ans 

   

따라서 역행렬이 존재하며 의 열들의 일차결합으로 가 표현가능하다.

 

  


-158


[ -2/79]

[ 25/79]

[  6/79]

[-14/79]


8. ,

Ans

                    

∴ b는 의 열들의 일차결합으로 표현할 수 없다.


[9-10] 다음에 주어진 선형변환이 단사인지 아닌지를 판정하여라. 그리고 <정리 6.5.3>을 이용하여 전사인지 아닌지를 판정하여라.


9.

  

Ans이고, 이 단사일 필요충분조건은 동차연립방정식 이 자명한 해를 가질 때이고, 행렬의 이므로 의 역행렬이 존재하고 따라서 은 자명한 해를 가지므로 단사이다.

또한 이 선형변환이고, 가 단사이므로 정리 6.3.5에 의해 전사이다.


10.

  

  

Ans,

∴ 단사가 아니다. 그리고 전사도 아니다.


토론과 발표


P1. 의 각각의 부분공간이라 하자. 이 두 부분공간 사이에 선형변환 를 생각하자. 의 부분공간이라 하고

라고 하면, 의 부분공간임을 보여라.

Ans2-step 부분공간 Test를 이용하여 보인다.


P2. 크기인 행렬이다. 만일 이면, 의 치역(range)은 어떻게 만들어지는가?

Ans의 열들의 일차결합으로 만들어진다.


P3. 에서 원점을 지나는 직선을 의미한다. 만일 상에서 0이 아닌 벡터라면, 에서로 보내는 변환이 선형변환인가?

Ans,  

 

이어야 한다. 둘이 다르므로 선형변환이 아니다.       


P4. (a) 다음 행렬의 영공간(null space)의 차원을 Sage-math를 이용하여 구하여라.

  

(b) 가 위의 행렬에 대응하는 선형변환 의 치역(range)에 있는지 없는지 Sage-math를 이용하여 확인하여라.


P5. 행렬일 때, 모든 에 대하여 가 해를 가진다면 의 치역(range)은 무엇인가?

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