동영상 강의 주소: http://youtu.be/H-P4lDgruCc 6.3 핵과 치역
동영상 강의 주소: http://youtu.be/H-P4lDgruCc
선형변환의 이미지가 영벡터인 정의역(
)의 부분집합이 부분공간이 됨을 보이고 이 부분공간이 갖는 성질을 알아본다. 또 모양은 다르지만 구조가 같은 부분공간들을 한 번에 설명할 수 있게 하는 선형사상을 소개한다.
6.3 연습문제
동영상 문제풀이: http://youtu.be/7BF0JG7JMJ8
1. 다음 주어진 선형변환 
에 대하여 핵(kernel)을 구하여라.
(1) 
(2) 
Ans
(1) 
[ 0 2 3 0]
[ 1 1 -2 0]
[ 4 1 0 0]
[ 3 -1 -1 0]
|
Matrix_of_T.right_kernel() |
Vector space of degree 4 and dimension 1 over Symbolic Ring, Basis matrix:
[0 0 0 1]
(2) 
2. 다음에 주어진 선형변환의 핵(kernel)과 치역(range)을 구하고 전단사를 판정하여라.
(1) 
(2) 
Ans
(1) 
∴ 
가 
이므로 단사이다.
정리 6.3.5에 의해 단사인 선형변환은 전사이다.
Vector space of degree 2 and dimension 0 over Symbolic Ring, Basis matrix: [ ]
(2)
단사가 아니다. 정리 6.3.5에 의해 단사가 아닌 선형변환은 전사도 아니다.
[3-5] 아래의 행렬에 의해 결정되는 핵(kernel)을 구하여라.
3. 
Ans정리 6.3.2에서 핵은 
의 해공간과 일치하므로,
를 임의의 실수 
라고 하면 
는 
이다.
∴ 
Free module of degree 2 and rank 1 over Integer Ring, Echelon basis matrix: [ 1 -1]
4. 
Ans
5. 
Ans정리 6.3.2에서 핵은 
의 해공간과 일치하므로,
를 임의의 실수 
라고 하면 위의 연립방정식에 의하여, 
가 된다.
∴ 
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring, Echelon basis matrix: [ 1 0 -1]
6. 다음 선형변환의 핵(kernel)이 연립방정식의 해공간과 같게 되는 연립방정식을 행렬을 이용하여 표현하여라.
, 
Ans
Vector space of degree 3 and dimension 0 over Symbolic Ring, Basis matrix:, [ ]
[7-8] 다음에 벡터 
가 행렬 
의 열공간에 속하는지 확인하고, 속한다면
의 열들의 일차결합으로 
를 표현하여라.
7. 
, 
Ans
따라서 역행렬이 존재하며 
의 열들의 일차결합으로 
가 표현가능하다.
■
-158
[ -2/79]
[ 25/79]
[ 6/79]
[-14/79]
8. 
, 
Ans
∴ b는 
의 열들의 일차결합으로 표현할 수 없다.
[9-10] 다음에 주어진 선형변환이 단사인지 아닌지를 판정하여라. 그리고 <정리 6.5.3>을 이용하여 전사인지 아닌지를 판정하여라.
9. 
Ans
이고, 
이 단사일 필요충분조건은 동차연립방정식 
이 자명한 해를 가질 때이고, 
행렬의 
이므로 
의 역행렬이 존재하고 따라서 
은 자명한 해를 가지므로 단사이다.
또한 
이 선형변환이고, 
가 단사이므로 정리 6.3.5에 의해 전사이다.
10. 
Ans
, 
∴ 단사가 아니다. 그리고 전사도 아니다.
토론과 발표
P1. 
가 
의 각각의 부분공간이라 하자. 이 두 부분공간 사이에 선형변환 
를 생각하자. 
를
의 부분공간이라 하고
라고 하면, 
는 
의 부분공간임을 보여라.
Ans2-step 부분공간 Test를 이용하여 보인다.
P2. 
가 
크기인 행렬이다. 만일 
이면, 
의 치역(range)은 어떻게 만들어지는가?
Ans
의 열들의 일차결합으로 만들어진다.
P3. 
는 
에서 원점을 지나는 직선을 의미한다. 만일 
가 
상에서 0이 아닌 벡터라면,
에서
로 보내는 변환이 선형변환인가?
Ans
, 
이어야 한다. 둘이 다르므로 선형변환이 아니다. ■
P4. (a) 다음 행렬의 영공간(null space)의 차원을 Sage-math를 이용하여 구하여라.
(b) 
가 위의 행렬에 대응하는 선형변환 
의 치역(range)에 있는지 없는지 Sage-math를 이용하여 확인하여라.
P5. 
가 
행렬일 때, 모든 
에 대하여 
가 해를 가진다면 
의 치역(range)은 무엇인가?
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