6.4 선형변환의 합성과 가역성

chapter 6. 선형변환 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/qfAmNsdlPxc


이 절에서는 두 개 또는 그 이상의 선형변환들이 연속적으로 수행되는 합성변환 문제를 행렬의 곱과 연계하여 학습하고, 역함수와 행렬의 역행렬을 연계하여 선형연산자의 기하학적 성질을 학습한다.


6.4 연습문제


 동영상 문제풀이: http://youtu.be/qppP5y8bBgE


[1-3] , 라고 주어져 있다.
다음 물음에 답하여라.


1. 의 표준행렬을 각각 구하여라.

Ans,


2. 의 표준행렬을 각각 구하여라.

Ans


3. 2번에서 구한 행렬을 이용하여 을 표현하여라.

Ans각각의 표준행렬은,

,

이다.

따라서

 


[4-6] 아래와 같이 가 정의되었을 때 다음 물음에 답하여라.

,


4. 의 표준행렬을 각각 구하여라.

Ans

              

            



5. 의 표준행렬을 각각 구하여라.


6. 5번에서 구한 행렬을 이용하여

  를 표현하여라.


[7-14] 다음 선형변환에 맞는 표준행렬을 구하여라.


7. 선형변환 는 우선 벡터를 3배로 확대하고, 에 대하여 대칭이동시킨 뒤에, 축으로 직교사영(정사형)시키는 변환

Ans는 우선 벡터를 3배로 확대하는 선

형변환:

에 대하여 대칭이동시키는 선형변환:

축으로 직교사영(정사영)시키는 선형변환:

그러므로 선형변환 는 우선 벡터를 3배로 확대하고, 에 대하여 대칭이동시킨 뒤에, 축으로 직교사영(정사영)시키는 변환은

이다.


8. 선형변환 에 대하여 대칭이동하고, 축에 직교사영, 방향으로 크기로 축소하는 변환


9. 축으로의 직교사영 후, 크기로 축소변환

Ans


10. 반시계방향으로 회전변환 후, 축으로의 직교사영 후 에 대한 대칭이동

Ans

 


[11-12] 가 두 개의 선형변환 에 의하여

, 로 이동한다고 하자. 이때,


11. 를 구하여라.

Ans

가 된다.


12. 를 구하여라.

Ans

          


[13-16] 다음 주어진 선형변환의 역변환을 구하여라.


13. 상에서의 축 대칭이동

Ans상에서의 축 대칭이동시키는 선형변환
. 이것의 역변환은 이다.


14. 상에서의 만큼의 회전이동

Ans상에서의 만큼의 회전이동시키는 선형변환


15. 에서의 3배 확대

Ans상에서의 3배 확대시키는 선형변환 .

이것의 역변환은 이다.


16. 에서의 방향만 로 축소

Ans


[17-18] 다음 상에서의 선형연산자에 대하여 표준행렬을 찾고, 이를 이용하여 역변환이 있으면 역변환을 구하여라.


17.

  

Ans표준행렬 ,

역변환 존재



18.

  

Ans

 


토론과 발표


P1. 일반적으로 선형변환의 합성에서 는 같지 않다. 이것이 대응하는 표준행렬에 대한 다음 성질과 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.

Ans행렬곱에서는 일반적으로 교환법칙이 성립안함


P2. P1의 내용은 합성함수의 결합법칙

에 대하여 대응하는 표준행렬에는 어떤 의미를 주는가?

Ans행렬의 곱에서는 교환법칙이 성립안하나 결합법칙은 성립한다.


P3. 이 원점을 지나는 기울기가 인 직선이라 하자. 그리고 만큼 회전하는 선형변환의 표준행렬을 라 하고, 축 대칭이동에 대응하는 표준행렬이라 하면, 이 가지는 기하적인 의미를 직선 의 위치로 설명하여라.

Ans직선 의 점들이 제자리에 위치한다. 먼저 를 취하면 축에 위치할 것이고, 따라서 는 의미가 없다. 다음 을 취하니 제자리로 돌아온다.

(틀린 답의 예: 직선 의 점들에 을 취하면, 직선 의 점들이 축에 대해 대칭이동된 위치에 놓인다.)


P4. 모든 회전변환은 원점을 지나는 두 개의 직선에 의한 대칭이동으로 표현될 수 있음을 증명하여라.


P5. 가역인 선형변환 에 대하여

가 대응하는 표준행렬에 대하여 의미하는 바를 설명하여라.


Ans합성함수 가 가역함수이므로, 이에 대응하는 표준행렬이 가역행렬이 되고, 그리고 행렬 가 선형변환 의 표준행렬이면 의 표준행렬은 가 되고 의 표준행렬은 이다.       


P6. 에서 축에 대하여 각도 만큼 회전하고, 이어서 축에 대하여 각도 만큼 회전하고, 이어서 축에 대하여 각도 만큼 회전하는 3개의 연속적인 선형변환을 하나의 행렬로 표현하시오..




http://matrix.skku.ac.kr/sglee/LT/index.htm 

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