7.1 기저와 차원의 성질

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/172stJmormk


 표준기저는 배웠고, 이제 차원의 개념을 설명할 것이다. 우리는 공간에 시간의 축을 하나 보태어 4차원이라는 개념을 배웠다. 그렇다면 수학적으로 벡터공간의 차원은 어떤 의미를 갖는가? 이 절에서는 을 생성하는 일차독립 집합으로부터 기저와 차원을 정의하고, 그 성질을 학습한다.


7.1 연습문제


  동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ


[1-4] 다음의 벡터들이 일차독립인지 아닌지를 행렬식을 이용하여 확인하여라.


1. , ,

Ans , , 를 행벡터로 하는 행렬을 라 하면 이므로 일차독립이다.

Sage를 이용해 확인해보면 다음과 같다.



, , 가 서로 일차독립.     


2. , ,

Ans 

를 각 행으로 행렬 를 만들면 이다. 일차독립인지 종속인지 행렬식을 이용하여 확인한다.

=

 일차독립이다.

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

A=matrix(3, 3, [1, 1, -3, 0, 2, 1, 0, -1, 0])

으로 교체하면 , 즉 일차독립임이 확인된다.   


3. , ,

Ans

, , 를 행벡터로 하는 행렬을 라 하면 이다.

Sage를 이용해 확인해보면 다음과 같다.

A=matrix(3, 3, [7, 5, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 6])

 

, 즉 일차종속임이 확인된다.     


4. , , ,

Ans

, , , 를 행벡터로 하는 행렬을 라 하면 이다.

이때, 이면 일차독립이다.

이므로 는 일차독립이다.

Sage를 이용하여 확인하면

        


[5-6] 다음에 주어진 벡터들의 집합이 에 대한 기저가 될 수 없는 이유를 설명하여라.


5.

Ans이므로 일차종속이다.

∴ 일차종속이므로 의 기저가 될 수 없다.       


6.

Ans

∴ 일차종속이므로 의 기저가 될 수 없다.       


[7-8] 다음에 주어진 벡터들의 집합이 의 기저가 됨을 보여라.


7.

Ansi) 일차독립이다.

ii) , 라고 하면

  

 가 존재한다. ( )

 즉 을 생성한다.

의 기저이다.  


8.

Ans 위 두 벡터를 행벡터로 하는 행렬을 라 하면 이다. 이므로 위 벡터들은 일차독립이다.

 이때, 이므로 안의 일차독립인 두 개의 벡터로 이루어진 집합은 무조건 의 기저이다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3)       


[9-12] 다음에 주어진 집합 의 기저인지를 판정하여라.


9.

Ans는 일차독립이지만, 안의 모든 기저는 세 개를 가져야 하므로 두 개의 벡터로 이루어진 집합 의 기저가 될 수 없다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3)         


10.

Ans 이므로 벡터들이 일차독립이면 기저가 된다. 위 벡터들을 행벡터로 하는 행렬을 라 하면

이고 이므로 일차종속이 된다. 따라서 주어진 벡터들은 의 기저가 될 수 없다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) Sage를 이용하여 확인해보자.


True (일차종속. 기저가 될 수 없다. 정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) 


11.

Ans

는 일차독립이다.

이므로 안의 일차독립인 세 개의 벡터로 이루어진 집합은 무조건 의 기저이다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3)     


12.

Ans

의 3보다 많은 개수의 벡터(4개)를 가지므로 항상 일차종속이다.

∴ 기저가 아니다. (정리 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3) 


13. 의 부분공간 에 대한 서로 다른 기저를 찾아라. [도움말 : 가 기저이면, (단 )도 기저이다.]

Ans

1차원인 위의 직선을 지나는 영 아닌 어떤 벡터도 를 생성하며, 그 집합의 원소는 1개이다. (영 아닌 벡터는 모두 일차독립.)

도 하나의 기저이며, 도 하나의 기저가 된다. 왜냐하면 각점은 위의 직선을 지나며 그 상수배가 1차원 공간인 위의 직선을 생성하기 때문이다.  


14. 의 부분공간인 평면 에 대한 서로 다른 기저 두 개를 찾아라.

Ans

의 2차원 부분공간인 평면 의 기저가 되려면 이 평면 안의 일차독립인 두 개의 벡터만 찾으면 된다는 의미이다.

라 하고, 라고`하자. 그러면 가 된다.

(단, )

따라서, 기저는 이다.

도 위의 식을 만족하는 두 점의 집합이며 일차독립(다른 벡터의 상수배가 아니다.)이므로 주어진 평면의 기저가 된다.     


[15-18] 다음 동차연립방정식에서 유도되는 해공간의 차원을 구하여라.


15.

Ans

  

 해공간 의 차원은 2이다.    


16.

 

Ans위 동차연립방정식은 로 표현될 수 있다. 라고 하자. RREF이므로 rank()=2가 되어 nullity()=4—rank()=4—2=2이다. 따라서 해공간의 차원은 2이다.

[ 1 1 1 -1]

[ 0 6 3 -6] (leading nonzero entry의 개수가 2)

        


17.

 

 

Ans RREF를 구하면

 

 

 해공간 의 차원은 0이다.  


18.

 

 

Ans 위의 동차연립방정식은 로 표현될 수 있다라고 하자.

RREF이므로 rank()가 되어 nullity()=4—rank()=4—3=1이다. 따라서 해공간의 차원은 1이다.

Sage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 0 0 8]

[ 0 1 0 -3]

[ 0 0 1 2] (leading 1의 개수가 3, rank가 3))

        


[19-20] 주어진 벡터 에 의해서 만들어지는 hyperplane 의 기저와 차원을 구하여라.


19.

Ans

이면

    

 해공간 의 차원은 2이고, 기저는 이다.        


20.

Ans에 의해서 만들어지는 hyperplane은 이다.

 

 

∴ 평면 의 기저는 이다.

∴ 평면 의 차원은 3이다.


토론과 발표


P1. (a) 다음의 벡터들이 를 생성(span)할 수 있지만, 의 기저는 될 수 없음을 보여라.

 

(b) (a)의 일부 벡터를 이용하여 를 두 가지 방법으로 표현하여라.

Ans(a)

벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 그러나 이면

로 표현이 가능하다. 일차종속이다.

(b)

(a)에서 살펴보면 이다.

여기에 를 대입하면

 

이면

 

이면

   


P2. (a) 만일 개의 선형방정식과 개의 미지수로 되어 있는 선형연립방정식이라면, 그 해공간의 차원은 최대 얼마인가?

(b) 안의 영 아닌 벡터 에 의해 만들어지는 hyperplane의 차원은 얼마인가?

(c) 의 부분공간의 차원은 얼마가 될 수 있는가? 모두 찾아라.

(d) 의 부분공간 중 다음의 벡터들

, ,

에 의하여 생성(span)된 공간의 차원은 얼마인가?

Ans

(a) 최대 차원을 갖는다.

(b) 5차원

(c) 0~5차원 모두 가능 (0차원 부분공간은 , 5차원 부분공간은 자신)

(d)

RREF로 변환 가 일차독립이다. 그러므로 은 기저이다.


P3. 의 벡터들인 가 아래와 같은 형태를 하고 있다.

,

,

를 임의의 실수라고 한다면, 이 집합은 일차독립이 되는가?

Ans

,

,

일차독립이 되기 위해서는

이 되어야 한다.

일 때, 앞에 있는 1이 있기 때문에 이 남게 된다.

이다.

이런 과정으로 를 계산하면

이다.

∴ 일차독립이다.


P4. 만일 의 영 아닌 벡터라면

 임을 보여라.

Ans

미지수 개에 식이 하나이므로 자유변수가 개이다.


P5. 안에 있는 일차독립인 부분집합 중 원소의 개수가 가장 많은(즉, 개) 집합은 모두 기저임을 설명하여라.

Ans

 안에 있는 벡터의 집합 . , 즉 정사각행렬이다.

문제의 조건에 의해서 A는 일차독립이므로 .

그러므로 는 가역이고, 가 가역이면 항상 해를 가지므로 을 생성할 수 있다.

∴ 기저이다.


P6. 을 생성하는 벡터들의 집합 중 가장 적은 (즉, 개의) 원소를 가지는 집합을 모두 기저임을 설명하여라.

Ans가장 적은 원소를 가지므로 집합 안의 어떤 원소도 다른 원소들의 일차결합으로 나타낼 수 없다.

—minimal spanning set은 기저이다.

(또, maximal linear independent set은 기저이다.)

자세한 증명은 참고문헌 linear algebra(2nd edition), Kwak ad Hong, Birkhauser, 2004, p89 Theorem 3.11을 보라.

http://matrix.skku.ac.kr/2010-Album/2010-MT-all-Solution-v1-sglee/2010-MT-all-Solution-v1-sglee.html   


P7. 를 생성(span)함을 보여라.

Ans

는 일차독립이다.

이라고 하고, 식을 행렬로 정리하면,

,

∴ 모든 실수 에 대하여 항상 의 값이 존재한다.

을 생성한다.  


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