7.2 행렬이 갖는 기본공간들

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/dWoq2YVsy-g


 하나의 행렬은 행공간, 열공간, 영공간, 고유공간 등 네 가지의 중요한 부분공간을 갖는다. 이 부분공간들은 행렬 와 관련된 다양한 대수적, 기하학적 성질, 식의 해공간들을 규명하는 도구가 된다. 이절에서는 영공간의 기저를 찾는 방법과 행공간, 열공간 사이의 관계에 대하여 알아본다.


7.2 연습문제


  동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ


1. 다음에서 주어진 동차연립방정식의 해공간에 대한 기저와 차원을 구하여라.

Ans계수행렬이고, 이 행렬의 RREF를 구하면 아래와 같다.

  

선행변수는 이고 자유변수 라고 하면,

, , 이다.

∴ 해공간이 이므로 기저는 , 차원은 1차원이다.    


2. 다음에서 주어진 행렬 의 영공간의 기저와 nullity()를 구하여라.

Ans 의 첨가행렬 의 RREF는

이다.

그러므로 다음 연립방정식이 성립한다.

 따라서 해공간 의 기저는 , 차원은 1이다.

Sage를 이용하여 확인해보자.

1      


3. 다음에서 주어진 행렬 의 행공간 Row()의 기저와 차원 및 행계수 를 각각 구하여라.

Ans

의 RREF를 구하면 

의 기저는

의 차원은 3이다.

행계수 의 차원이므로 이다. 


4. 주어진 행렬의 열공간 의 기저와 차원 및 열계수 를 각각 구하여라.

Ans

의 RREF를 구하면 이다. 에서 선행성분을 갖는 열, 즉 의 1, 2, 4, 5열은 의 열공간, Col()의 기저가 된다.

따라서 기저는 이고, Col()의 차원이다.

 Sage를 이용하여 확인해보자.

 4     


5. 다음 선형변환의 표준행렬 를 구하고 를 구하여라.

Ans

표준행렬 의 RREF는 이므로 자유변수를

  라 하면

이므로 동차연립방정식의 해공간은

이 된다. nullity()

Sage를 이용해서 확인해보자.


토론과 발표


P1.인 직선을 영공간으로 가지는 모든 크기의 행렬을 찾아라.

Ans


P2. 은 세 개의 미지수 를 가지는 세 개의 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이라 하자. 다음 물음에 답하여라.

(a) 만일 해공간이 상에서 원점을 지나가는 직선이라고 하면, 의 행공간은 기하학적으로 어떤 형태가 되겠는가?

(b)의 열공간이 원점을 지나는 직선이라면, 인 동차연립방정식의 해공간은 기하학적으로 어떻게 나타나겠는가?

Ans(a) 영공간이 원점을 지나는 직선, 즉 1차원이므로 Rank 정리에 의해서 행공간의 차원은 2차원이다. 따라서 ‘2차원 평면의 형태’가 된다.

(b) 이것도 (a)문제와 같은 방법으로 2차원 평면 모양이 된다.


P3. 의 hyperplane이라면, 는 무엇이라고 할 수 있는가?

Ans의 hyperplane이므로 적당한 벡터 이 존재하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

따라서 , 즉 hyperplane의 법선벡터가 생성하는 부분공간이다.


P4. (a) 평면상에 있는 라는 직선 위에 놓인 모든 벡터의 집합이라 하자. 집합 를 구하여라.

(b) 평면상에서 란 벡터가 있다고 하자. 라면, 집합 을 구하여라.
Ans(a) ,

(b)

 ,


P5. 집합 의 기저라 할 때, 차의 가역 행렬이면 의 기저임을 증명하여라.

Ans에 의해 가 일차독립임을 보이면 된다.

Let

는 일차독립( :의 기저)

  

 and (는 가역행렬)

 

  

가 일차독립.

안의 개의 일차독립인 벡터들의 집합 의 기저이다.        


P6. 집합 의 기저이면, 의 임의의 벡터 의 일차결합으로 유일하게 표현됨을 보여라.

AnsSuppose

 

이므로

 의 일차결합으로 유일하게 표현된다.       

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