동영상 강의 주소: http://youtu.be/8P7cd-Eh328, http://youtu.be/bM-Pze0suqo, 7.3차원정리(Rank-Nullity정리)
동영상 강의 주소: http://youtu.be/8P7cd-Eh328, http://youtu.be/bM-Pze0suqo,
우리는 행렬 
의 영공간, 행공간, 열공간 등에 대하여 알아보았다. 이 공간들의 차원과 행렬 
의 크기와의 관계에 대하여 알아본다.
7.3 연습문제
동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ
[1-5] 다음 주어진 행렬 
에 대하여 rank와 nullity를 구하고, 이것이 행렬에 대한 차원정리를 만족하는지 확인하여라.
1. 
Ans
의 RREF를 구하면 
이므로 0이 아닌 행의 계수는 2개이고 따라서 r(
)
. 자유변수는 
하나이고 따라서 null(
)
.
(
)
null(
)
열의 개수
∴ 행렬에 대한 차원정리를 만족한다.
2. 
AnsSage를 이용하여 확인해보자.
[ 1 -1 1]
[ 2 3 2]
[ 3 -2 3]
[ 4 -1 1]
[1 0 1]
[0 1 0]
[0 0 3]
[0 0 0]
|
A.rank() # A의 rank를 구한다. |
3
|
A.right_nullity() # A의 nullity를 구한다. |
0
|
A.ncols() # A의 열의 개수를 구한다. |
3
|
A.rank()+A.right_nullity()==A.ncols() |
True ■
3. 
Ans
의 RREF를 구하면
이므로 
(
)
이고 
에 대응하는 동차연립방정식의 첨가행렬을 만들면 
이고, 이것의 RREF를 구하면 
이므로 해공간은 
이다. 따라서 nullity(
)
.
∴ rank(
)
nullity(
)
에서 차원정리를 만족한다. ■
4. 
Ans
rank(
)
, nullity(
)
∴ rank(
)
nullity(
)
■
5. 
Ans
의 RREF를 구하면
rank(
)
, nullity(
)
∴ rank(
)
nullity(
)
■
[6-7] 다음 주어진 행렬 중 계수(rank)가 1인 행렬을 찾아서 그 행렬이
로 표현할 수 있는지 확인하여라.
6. 
Ans
, rank(
)
7. 
Ans
8. 
값에 따라 다음 행렬 
의 계수(rank)가 어떻게 나타나는지 확인하여라.
Ans
�� 
∴ 
의 RREF
∴ rank(
)
�� 
≠1
① 
∴ rank(
)
② 
≠
∴ rank(
)
∴ 
이면 rank(
)
, 
이면 rank(
)
, 
≠
이면 rank(
)
토론과 발표
P1. 
의 열벡터들이 일차종속이고, 
가 
의 열공간에 포함된다면, 연립방정식 
의 해의 개수는? 그리고 그 이유는 무엇인가?
Ans먼저 
가 
의 열공간에 존재하므로 
를 
의 열벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있고 이는 
를 만족하는 
가 존재한다는 의미이다. 그리고 
의 열벡터가 일차종속이므로 이러한 
는 무수히 많다. (
의 열벡터가 일차종속이므로 적당한 
이 존재하여 
이 된다. 그러면 
의 한 해 
에 대하여 
도 
의 해가 된다. 임의의 실수 
에 대하여 
도 마찬가지이다.)
P2. 만일 
가 
크기의 행렬이라 하자.
의 값은 무엇인가?
Ans
의 크기가 
이라면, 
의 크기는 
이다.
∴ 
P3. 
을 선형변환이라 하자. 만일 
의 핵(kernel)이 원점을 지나는 직선이라고 하면, 
의 치역의 기하학적 모양은?
Ans
라 하면 
의 핵은 
와 같다.
이므로 차원정리(rank-nullity 정리)에 의하여,
는 
의 치역이므로 
의 치역은 
차원의 평면이다.
P4. 다음 행렬의 계수(rank)에 대하여 논하여라.
Ans기본행연산(ERO)을 하여 변환하면,
행공간의 차원 
이므로,
1) 
일 때 3행이 2행과 4행의 곱으로 표현될 수 있으므로 rank(
)
이다.
2) 
일 때 3행이 영행렬이 되므로 마찬가지로 rank(
)
이다.
3) 
일 때 2행이 영행렬이 되므로 rank(
)
이다.
4) 
일 때 2행과 3행이 영행렬이 되므로 rank(
)
이다.
P5. 다음의 행렬 
가 최소의 계수(rank)를 가지게 하는 
값을 결정하여라.
Ans
... 
① 
∴ rank(
)
② 
∴ rank(
)
∴ 행렬 
가 최소의 계수(
)를 가지게 하는 
는 3이다.
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