7.3차원정리(Rank-Nullity정리)

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/8P7cd-Eh328, http://youtu.be/bM-Pze0suqo,

http://youtu.be/f3P4gfDVd8M 

             


  우리는 행렬 의 영공간, 행공간, 열공간 등에 대하여 알아보았다. 이 공간들의 차원과 행렬 의 크기와의 관계에 대하여 알아본다.


7.3 연습문제


 동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ


[1-5] 다음 주어진 행렬 에 대하여 rank와 nullity를 구하고, 이것이 행렬에 대한 차원정리를 만족하는지 확인하여라.


1.

Ans의 RREF를 구하면 이므로 0이 아닌 행의 계수는 2개이고 따라서 r(). 자유변수는 하나이고 따라서 null().

()null()열의 개수

∴ 행렬에 대한 차원정리를 만족한다.


2.

AnsSage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 -1 1]

[ 2 3 2]

[ 3 -2 3]

[ 4 -1 1]

[1 0 1]

[0 1 0]

[0 0 3]

[0 0 0]

A.rank() # A의 rank를 구한다.

3

A.right_nullity() # A의 nullity를 구한다.

0

A.ncols() # A의 열의 개수를 구한다.

3

A.rank()+A.right_nullity()==A.ncols()
# 차원정리가 성립하는지 확인한다.

True   


3.

Ans의 RREF를 구하면

이므로 ()이고 에 대응하는 동차연립방정식의 첨가행렬을 만들면 이고, 이것의 RREF를 구하면 이므로 해공간은 이다. 따라서 nullity().

∴ rank()nullity()에서 차원정리를 만족한다.       


4.

Ans

rank(), nullity()

∴ rank()nullity()  


5.

Ans의 RREF를 구하면

rank(), nullity()

∴ rank()nullity()       


[6-7] 다음 주어진 행렬 중 계수(rank)가 1인 행렬을 찾아서 그 행렬이

 로 표현할 수 있는지 확인하여라.


6.

Ans, rank()


7.

Ans


8. 값에 따라 다음 행렬 의 계수(rank)가 어떻게 나타나는지 확인하여라.

Ans

��

의 RREF

∴ rank()

�� ≠1

  

        

         

        

        

∴ rank()

 

        

        

∴ rank()

이면 rank(), 이면 rank(), 이면 rank()


토론과 발표


P1. 의 열벡터들이 일차종속이고, 의 열공간에 포함된다면, 연립방정식 의 해의 개수는? 그리고 그 이유는 무엇인가?

Ans먼저 의 열공간에 존재하므로 의 열벡터들의 일차결합으로 표현할 수 있고 이는 를 만족하는 가 존재한다는 의미이다. 그리고 의 열벡터가 일차종속이므로 이러한 는 무수히 많다. ( 의 열벡터가 일차종속이므로 적당한 이 존재하여 이 된다. 그러면 의 한 해 에 대하여 의 해가 된다. 임의의 실수 에 대하여 도 마찬가지이다.)


P2. 만일 크기의 행렬이라 하자.

 

의 값은 무엇인가?

Ans의 크기가 이라면, 의 크기는 이다.


P3. 을 선형변환이라 하자. 만일 의 핵(kernel)이 원점을 지나는 직선이라고 하면, 의 치역의 기하학적 모양은?

Ans라 하면 의 핵은 와 같다.

이므로 차원정리(rank-nullity 정리)에 의하여,

의 치역이므로 의 치역은 차원의 평면이다.


P4. 다음 행렬의 계수(rank)에 대하여 논하여라.

 

Ans기본행연산(ERO)을 하여 변환하면,

행공간의 차원 이므로,

1) 일 때 3행이 2행과 4행의 곱으로 표현될 수 있으므로 rank()이다.

2) 일 때 3행이 영행렬이 되므로 마찬가지로 rank()이다.

3) 일 때 2행이 영행렬이 되므로 rank()이다.

4) 일 때 2행과 3행이 영행렬이 되므로 rank()이다.


P5. 다음의 행렬 가 최소의 계수(rank)를 가지게 하는 값을 결정하여라.

 

Ans ...

∴ rank()∴ rank()

∴ 행렬 가 최소의 계수()를 가지게 하는 는 3이다.

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