7.4 Rank 정리

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/BKZwJiuEYZE


 모든 행렬 의 행계수와 열계수는 언제나 같으므로 7.3절에서 이를 행렬 의 계수(rank)로 정의하였다. 이제 계수와 부분공간의 차원 사이의 관계를 알아보자


7.4 연습문제


  동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BHf1AZjYAdQ .


[1-2] 다음 행렬에 대하여 임을 확인하여라.


1.

Ans, rank ()

, rank ()


2.

Ans
rank()



 rank()

∴ rank()rank()


3. 아래의 표를 이용하여 의 차원을 각각 구하여라.

 

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

의 크기

3

2

1

3

2

Ans

(a) ()

()

 ()

 ()

(b) ()

 ()

 ()

 ()
(c) ()

 ()

 (A)

 ()
(d) (A)

 ()

 ()

 ()
(e) ()

 ()

 ()

 ()

[4-7] 에 대하여 인 경우 는 full row rank를 갖는다고 하고, 인 경우 는 full column rank를 갖는다고 한다. 다음 행렬들이 full row rank인지, full column rank인지 또는 둘 다 아닌지 판정하여라.


4. Ansfull column rank


5. Ans모두 아니다.


6. Ansfull row rank


7. Ansfull row(column) rank


8. 만일 행렬이고, 가 3이었다면,

Ans7.4 P3에서 의 영공간과 행공간의 차원이 각각 같다는 것을 알 수 있다.

 


9. 다음에 주어진 행렬 는 full column rank 행렬이다. 이 오직 자명한 해만을 가지는지 확인하고, 가 오로지 한 값만을 가지는지 확인하여라. 또 를 이용하여 가 가역행렬임을 보여라.

AnsSage를 이용하여 확인해보자.

2

[0]

[0]

[11 4]

[ 4 8]


True

[ 2]

[ 3]

[-1]


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ValueError: matrix equation has no solutions


10. 만일 행렬이고, 라면,

 

Ans


토론과 발표


P1. 4, 5, 6, 7번의 행렬들의 가 가역인지를 판정하시오. 그리고 이들이 full row rank, 또는 full column rank와 무슨 관계인지 서술하여라.

Ans4. 가역, 비가역

5. 비가역, 비가역

6. 비가역, 가역

7. 가역, 가역

가 가역일 때 는 full cloumn rank를 가지며 가 가역일 때 는 full row rank를 가진다.


P2. 다음에 주어진 행렬 와 같은 영공간과 행공간을 가지는지 확인하여라.

Ans행공간: 로 같다.
영공간: 로 같다.


P3. 의 영공간과 행공간의 차원이 각각 같음을 확인하여라.

[도움말 : 이면 이고, 이면 이므로 영공간이 같다. 따라서 Nullity가 같고 Rank-Nullity 정리에 의하여 행공간의 차원도 같다. 즉, 가 full column rank를 가지면 는 가역행렬이다.] (에 이용)

Ans 의 영공간이 같다. 따라서 nullity도 같다. 차원정리에 의해

()()

()()

()()

()()()

의 행공간의 차원이 같다.


P4. 다음을 증명하여라.

(a) 행렬이라면, 의 열벡터는 일차종속이다.

(b) 행렬이라면, 의 행벡터는 일차종속이다.

(c) 행렬에 대하여 (a)와 (b)의 경우를 일반화하여 서술하여라.


P5. 에 증명에 대하여 토론하여라.

Ans정리 3.3.2, 3.5.1, 4.1.11, 6.3.6, 6.3.7 등 앞에서 배웠던 정리, 정의를 이용한다.


P6. 이라 하고, 라 하면 의 선행성분 1의 개수이다. 개의 선행성분 1에 대응하는 원래행렬 의 열벡터들은 일차독립임을 보여라.

Ans 개의 선행성분 1에 대응하는 의 열벡터들로 이루어진 크기의 부분행렬이라 하자. 또한 개의 선행성분 1을 포함하는 열들로 이루어진 의 부분행렬이라 하자. 그러면 RREF()=이다. 따라서

 이다. 그러나, 의 열벡터들은 일차독립이므로 , 즉 는 자명한 해만을 갖는다. 즉,

 

 그러므로 의 열벡터들은 일차독립이다. 따라서 개의 선행성분 1에 대응하는 원래 행렬 의 열벡터들도 일차독립이다.      

실습:

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