7.5 정사영(Projection) 정리

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/Rv1rd3u-oYg

 1장에서는 눈으로 확인이 가능한 벡터공간 에서의 정사영을 정의하였다. 이제 정사영의 개념을 으로 확장하고 선형변환으로서의 정사영에 대응하는 표준행렬을 생각한다. 이는 Gram- Schmidt 정규직교화 과정과 QR-분해의 이론적 기초가 된다.

7.5 연습문제

 동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BC9qeR0JWis

[1-2]벡터 의 위로의 정사영()을 구하여라.

1.

Ans

2.

Ans

[3-4] 를 이용하여 1, 2번 문제의 선형변환 의 표준행렬 를 구하여라.

3. Ans

4. 와 , 일 때 벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 선형변환 의 표준행렬 를 구하여라.

Ans편의상 아래에 나오는 를 모두 열벡터로 취급하면,

5. 일 때 벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 () 를 , 인 가 되는 과 를 구하여라.

Ans ,

6. , 일 때 벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 () 를 , 인 가 되는 과 를 구하여라.

Ans편의상 아래에 나오는 를 모두 열벡터로 취급하면,

[7-8] 주어진 벡터 를 방향의 벡터 과 와 직교하는 벡터 의 합으로 표현하여라.

7. ,

Ans,

위의 문제는 위로의 정사영 과 그 직교성분인 로 나타내는 것이므로 정사영을 먼저 구한 뒤에 직교성분을 구하면 된다.

8. 주어진 벡터 를 방향의 벡터 과 와 직교하는 벡터 의 합으로 표현하여라.

Ans벡터 의 위로의 정사영 을 이용하여 를 , 인 가 되는 과 를 구하면 된다. 이므로

 ■

[9-10] 다음의 벡터 의 위로의 정사영벡터의 크기를 구하여라.

9. ,

Ans

10. 다음의 벡터 의 위로의 정사영벡터의 크기를 구하여라.

Ans을 이용하여 벡터 의 위로의 정사영 의 크기를 구하면 된다.

이므로

∴ 정사영벡터의 크기

  ■

11. 예제 03을 참고하여 평면 위로의 정사영에 대응하는 표준행렬을 구하여라.

12. 벡터 에 의해 생성되는 안의 직선 위로의 정사영에 대응하는 선형변환 의 표준행렬을 구하여라.

Ans

13. 벡터 의 직선 위로의 정사영을 구하여라.

,

Ans

토론과 발표

P1. 상에서 한 원점을 지나는 직선 위로의 정사영에 대응하는 표준행렬의 계수(rank)는?

Ans상에서 한 원점을 지나는 직선은 상의 아닌 벡터 에 의하여 생성된다. 따라서 상에서 이 직선 위로의 정사영에 대응하는 선형변환 은

이다. 에 의하여 선형변환 의 표준행렬은

가 되고 행렬만 정리하면,

이 된다. 여기서, 각각의 행벡터들의 성분들은 1행에 배하여 얻을 수 있다. 따라서 1행을 제외한 나머지 행들은 기본행연산을 통해 영벡터가 되므로 rank ()이 된다.

[NOTE : (→ 만약 이 0이라면 위의 방법을 쓸 수 없다. 굳이 1행에 상수배하지 말고, 벡터 에서 0이 아닌 한 성분 를 선택해 상수배를 하면 좋을 것이다.)]

[다른 풀이] 행렬 는 원점을 지나는 한 직선 위로의 정사영의 표준행렬이므로, 임의의 벡터 의 직선 위로의 정사영, 즉 는 에 포함되는 선분이 된다. 직관적으로 집합 는 직선 과 같다. 따라서 이다. 그런데 집합 는 의 열공간과 같으므로 의 열공간의 차원, 즉 의 rank는 1이 된다.       ■

P2. 일 때, 에서 원점을 지나는 평면 위로의 정사영에 대응하는 표준행렬의 계수(rank)는?

Ans이 계수 2인 행렬이므로 의 계수는 2이다.(464쪽)

P3. 만약 가 의 부분공간이라 하면 는?

Ans. 즉 또한 의 부분공간이고, 와 수직인 벡터들의 집합이다.

P4. 의 벡터를 행렬 의 위로 정

사영시키는 선형변환에 대응하는 표준행렬 를 구하여라.

Ans

P5. 정사영의 표준행렬 의 성질 가 의미하는 바에 대하여 토론하여라.

Ans는 자기 자신의 제곱과 같은 행렬이 되므로 의 열공간 위로의 정사영은 자기 자신이 됨을 의미한다. 자세한 증명은 linear algebra(2nd edition), Kwak and Hong, Birkhauser 2004 : p169, Theorem 5.9를 참고하여라.

실습: