*7.6 최소제곱해(least square solution)

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


가 해를 갖는 경우 해를 구하는 방법을 앞에서 학습하였다. 여기서는 정사영을 이용하여 해가 존재하지 않는 경우에도 가장 근사한 해를 찾는 방법을 소개한다.


7.6 연습문제

 

 동영상 문제풀이 http://www.youtube.com/watch?v=BC9qeR0JWis


1. 정사영을 이용하여 점 에서 원점을 지나는 평면 사이의 최단거리 를 구하여라.

Ans,

 

    

[다른 풀이]


2.와 평면

사이의 최단거리 를 구하여라.

Ans 

 

  

0.53881590608 

0.53881590608  


[3-4] 가 다음과 같을 때 연립방정식 의 최소제곱해를 찾아라.


3. ,

Ans 이므로


4. ,

Ans

Sage를 이용해서 확인.

( 11/97, -5/9, 33/97, 93/97, 125/97)      


5. 다음에 주어진 를 이용하여 최소제곱해(least square solution)를 구하여라.

,

Ans


6. 3번의 행렬에 대하여 을 구하여라.

Ans이다. 따라서,


[7-8] 다음에 주어진 를 이용하여 최소제곱해를 구하여라.


7. ,

Ans


8. ,


Ans

Sage를 이용해서 확인해보자.


9. 네 점 을 지나는 최소제곱직선 를 구하여라.

Ans 라 한다면 이므로 최소제곱곡선은 이다.    

Sage를 이용해서 확인해보자.


10. 네 점 을 지나는 최소제곱곡선 을 구하여라.

Ans 로 두고 , 구하면 됨.


11.을 지나는 최소제곱곡선 을 구하여라.

Ans 로 두고, 를 구하면 됨.


12. 의 해를 구하고 최소제곱해와 비교하여라.

Ans, 최소제곱해, 해는 일치한다.


토론과 발표


P1. 상에서 과 평면 과의 거리는 앞에서 구하였다. 이어서 평면 위에 점 중 와 제일 가까운 점을 구하여라.

Ans


P2. 상에서 과 hyperplane 과의 거리는 앞에서 구하였다. 이어서 이 평면에서 와 제일 가까운 점을 구하여라.

Ans


P3. 의 유일성을 증명하여라.

Ans

Linear Algebra (3rd) Stephen H. Friedberg외 p344 Thm 6.13


P4. 다음의 연립방정식의 최소제곱해를 구하시오.

 

Ans 행렬 , 라 한다면

Sage를 이용하여 확인해보자.


P5. 행렬 의 모든 열이 일차독립이고 가 해를 가진다면 의 최소제곱해와 의 실제 해가 같음을 보여라.

Ans1) 이므로 를 만족하는 해 를 만족하는 해가 된다. 이때 행렬 의 모든 열이 일차독립이므로 의 해는 유일하고 또 가 가역이므로 의 최소제곱해도 유일하다. 따라서 두 해는 실제로 같다.

2) 행렬 의 열벡터가 일차독립이고 가 해를 가진다고 하자. 그러면 Col()이고 는 가역이며 의 열벡터는 Col()의 기저가 된다. 따라서 의 최소제곱해, 즉 를 만족하는 해 는 유일하고

  

이므로 를 만족한다.

( 의 Col()상으로의 정사영인데 Col()이므로 자기 자신 가 된다. 따라서 )

게다가 행렬 의 열벡터가 일차독립이므로 이러한 는 유일하다. 따라서 두 해가 실제로 같다.


P6. 행렬이라 하자. 이 행렬의 열이 모두 일차독립이라 하고, 이라 하자. 이때 다음을 를 써서 구하여라.

(a) 의 열공간에서 와 제일 가까운 벡터

(b) 의 최소제곱해

(c) 에서 의 열공간으로의 정사영에 대한 표준행렬

Ans(a)

(b) (c)

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최소제곱직선 Least square solutions