*7.8 QR-분해; Householder transformations

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)

 행렬 가 개의 1차독립인 열들을 가지면 여기에 Gram-Schmidt의 정규직교화과정을 적용하여 얻은 정규직교벡터들을 열로 하는 행렬 를 만들어 행렬 (여기서 은 상삼각행렬)로 분해가 된다. 행렬분해는 수치적으로 연립방정식을 풀거나 고유값 및 고유벡터를 구하는데 널리 이용된다. 이 절에서는 -분해를 간단히 소개한다.

7.8 연습문제

1. 행렬

 에 대한 정규직교과정을 통하여 의 는 쉽게 구할 수 있다. 의 증명부분을 이용하여 이 의 -분해를 마무리하여라.

Ans    ■

2. 위의 행렬 를 이용하여 일 때 의 최소제곱해를 구하여라.

AnsSage를 이용하여 구해보자.

[ 1 1 1 1]

[-3/4 1/4 1/4 1/4]

[ 0 -2/3 1/3 1/3]

[1/2 1/2 1/2 1/2]

[-1/2*sqrt(3) 1/6*sqrt(3) 1/6*sqrt(3) 1/6*sqrt(3)]

[0 -sqrt(2/3) 1/2*sqrt(2/3) 1/2*sqrt(2/3)]

[1 0 0]

[1 1 0]

[1 1 1]

[1 1 1]

[2 3/2 1]

[0 1/2*sqrt(3) 1/3*sqrt(3)]

[0 0 sqrt(2/3)]

( 1, -1, 1, 2 )

( 1, -2, 5/2)    ■

토론과 발표

P1. 가 가역행렬이면 인 -분해에서 는 직교행렬일 때 은 주대각선원소가 모두 영이 아님을 보여라.

Ans가 존재하므로, 가 존재한다. 그러므로 상삼각행렬 의 주대각선원소는 모두 영이 아니다.

P2.-분해에 대하여 검색하여 고유값을 구하는데 -분해가 어떻게 이용되는지 찾아보아라.

Anshttp://matrix.skku.ac.kr/CLAMC/index.html에서 공학용 tool 안에 행렬 종합 계산기에서 직접 -분해를 할 수 있다.

http://media.pearsoncmg.com/aw/aw_lay_linearalg_3/cs_apps/qrmethod.pdf 

http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/QRMethodMod.html 

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/03-Note/QR-Decomp.htm 

위에서 보면 삼각행렬 로부터 고유값을 유도할 수 있다.

P3. P2와 같은 방법으로 고유벡터를 구하는데 -분해가 어떻게 이용되는지 알아보아라.

Anshttp://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm 

직교(또는 유니타리)행렬 로부터 유도할 수 있다.

P4. 가 위의 영 아닌 벡터일 때 차의 정사각행렬 를 Householder 행렬이라 한다. 이 행렬과 -분해와의 관계를 검색을 통하여 알아보아라.

http://iridia.ulb.ac.be/~fvandenb/mythesis/node73.html 

http://matrix.skku.ac.kr/sglee/03-Note/QR-Decomp.htm 

What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)