7.9 좌표벡터

chapter 7. 차원과 부분공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/tdd7gbtCCRg


 유한차원 벡터공간에서 기저의 개념은 좌표계의 개념과 밀접한 관계가 있다. 지금까지는 에서 표준기저에 대   한 좌표벡터만 다루어왔다. 이 절에서는 표준기저가 아닌 다른 기저에 대한 (주어진) 벡터의 좌표벡터 표현을 소개한다. 이어서 이 두 표현 사이를 연결시켜주는 행렬을 알아본다.


7.9 연습문제

 

 동영상 문제풀이 : http://youtu.be/X9VR_0Xnbcc


[1-2] 순서기저 로 주어질 때, 좌표벡터를 구하여라.


1.

Ans

     

[Note : 일반적으로, 표준기저에 관한 좌표벡터나 표준기저로의 기저변환은 벡터 그 자신과 같다.]


2.

Ans


[3-6] 의 순서기저 에 대하여 다음을 구하여라.


3. 의 좌표벡터 를 구하여라.

Ans


4. 의 좌표벡터 를 구하여라.

Ans


5. 의 좌표벡터 를 구하여라.

Ans

    


6. , 의 좌표벡터 , 를 각각 구하여라.

Ans


[7-8] 주어진 에 대한 의 좌표를 구하여라.


7.

Ans


8.

Ans 이라 하고 , , 를 구하기 위하여 , , , 를 열벡터로 하는 첨가행렬을 라 하고 RREF를 구하면, 이므로 따라서 답은 . ■

Sage를 이용해서 확인해보자.


[9-10] 에서 직교기저라 하자.

, 라고 하고, 다음 물음에 답하여라.


9. , 를 구하여라.

Ans,


10. 연습문제 9번에서 구한 의 노름(크기) 를 구하여라.

Ans

  


[11-14] , 에서 기저라고 하고, 라고 하자. 다음 물음에 답하여라.


11. 전이행렬 을 구하여라.

Ans


12. 전이행렬 을 구하여라.


13. 기저 에 대해 일 때, 를 이용하여 을 구하여라.

Ans


14. 기저 에 대해 일 때, 를 이용하여 을 구하여라.


[15-18] 의 두 순서기저 , 에 대하여 다음을 구하여라.


15. 전이행렬 를 구하여라.

Ans


16. 전이행렬 를 구하여라.

Ans위의 문제에서 ,

이 문제에서는 이 전이행렬 이다.


17. 연습문제 3번의 를 이용하여 구하라.

Ans


18. 연습문제 5번의 을 이용하여 를 구하여라.

Ans


[19-20] 의 두 순서기저 , 에 대하여 다음을 구하여라.


19. 전이행렬 를 구하여라.

Ans


20. 전이행렬 를 구하여라.


토론과 발표


P1. 의 순서기저 에 대한 좌표벡터 는 항상 유일함을 증명하여라.

Ans만일 이고 동시에 이면

가 기저이므로 1차 독립이고, 따라서


P2. 가 모두 의 순서기저라 하자. 만일

,

이라면, 을 구하여라.

Ans 이고


P3. 다음 행렬을 생각하자.

(1) 는 표준기저 로부터 어떤 기저 로의 전이행렬이다. 집합 를 구하여라.

(2)는 어떤 기저 로부터 표준기저 로의 전이행렬이다. 집합 를 구하여라.

Ans(1)이고, .

 어떤 기저 가 표준기저 로 전이될 때는,

이므로 의 열벡터들이 집합 를 이룬다.

 

(2)마찬가지로 의 열벡터들이 집합 를 이룬다.


P4. 의 두 순서기저,

,

일 때, 행렬 를 다음과 같이 정의하자.

이때 전이행렬 임을 확인하여라.

Ans

, 를 구해보면 다음과 같다.

첨가행렬에 대하여 RREF()이다.

따라서 이다. 그리고 이므로 이다.

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