8.2 닮음과 행렬의 대각화 (Diagonalization)

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/MnfLcBZsV-I

 이 절에서는 사이의 선형변환 의 다양한 기저에 대한 행렬표현 사이의 관계를 전이행렬(transition matrix)을 이용하여 알아보고, 행렬표현이 간단한 형태인 대각선행렬로 표현되는 경우인 대각화에 대하여 알아본다.

8.2 연습문제

 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=00HeZNTN_vc

http://www.youtube.com/watch?v=7g5Du3_D5PQ 

[1-4] 선형변환 에 대하여 표준기저와 순서기저 , 에 대한 다음 행렬을 각각 구하여라.

1.

Ans

2.

Ans1)

2) Sage를 이용하여 확인.

(-1, 0)

(-3, 1)

[-1 -3]

[ 0 1]  ■

3. ,

Ans,

4. ,

Ans주어진 표준기저와 순서기저에 의하면 이다. 또한 ,

 을 구할 수 있는데 이를 이용하여 계산하면 다음과 같다.

1)

2)   ■

[5-8] 다음 행렬에서 대각화의 가능성을 판정하고 대각화가 가능한 행렬인 경우 대각화시키는 행렬 와 그에 대응하는 대각선행렬 를 구하여라.

5.

Ans

1) , 의 특성방정식은

 ① 인 경우:

② 인 경우 :

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

[ 1 1]

[-1 1]

[ 7 0]

[ 0 –1]  ■

6.

Ans일차독립인 고유벡터가 하나. 대각화 불가능.

A.right_eigenvectors()

7.

Ans일차독립인 고유벡터가 둘로 대각화가 불가능하다. 이를 Sage를 이용하여 확인해보자.

[-2, 1, 1]

2개 : [(-2, [(0, 1, 0)], 1), (1, [(1, -4, -2)], 2)]      ■

8.

Ans,

[9-10] 다음 행렬의 각 고유값의 대수적 중복도를 구하여라.

9.

Ans

1) 위의 문제를 해결하기 위해, 특성방정식 ()을 이용할 수 있다.

의 대수적 중복도가 2이고, 에의 대수적 중복도가 1임을 알 수 있다.

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

[(2, [(1, -2, -1)], 1), (1, [(1, -2, 0)], 2)]    ■

10.

Ans 

 : 대수적 중복도 2

  : 대수적 중복도 2

[11-12] 아래 특성방정식을 갖는 행렬의 크기와 각 고유값에 대한 대수적 중복도를 구하여라.

11.

Ans

고유값은 , , 이며 차수는 7차이다. 따라서 행렬의 크기는 차수와 같은 7차 정사각행렬이며, 대수적 중복도 은 1, 은 3, 은 3이다.

12.

Ans

행렬의 크기 : 행렬

고유값 의 대수적 중복도는 1

고유값 의 대수적 중복도는 1

고유값 의 대수적 중복도는 2

고유값 의 대수적 중복도는 3

[13-14] 선형연산자 에 대하여 임의의 순서기저 에 대한 의 변환행렬 에 대하여 행렬 의 고유값을 선형변환 의 고유값이라 하고 의 대각화가능함을 의 대각화가능으로 정의한다. 다음에 주어진 선형변환에 대하여 의 고유값을 구하고 의 대각화가능함을 보여라. (단, 여기서 순서기저 는 표준기저 로 한다.)

13. ,

Ans

1) 표준행렬 이고, 특성방정식은 이다.

i) 에 대응하는 고유벡터를 라 하면

으로부터 이 연립방정식의 해는 (는 상수)이므로 고유벡터로 을 얻는다.

ii) 같은 방법으로 에 대응하는 의 고유벡터는 이므로 , 을 얻을 수 있다. 그리고 가 일차독립임을 보이기 위하여, 을 활용하면, 이므로, 는 일차독립이고, 따라서 는 대각화가 가능하다.

2) 이를 Sage를 이용하여 확인해보자.

( [ 1 1 0], [ 1 0 1], [-1 1 1] )

X.determinant()

-3 ; 는 일차독립. 대각화가능.

14. ,

Ans

주어진 선형변환 에 대한 표준행렬 를 구하면, 이다. 고유값은 1과 –2이고, 는 3개의 일차독립인 고유벡터를 갖게 된다. 따라서 를 만족하므로 대각화가능하다.

토론과 발표

P1. 다양한 에 대하여 행렬 의 형태로 생긴 행렬은 모두 서로 닮음임을 보여라.

Ans

주어진 과 값에 대하여,

, 일 때, 도 와 닮음이고, 도 에 닮음이므로 임의의 , 에 대하여 이다.         ■

P2. 행렬 은 대각화 불가능함을 보여라.

Ans

고유값 1의 대수적 중복도는 2이고 기하적 중복도는 1이므로 에 의하여 대각화 불가능하다.     ■

P3. 크기의 대각화 불가능한 행렬을 두 개만 찾아보아라. 이 방법을 이용하여 크기의 대각화 불가능한 행렬도 찾아보아라.

Ans

의 대수적중복도가 2인 고유값 1의 기하적중복도가 1이므로 는 대각화 불가능하다.

P4. 다음 특성방정식을 갖는 행렬 에 대해 생각해보자.

(a) 행렬의 크기는 무엇인가?

(b)만일 일차독립인 의 고유벡터가 세 개 뿐이라면 이 행렬은 대각화가 가능한가?

(c) 의 각 고유값에 대한 고유공간의 가능한 최대차원은 무엇인가?

(d) 만일 가 대각화가능하다면 6개의 일차독립인 고유벡터가 필요하다. 따라서 의 각 고유값에 대하여 의 해공간의 차원은 각각의 대수적 중복도와 어떤 관계를 가져야 할 것인지에 대해 인터넷을 검색한 후 토론하여라.

Ans

(a) 행렬 (b) 불가능하다.

(c) 인 경우 2차원까지 가능

인 경우 1차원 고유공간만 가능

인 경우 3차원의 고유공간이 가능

P5. 인 선형변환이라 하자. 를 의 기저라 하고, 를 에서 으로의 전이행렬이라 하자. 마찬가지로 를 의 기저라 하고, 를 에서 으로의 전이행렬이라 하자.

그렇다면 과 사이의 관계를 그림으로 그려서 표현하여라.

Ans

 

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P6. 행렬 는 에 의해 으로 대각화가능하다. 연립방정식 에서 로 치환한 경우 임의의 에 대한 해 를 구하여라.

Ans

    ■

실습: