동영상 강의 주소: http://youtu.be/B--ABwoKAN4 8.3 직교대각화, *행렬 함수
동영상 강의 주소: http://youtu.be/B--ABwoKAN4
직교행렬은 자신의 전치행렬이 역행렬이므로 정말 편리하다. 그리고 대칭행렬은 어떤 다른 종류의 행렬보다 응용에 많이 이용된다. 이 절에서는 대칭행렬의 효용성과 모든 대칭행렬은 직교대각화가능함을 확인한다. 특히 마지막으로 행렬대각화의 응용으로 행렬함수를 다룬다.
8.3 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=HSPYrYju1ZY
[1-2] 다음 대칭행렬들에 대하여 직교대각화하는 직교행렬 
와 그 때 
인 대각행렬 
를 구하여라.
1. 
Ans
대칭행렬 
의 서로 다른 고유값은 
, 
. 
2. 
Ans
1) 
∴ 
ⅰ) 
일 때 ∴ 
ⅱ) 
일 때, ∴ 
ⅲ) 
일 때, ∴ 
이들을 열벡터로 하는 행렬 
는 행렬 
를 대각화하고 
의 고유값이 모두 다르므로 집합 
는 직교집합을 이룬다. 정규화하면 직교행렬 
는 직교대각화하는 행렬이므로, 
이다.
∴ 대각행렬 
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[(7, [(1, 5/3, -1/3)], 1), (2, [(1, 0, 3)], 1), (0, [(1, -2/3, -1/3)], 1)]
[ 3/35*sqrt(35) 1/10*sqrt(10) 3/14*sqrt(14)]
[ 1/7*sqrt(35) 0 -1/7*sqrt(14)]
[-1/35*sqrt(35) 3/10*sqrt(10) -1/14*sqrt(14)]
( [7 0 0], [0 2 0], [0 0 0] )
[3-6] 다음 행렬 
의 일차독립인 고유벡터들의 집합 
가 주어진 경우 
를 직교대각화하는 직교행렬 
와 
인 대각행렬 
를 구하여라.
3. 
, 
Ans
4. [New] 
, 
Ans
Sage를 이용하여 확인해보자.
[(8, [(1, 1/2)], 1), (3, [(1, -2)], 1)]
( [8 0], [0 3] ) ■
5. 
Ans
6. 
Ans
, 
7. 직접 계산 또는 행렬의 대각화를 이용하여 행렬 
의 거듭제곱 
를 각각 구하여라.
Ans
행렬 
의 특성방정식은 
이므로 
과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의하여 행렬 
는 다음을 만족한다.
(0는 크기가 2인 영행렬)
i) 
이므로
ii) 
■
8. 다음 행렬 
에 대하여 
의 성분에 대한 일반항을 구하여라.
Ans
■
9. 
일 때, 대칭행렬 
를 직교대각화하는 행렬 
를 구하여라.
Ans
특성방정식을 구하면
, 
에 대한 고유벡터를 구하면 
이고 이들을 정규화하면
이므로 
■
*10. 다음에 주어진 행렬 
를 이용하여 
를 계산하여라.
(1) 
(2) 
으로 계산해야 한다. (
))
먼저 각 문제의 
와 
를 구한다.
(1) 특성방정식이 
이므로 
의 고유값은 
각각 대응하는 
의 고유벡터를 구하면,
를 구해보면
① 
(2) (1)에서와 같은 방식으로, 특성방정식이
이므로 
에 대응하는 고유벡터를 구하면
를 구해보면
② 
Ans
(1) 
(2) 
■
11. 
의 특성다항식 
을 구하고, 
를 계산하여라.
Ans
i) 
ii) 
가 됨을 알 수 있다.
[12-13] 다음에 주어진 행렬의 거듭제곱을 계산하여라.
12. 
, 
Ans
특성방정식은 다음과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의해 
(0은 2차 영행렬)이 성립하므로
, 
13. 
, 
Ans
Cayley-Hamilton 정리에 의해
…………(*)
(*)를 정리해주면 
이다.
⇒ 
[14-16] 다음 행렬을 보고 질문에 답하여라.
14. 
가 Cayley-Hamilton 정리를 만족하는지 확인하여라.
Ans
는 Cayley-Hamilton 정리를 만족한다.
15. 
을 
를 이용하여 표시해보고, 실제 값을 구하여라.
Ans
16. 
를 
를 이용하여 표시하여라.
Ans
[17-18] 다음 행렬을 보고 질문에 답하여라.
17. 
이 되는 최소의 양의 정수 
를 구하여라.
Ans
18. 
일 때 
를 계산하여라.
Ans
1) 
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[19-20] 다음의 등식을 확인하여라. (단 
는 양의 정수)
19. 
Ans
이라고 하면, 행렬 
의 특성다항식은 다음과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의하여,
, 
.
이 되어서 등식이 성립한다.
20. 
(여기서 
)
Ans
일 때
1) 
2) 
일 때 성립한다.
토론과 발표
P1. 
가 대칭행렬이며, 동시에 직교행렬이라면, 
과 
만을 고유값으로 가진다는 것을 증명하여라.
Ans
라 하자.(여기서 
이다) 
가 대칭행렬이며 동시에 직교행렬이므로 다음이 성립한다. 
, 
. 따라서
(가) 
(나) 
(가), (나)에 의해 
이므로 
■
P2. (a) 어떤 
크기 대칭행렬의 고유값과 그에 대응하는 고유벡터가 각각 아래와 같다면 그 행렬은 어떤 행렬인지 찾아라.
, 
(b) 다음의 고유값과 고유벡터를 가지는 
크기의 행렬이 존재하는가?
, 
Ans(a) 
(b) 
P3. 
가 대각화가능하고, 그 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들이 모두 직교라고 하자. 이 경우 
가 대칭행렬이어야 하는가?
Ans
의 직교하는 고유벡터들은 정규화할 수 있다. 따라서 
는 정규직교인 
개의 고유벡터들의 집합을 가지므로 
에 의해 
는 직교대각화가 가능하며 대칭행렬이다. ■
P4. 
를 
의 임의의 벡터라고 하고 
를 
차의 단위행렬이라 할 때, 행렬 
는 직교대각화가능함을 보여라.
Ans
라 하면 
이므로 
가 대칭행렬인 것을 알 수 있고, 그러므로 
또한 대칭행렬이다. 따라서 
에 의해 행렬 
는 직교대각화가 가능하다. ■
P5. 
일 때, 
를 직교대각화하는 행렬 
를 구하여라.
Ans
, 
.
이므로 
의 고유값은 
(중복도 2), 
이다.
i) 
일 때, 고유벡터는 
ii) 
일 때, 고유벡터는 
이다. 이를 정규화하면 
, 
이다.
는
를 직교대각화 한다. ■
What is more: Interactive 참고 자료 (GeoGebra+Sage+강의록+동영상)