8.3 직교대각화, *행렬 함수
동영상 강의 주소: http://youtu.be/B--ABwoKAN4
직교행렬은 자신의 전치행렬이 역행렬이므로 정말 편리하다. 그리고 대칭행렬은 어떤 다른 종류의 행렬보다 응용에 많이 이용된다. 이 절에서는 대칭행렬의 효용성과 모든 대칭행렬은 직교대각화가능함을 확인한다. 특히 마지막으로 행렬대각화의 응용으로 행렬함수를 다룬다.
8.3 연습문제
동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=HSPYrYju1ZY
[1-2] 다음 대칭행렬들에 대하여 직교대각화하는 직교행렬 와 그 때 인 대각행렬 를 구하여라.
1.
Ans
대칭행렬 의 서로 다른 고유값은 , .
2.
Ans
1)
∴
ⅰ) 일 때 ∴
ⅱ) 일 때, ∴
ⅲ) 일 때, ∴
이들을 열벡터로 하는 행렬 는 행렬 를 대각화하고 의 고유값이 모두 다르므로 집합 는 직교집합을 이룬다. 정규화하면 직교행렬 는 직교대각화하는 행렬이므로, 이다.
∴ 대각행렬
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[(7, [(1, 5/3, -1/3)], 1), (2, [(1, 0, 3)], 1), (0, [(1, -2/3, -1/3)], 1)]
[ 3/35*sqrt(35) 1/10*sqrt(10) 3/14*sqrt(14)]
[ 1/7*sqrt(35) 0 -1/7*sqrt(14)]
[-1/35*sqrt(35) 3/10*sqrt(10) -1/14*sqrt(14)]
( [7 0 0], [0 2 0], [0 0 0] )
[3-6] 다음 행렬 의 일차독립인 고유벡터들의 집합 가 주어진 경우 를 직교대각화하는 직교행렬 와 인 대각행렬 를 구하여라.
3. ,
Ans
4. [New] ,
Ans
Sage를 이용하여 확인해보자.
[(8, [(1, 1/2)], 1), (3, [(1, -2)], 1)]
( [8 0], [0 3] ) ■
5.
Ans
6.
Ans
,
7. 직접 계산 또는 행렬의 대각화를 이용하여 행렬 의 거듭제곱 를 각각 구하여라.
Ans
행렬 의 특성방정식은 이므로 과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의하여 행렬 는 다음을 만족한다.
(0는 크기가 2인 영행렬)
i) 이므로
ii)
■
8. 다음 행렬 에 대하여 의 성분에 대한 일반항을 구하여라.
Ans
■
9. 일 때, 대칭행렬 를 직교대각화하는 행렬 를 구하여라.
Ans
특성방정식을 구하면
, 에 대한 고유벡터를 구하면 이고 이들을 정규화하면
이므로 ■
*10. 다음에 주어진 행렬 를 이용하여 를 계산하여라.
(1) (2)
으로 계산해야 한다. ())
먼저 각 문제의 와 를 구한다.
(1) 특성방정식이 이므로 의 고유값은 각각 대응하는 의 고유벡터를 구하면,
를 구해보면
①
(2) (1)에서와 같은 방식으로, 특성방정식이
이므로 에 대응하는 고유벡터를 구하면
를 구해보면
②
Ans
(1)
(2) ■
11. 의 특성다항식 을 구하고, 를 계산하여라.
Ans
i)
ii) 가 됨을 알 수 있다.
[12-13] 다음에 주어진 행렬의 거듭제곱을 계산하여라.
12. ,
Ans
특성방정식은 다음과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의해 (0은 2차 영행렬)이 성립하므로
,
13. ,
Ans
Cayley-Hamilton 정리에 의해
…………(*)
(*)를 정리해주면 이다.
⇒
[14-16] 다음 행렬을 보고 질문에 답하여라.
14. 가 Cayley-Hamilton 정리를 만족하는지 확인하여라.
Ans
는 Cayley-Hamilton 정리를 만족한다.
15. 을 를 이용하여 표시해보고, 실제 값을 구하여라.
Ans
16. 를 를 이용하여 표시하여라.
Ans
[17-18] 다음 행렬을 보고 질문에 답하여라.
17. 이 되는 최소의 양의 정수 를 구하여라.
Ans
18. 일 때 를 계산하여라.
Ans
1)
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
[19-20] 다음의 등식을 확인하여라. (단 는 양의 정수)
19.
Ans
이라고 하면, 행렬 의 특성다항식은 다음과 같다.
Cayley-Hamilton 정리에 의하여,
, .
이 되어서 등식이 성립한다.
20.
(여기서 )
Ans일 때
1)
2)
일 때 성립한다.
토론과 발표
P1. 가 대칭행렬이며, 동시에 직교행렬이라면, 과 만을 고유값으로 가진다는 것을 증명하여라.
Ans
라 하자.(여기서 이다) 가 대칭행렬이며 동시에 직교행렬이므로 다음이 성립한다. , . 따라서
(가)
(나)
(가), (나)에 의해 이므로 ■
P2. (a) 어떤 크기 대칭행렬의 고유값과 그에 대응하는 고유벡터가 각각 아래와 같다면 그 행렬은 어떤 행렬인지 찾아라.
,
(b) 다음의 고유값과 고유벡터를 가지는 크기의 행렬이 존재하는가?
,
Ans(a) (b)
P3. 가 대각화가능하고, 그 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들이 모두 직교라고 하자. 이 경우 가 대칭행렬이어야 하는가?
Ans
의 직교하는 고유벡터들은 정규화할 수 있다. 따라서 는 정규직교인 개의 고유벡터들의 집합을 가지므로 에 의해 는 직교대각화가 가능하며 대칭행렬이다. ■
P4. 를 의 임의의 벡터라고 하고 를 차의 단위행렬이라 할 때, 행렬 는 직교대각화가능함을 보여라.
Ans
라 하면 이므로 가 대칭행렬인 것을 알 수 있고, 그러므로 또한 대칭행렬이다. 따라서 에 의해 행렬 는 직교대각화가 가능하다. ■
P5. 일 때, 를 직교대각화하는 행렬 를 구하여라.
Ans
, .이므로 의 고유값은 (중복도 2), 이다.
i) 일 때, 고유벡터는
ii) 일 때, 고유벡터는 이다. 이를 정규화하면 , 이다.
는를 직교대각화 한다. ■
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