*8.5 이차형식의 응용

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/cOW9qT64e0g


 앞에서 소개한 주축정리에 의하여 3차원 곡면의 그래프는 각각의 2차원 평면에서는 원, 타원 또는 포물선 등의 형태로 나타난다. 구체적인 모양은 주축정리의 핵심인 고유값의 부호에 따라 결정된다. 이 절에서는 이차형식 그래프의 형태를 구분하는 이차형식의 부호를 정의하고, 이를 이용하여 다변수함수의 극값을 구하는 법을 배운다.


8.5 연습문제

  

 동영상 문제풀이: http://www.youtube.com/watch?v=gWEtJYqvMuQ


[1-2] 다음 이차형식에 대응하는 대칭행렬을 구하여라.


1.

Ans   


2.

Ans


[3-4] 다음 이차형식이 양의 정부호, 음의 정부호 또는 부정부호 중 어디에 속하는가를 결정하여라.


3.

Ans양의 정부호이다.


4.

Ans위의 이차형식에 대응되는 대칭행렬

이다.

Sage로 고유값을 구해보면,

∴고유값들이 양수도 있고, 음수도 있으므로, 부정부호이다. 따라서 극점은 안장점이다.


[5-6] 다음 행렬이 양의 정부호인지 음의 정부호인지를 결정하여라.


5.  

Ans양의 정부호이다.


6.  

Ans음의 정부호이다.


[7-8] 다음 함수의 극값을 구하여라.


7.

Ans을 풀어서 극값

은 극대값


8.

Ans

,

 

라 하자.

 


9. 이차곡면 의 교차항을 주축정리를 이용하여 소거하여라.

Ans

위의 행렬을 대각화한다.


10. 의 교차항을 소거하여라.

Ans

9번과 마찬가지로 위의 행렬을 대각화한다.


토론과 발표


P1. 행렬 가 양의 정부호이면 도 양의 정부호임을 보여라.

Ans

가 양의 정부호를 갖는다면 정리 8.5.2에 의하여 의 고유값()는 모두 양이다.

 즉,  … (※)

의 고유값들은 이므로

 의 고유값 : )

의 고유값은 by (※)

(∵

 ∴ 의 고유값 은 모두 양이므로 는 양의 정부호이다.)


P2. 차의 대칭행렬 가 양의 정부호일 때, 각 에 대하여 함수 <, >을 다음과 같이 정의한다. . 이때, 이 함수가 다음을 만족함을 보여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

Ans

(1) 가 양의 정부호이기 때문에 이다. 일 때는 이므로 조건을 만족한다.

(2) 분배법칙에 의해,

(3)결합법칙에 의해

( )

(4)  


P3. 다음 함수의 모든 임계점을 구하여라.

Ans


P4. 임의의 이차형식 에 대한 Hessian 행렬이 다음과 같다.

 

의 임계점이 만일 인 경우 이 점에서의 정부호에 대하여 설명하여라.

Ans

이므로 이차형식은 부정부호가 된다. 그러므로 는 극대값도 아니고 극소값도 아니다. 은 안장점이 된다.     


P5. 가 임의의 크기의 대칭행렬이라 하고,

를 만족한다고 하자. 만일 의 고유벡터를 넣으면 함수의 결과값은 의 고유값과 어떤 관계를 가지겠는가?

Ans

 ⇒

따라서 고유값의 배 만큼의 실수배가 된다. (그리고 의 field of value라 한다. 특히, 이 집합의 가장 작은 값이 가장 작은 고유값이고, 가장 큰 값이 가장 큰 고유값이다.) 


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