8.7 복소고유값과 고유벡터

chapter 8. 행렬의 대각화 (전자책)

 동영상 강의 주소: http://youtu.be/Ma2er-9LC_g

 지금까지는 실수 고유값과 실수 성분을 갖는 고유벡터에만 집중하여 학습하였다. 그러나 실수행렬도 종종 복소고유값과 복소고유벡터를 갖게 된다. 따라서 복소수인 고유값과 그에 대응하는 고유벡터와 함께 복소성분의 행렬도 다룰 수 있어야 한다.

8.7 연습문제

 동영상 문제풀이: http://youtu.be/jDViGood6VA

1. 두 벡터 에 대한 Euclid 내적 와 을 구하여라.

Ans

2. Euclid 내적이 정의된 복소공간에서 벡터

,

의 노름 와 를 구하고 거리 를 구하여라.

Ans

1) ,

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

3. 다음 네 개의 벡터

가 Euclid 내적을 갖는 에서 서로 직교함을 보여라.

Ans

, , ,

따라서 네 개의 벡터 는 Euclid 내적을 갖는 에서 서로 직교한다.

4. 행렬을 아래와 같다고 하면 가 성립하는가를 계산에 의해 확인하여라.

,

Ans

,∴

5. 다음 주어진 행렬 의 고유값과 각 고유값에 대응하는 고유공간의 기저를 구하여라.

Ans 

에서 이다.

고유값 에 대응하는 고유공간 의 기저

고유값 에 대응하는 고유공간 의 기저  ■

6. 다음에 주어진 의 벡터 와 복소수 에 대하여 를 계산하고 이를 이용하여

, ,

, 

가 성립하는지 확인하여라.

Ans

내적으로 간단하게 계산해볼 수 있으며 그 결과는 다음과 같다.

따라서

,

Thus

따라서   ■

7. 다음 행렬은 복소수의 고유값을 가진다. 이를 이용하여 를 만족하는 가역행렬 와 행렬를 구하여라.

Ans

의 특성방정식을 구해보면

이므로 의 서로 다른 고유값 이다.

고유벡터들은 , 이다.

이에 따라, 에 의하여 는 대각화가 가능하며 고유벡터들을 열벡터로 갖는 행렬 를 만든다.

이 가 를 대각화하는 행렬이고 는 의 고유값 를 주 대각선으로 갖는 대각행렬 이다. (Note. )

     ■

8. 가 실수의 크기의 행렬이라 하고 인 복소수벡터라고 하자. 이때 의 실수부분과 가 일치함과 의 허수부분과 가 일치함을 확인하여라.

Ans,

∴ 의 실수부는 와 일치하고, 의 허수부는 와 일치한다.   ■

토론과 발표

P1. 행렬 , , 을 Pauli spin 행렬이라 한다.

다음을 증명하여라.

(1)     (2)

(3)     (4)

(5)   (6)

Ans

(1)

(3)

(5)

      ■

[참고] Pauli matrices는 2-by-2 허미시안 행렬 및 유니타리 행렬이라고 한다. 대수학적 성질로 을 가지며 Pauli vector나 양자역학에서 양자의 스핀을 설명할 때 활용할 수 있다.

(http://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices)

P2. 라면 의 값을 각각 를 이용하여 표현하여라.

Ans

(ⅰ)

(ii)

(iii)

       ■

P3. 가 실수이고, 이면

가 성립한다. 만일 를 복소수로 또 를 복소수벡터로 확장하면 어떻게 되겠는가?

Ans

이다. 

즉 .

P4. 가 실계수행렬의 고유값이고, 가 이에 대응하는 고유벡터이다. (단 여기서 모두가 실수이고 이다.) 그렇다면 또 다른 고유값과 그에 대응하는 고유벡터를 구하여라.

Ans

 행렬에서는 고유값과 고유벡터는 켤례복소수값을 갖는다. 그러므로 다른 고유값 이다. 이고 따라서 일 때 이 를 구하는 문제이다.

이다. 따라서 에 대응하는 의 고유벡터는

이다.

P5. 다음에 주어진 복소대칭행렬 의 고유값은 실수가 아니라는 것을 보여라.

Ans

특성방정식 을 전개하면

,,

∴ 고유값이 서로 다른 두개의 복소수이다. ■

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