9.1 벡터공간의 공리

chapter 9. 일반벡터공간 (전자책)


 동영상 강의 주소: http://youtu.be/beXWYXYtAaI


 벡터의 개념은 2차원 또는 3차원공간에서의 화살표에서 차원공간 안의 -순서조(tuple)로 확장되어 왔다. 1장에서는 차원공간 을 정의하였다. 에서 덧셈과 스칼라배라는 두 개의 연산을 정의하고, 그것이 갖는 여러 가지 성질을 확인하였다. 이 절에서는 차원 공간의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한다.


9.1 연습문제


 문제풀이 동영상 http://www.youtube.com/watch?v=G3Fek3W9kVg


1. 집합 또는 상의 덧셈과 스칼라배를 다음과 같이 정의할 때,

   또는 가 주어진 연산에 관하여 벡터공간인가?

        (a)

        (b)

        (c) ,

        (d) ,

        Ans (a) 예 (b) 아니오 (c) 아니오 (d) 예


        2. 이라 할 때 다음 중의 부분공간을 찾아라.

        (a)

        (b)

        (c)

        (d)

        

Ans

 (a), (d)는 부분공간을 이룬다. (b), (c)는 부분공간이 아니다.


        3. 다음 중 의 부분공간을 찾아라.

        (a)

        (b)

        (c)

        (d)

        

Ans

 (a), (b), (c) 는 부분공간을 이룬다. (d) 는 부분공간이 아니다.


        4. 다음 중 의 부분공간은?

        (a)

        (b)

        (c)

        (d) ,( 아닌 벡터)

        

Ans

 (b) 와 (d)가 부분공간이다.


        5. 의 벡터 을 벡터

                

        의 일차결합으로 나타내어라.

        

Ans

 


        6. 다음에서 주어진 벡터들이 주어진 공간에서 일차독립인지, 일차종속인지를 결정

        하여라.


        (a)

 Ans

(a) 를 열벡터로 하는 행렬을 라 할 때

 이므로 일차독립. Sage를 통해서 확인해보자.



        (b)

        

Ans

  일차 종속


        (c)

                

        

Ans

 일차 종속


        7. 벡터공간 의 임의의 벡터 에 대하여 세 벡터

                

        는 항상 일차종속임을 밝혀라.

        

Ans

 

                ∴ 일차 종속이다.


        8. 집합 의 기저이면 의 임의의 벡터                의 일차결합으로 유일하게 표현됨을 보여라.

        

Ans

  로 가정

                임을 보인다.


        9. 대칭행렬의 성질을 생각하여 다음 물음에 답하여라.

        (a) 임의의 대칭행렬들로 이루어진 벡터공간에 대한 기저를 찾아라.

        

Ans

 

        (b) 같은 방법으로 대칭행렬들로 이루어진 벡터공간의 기저를 찾아라.

        

Ans

        ,,,,,


10. 다음 중 일차독립인 집합을 찾아라.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

        Ans(a), (c), (d)는 일차독립이다.

(b)의 경우

, Sage를 이용해보면

var('a, b')

B=matrix(5, 5, [a, b, a, b, 1, 1, 1, 1, a, 0, 2, 1, b, 0, 0, a, b, 0, 0, 0, a, b, 0, 0, 0]);B

B.det() # 답 0, ∴ 일차종속

(e) ∴ 일차종속


        토론과 발표


        P1. 가 벡터공간 의 부분공간이면 의 부분공간임을 증명

        하여라.

        

Ans

 ⇒

         ,

                의 부분공간


        P2. 벡터공간 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.

                

        

Ans

(⇒),

         역은 trivial하다.                                         


        P3. 벡터공간 의 임의의 벡터 에 대하여

                 

        임을 보여라.

        

Ans

   


        P4. 의 한 고정벡터라 하자. 와 수직인 모든 벡터들의

        집합이라 하면 의 부분공간임을 보여라.

        

Ans

                

                

                의 부분공간 ■


P5. [Wronski의 Test]

 , , 일 때, 이 세 함수가 에서 일차독립임을 보여라.

Ans1)에서
⇒ 일차독립

2) Sage를 이용하여 확인해보자.

2*e^(3*x)

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