동영상 강의 주소: http://youtu.be/beXWYXYtAaI 9.1 벡터공간의 공리
동영상 강의 주소: http://youtu.be/beXWYXYtAaI
벡터의 개념은 2차원 또는 3차원공간에서의 화살표에서 
차원공간 
안의 
-순서조(tuple)로 확장되어 왔다. 1장에서는 
차원공간 
을 정의하였다. 
에서 덧셈과 스칼라배라는 두 개의 연산을 정의하고, 그것이 갖는 여러 가지 성질을 확인하였다. 이 절에서는 
차원 공간의 개념을 일반적인 벡터공간으로 확장한다.
9.1 연습문제
문제풀이 동영상 http://www.youtube.com/watch?v=G3Fek3W9kVg
1. 집합 
또는 
상의 덧셈과 스칼라배를 다음과 같이 정의할 때, 
또는 
가 주어진 연산에 관하여 벡터공간인가?
(a) 
(b) 
(c) 
, 
(d) 
, 
Ans (a) 예 (b) 아니오 (c) 아니오 (d) 예
2. 
이라 할 때 다음 중
의 부분공간을 찾아라.
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
|
Ans |
3. 다음 중 
의 부분공간을 찾아라.
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
|
Ans |
4. 다음 중 
의 부분공간은?
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
,(
는 
아닌 벡터)
|
Ans |
5. 
의 벡터 
을 벡터
의 일차결합으로 나타내어라.
|
Ans |
6. 다음에서 주어진 벡터들이 주어진 공간에서 일차독립인지, 일차종속인지를 결정
하여라.
(a) 
Ans
(a) 
를 열벡터로 하는 행렬을 
라 할 때 
이므로 일차독립. Sage를 통해서 확인해보자.
(b) 
|
Ans |
일차 종속
(c) 
|
Ans |
7. 벡터공간 
의 임의의 벡터 
에 대하여 세 벡터
는 항상 일차종속임을 밝혀라.
|
Ans |
∴ 일차 종속이다.
8. 집합 
이 
의 기저이면 
의 임의의 벡터
는 
의 일차결합으로 유일하게 표현됨을 보여라.
|
Ans |
로 가정
임을 보인다.
9. 대칭행렬의 성질을 생각하여 다음 물음에 답하여라.
(a) 임의의 
대칭행렬들로 이루어진 벡터공간에 대한 기저를 찾아라.
|
Ans |
(b) 같은 방법으로 
대칭행렬들로 이루어진 벡터공간의 기저를 찾아라.
|
Ans |
,
,
,
,
,
10. 다음 중 일차독립인 집합을 찾아라.
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
Ans(a), (c), (d)는 일차독립이다.
(b)의 경우 
, Sage를 이용해보면
|
var('a, b') B=matrix(5, 5, [a, b, a, b, 1, 1, 1, 1, a, 0, 2, 1, b, 0, 0, a, b, 0, 0, 0, a, b, 0, 0, 0]);B B.det() # 답 0, ∴ 일차종속 |
(e) ∴ 일차종속
토론과 발표
P1. 
가 벡터공간 
의 부분공간이면 
도 
의 부분공간임을 증명
하여라.
|
Ans |
⇒
, 
∴ 
는 
의 부분공간
P2. 벡터공간 
에 대하여 다음이 성립함을 보여라.
|
Ans |
, 
∴
역은 trivial하다. ■
P3. 벡터공간 
의 임의의 벡터 
에 대하여
임을 보여라.
|
Ans |
P4. 
를 
의 한 고정벡터라 하자. 
를 
와 수직인 모든 벡터들의
집합이라 하면 
는 
의 부분공간임을 보여라.
|
Ans |
⇒
⇒
∴
는 
의 부분공간 ■
P5. [Wronski의 Test]
, 
, 
일 때, 이 세 함수가 
에서 일차독립임을 보여라.
Ans1)
⇒ 
에서 
⇒ 일차독립
2) Sage를 이용하여 확인해보자.
2*e^(3*x)
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